II. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЕКТА

1. Имитационная модель оценки рисков.

Этот метод предусматривает разработку так называемых сценариев развития инвестиционного проекта в базовом и наиболее опасных вариантах (имитационное моделирование). По каждому сценарию исследуется, как будет действовать механизм реализации проекта, каковы при этом будут доходы, потери и показатели эффективности у отдельных участников и проекта в целом. Влияние факторов риска на норму дисконта не учитывается.

Алгоритм анализа:

а) по проекту строят три возможных варианта развития: пессимистический, наиболее вероятный, оптимистический (в целом по проекту и для каждого участника);

б) по каждому варианту рассчитывается соответствующий чистый дисконтированный доход: оптимистический - NPV 0 , наиболее вероятный - NPV B , пессимистический - NPV„;

в) по каждому варианту рассчитывается размах вариации чистого дисконтированного дохода по формуле

и выполняется анализ:

При сравнении двух проектов тот считается менее устойчивым к риску (т.е. более рискованным), у которого размах вариации больше,

При анализе устойчивости реализации одного инвестиционного проекта, но для разных участников устойчивым и эффективным считается инвестиционный проект, у которого интересы всех участников во всех ситуациях соблюдаются (т.е. уровень риска для всех участников примерно одинаков).

Пример 11.6. Выполним анализ альтернативных проектов I и II по степени риска. Продолжительность реализации проектов пять лет, инвестиции по проектам 100 д.е. «Цена» капитала 10%. Денежные поступления по годам реализации проектов одинаковые:

Таким образом, проект II «обещает» больший NPV (51,6 д.е. против 32,7 д.е. - больше примерно в 1,6 раза), однако он и более рискован (размах вариации примерно в 2 раза выше).

2. Точка безубыточности.

Степень устойчивости проекта по отношению к возможным изменениям условий реализации может быть охарактеризована показателями предельного уровня, например, объемов производства, цены реализации, издержек производства и т.п.

Предельное значение параметра для некоторого года t реализации инвестиционного проекта определяется как такое значение этого параметра в году t, при котором чистая прибыль участника в этом году становится нулевой (ЧП = 0). Наиболее важный показатель этого типа - точка безубыточности (мертвая точка, точка рентабельности, порог рентабельности, точка самоокупаемости).

Точка безубыточности соответствует объему продаж, при котором выручка от реализации продукции совпадает с издержками производ-

ства, т.е. она соответствует минимальному объему производства продукции, при котором обеспечивается «нулевая» прибыль (рис. 11.6):

Устойчивость инвестиционного проекта определяется соотношением точки безубыточности и фактического объема производства (продаж):

Пример 11.7. Сравнить альтернативные проекты I и II по устойчивости на основе расчета точки безубыточности.

Рассчитаем точку безубыточности по вариантам, используя формулу (10.6):

III. МЕТОД ИЗМЕНЕНИЯ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА (АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

В этом методе пытаются оценить вероятность величины денежного потока для каждого года. Алгоритм метода:

а) определяют наиболее вероятные (базовые) значения денежных поступлений для каждого года, по которым определяют базовые значения чистого дисконтированного дохода;

б) определяют вероятности получения денежного потока для каждого года, которые используются в качестве понижающих коэффициентов. При этом с увеличением года вероятности уменьшаются;

в) составляют откорректированные денежные потоки, по которым оценивают чистый дисконтированный доход NPV Поток с большим значением откорректированного чистого дисконтированного дохода считается менее рискованным.

Пример 11.8. Определим более рискованный проект из альтернативных проектов I и II, продолжительность реализации которых четыре года, «цена» капитала 10%. По проекту I инвестиции 40д.е., по проекту II-45 д. е.

Более рискованным является проект II, у которого, NPV k откорректированного денежного потока меньше, чем у проекта I более предпочтителен по базовым значениям.

IV.КОРРЕКТИРОВКА ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТА

Сущность метода: замена проектных значений параметров инвестиционного проекта на ожидаемые. Варианты корректировок:

а) сроки строительства и отдельных строительно- монтажных работ увеличиваются на среднюю величину возможных задержек;

б) учет возможного среднего увеличения стоимости строитель-
ства, т.е. величины инвестиций (вследствие ошибок проектной орга-
низации, пересмотра проектных решений в ходе строительства, непред-
виденных расходов и др.);

в) учет запаздывания платежей, невыполнения договоров с контр-
агентами (срывы поставок материалов, задержки сроков выполнения
работ и т.п.). внеплановых отказов оборудования, нарушений техно-
логии, изменения темпов общей инфляции, пересмотра процентов за
кредит, уплачиваемых и получаемых штрафов и других санкций за
невыполнение договорных обязательств;

г) при отсутствии страхования рисков включение в состав затрат
ожидаемых потерь от этих рисков.

V. МЕТОДЫ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННО-
СТИ (ОЖИДАЕМАЯ ЦЕННОСТЬ)

Эти методы наиболее точные, но и наиболее сложные с техниче-
ской точки зрения.

Алгоритм методов:

а) описание всех возможных условий реализации проекта (в фор-
ме сценариев или моделей системы ограничений на показатели проекта);

б) определение по каждому варианту затрат, результатов и пока-
зателей эффективности;

в) определение вероятностей отдельных условий (вариантов) реа-
лизации инвестиционного проекта и соответствующих им показате-
лей эффективности;

г) определение показателя эффективности проекта в целом, ко-
торым является показатель .

Если вероятности различных условий реализации проекта точ-
но известны:

Недостатки этих методов:

Как при любом усреднении, при использовании ожидаемого интегрального эффекта (Эож,NPVож) часть содержательной информации об инвестиционном проеткте теряется:

Рассчитаный по формуле (11.8) ожидаемый интегральный эффект может выражаться величиной, которая не проявляется в ркальности ни при каком развитии событий, что затрудняет выявление экономического смысла полученного значения.

1. Анализ сценариев развития - это наименее трудоемкий метод формализованного описания неопределенности. Метод может быть использован и для сравнения проектов по степени риска.

Алгоритм:

а) разработка возможных сценариев реализации инвестиционного проекта;

б) определение чистого дисконтированного дохода NPV по каждому сценарию;

в) определение вероятности реализации каждого сценария;

г) расчет ожидаемого чистого дисконтированного дохода NPV OK по формуле (11.8).

Достоинство метода: позволяет оценить одновременное влияние нескольких параметров на конечные результаты проекта через вероятность наступления каждого сценария.

Пример 11.9. На основе исследования рынка были разработаны три

варианта инвестиционного проекта:

2. Метод предпочтительного состояния (построение «дерева
решений») .

Этот метод используется для анализа рисков проекта, имеющего
значительное число вариантов развития. Для построения «дерева ре-
шений» необходимо иметь достаточное количество информации.

Алгоритм метода:

а) на основании полученной информации строится «дерево реше-
ний» вариантов развития инвестиционного проекта Его узлы представ-
ляют собой ключевые события, а стрелки - работы по реализации проек-
та. На «дереве решений» надписывается информация относительно
времени, стоимости работ и вероятности того или иного варианта После-
довательность построения «дерева решений» состоит в определении:

Состава и продолжительности фаз жизненного цикла инвести-
ционного проекта.

Ключевых событий, которые могут повлиять на дальнейшее раз-
витие проекта,

Времени наступления ключевых событий,

Всех возможных решений, которые могут быть приняты в ре-
зультате наступления каждого ключевого события.

Вероятности принятия каждого решения,

Стоимости каждого этапа осуществления проекта в текущих це-
нах (стоимость работ между ключевыми событиями) и дохо-
дов от реализации проекта на каждом этапе;

б) определяется чистый дисконтированный доход NPVi, по каж-
дому сценарию развития проекта и вероятность этого сценария:

Положительная величина интегрального ожидаемого чистого дисконтированного дохода указывает на приемлемую степень риска данного проекта.

Пример 11.10. Оценим целесообразность строительства предприятия с учетом фактора неопределенности, используя метод предпочтительного состояния, если жизненный цикл инвестиционного проекта состоит из следующих фаз.

1. Предынвестиционные исследования: продолжительность 1 год, инвестиции 10д.е.

2. По окончании первой фазы возможны два исхода: 20% - прекращение осуществления проекта;

80% - разработка проектной документации, участие в торгах, заключение договоров: срок фазы 1 год, инвестиции 60 д.е.

3. По окончании предыдущей фазы возможны два варианта: 10% - прекращение осуществления проекта;

90% - строительство в течение двух лет, инвестиции одного года И, = = 400 д.е., 2-го года И 2 = 600 д.е.

4. По окончании строительства возможны два варианта:

40% - эксплуатация объекта в течение 15 лет с ежегодными доходами 400 д.е.; 60% - то же, 300 д.е.

Все затраты и результаты приходятся на конец года.

Норма дисконта 10%.

I. Строим «дерево решений» (рис. 11.7). Инвестиции и денежные потоки на рисунке приведены в д.е.:

II. Определение интегрального NPV„ (варианты рассматриваются по конечным событиям).

Так как интегральный NPV„ положителен, степень риска данного проекта приемлема.

В 1932 году Найквист предложил принципиально новый критерий устойчивости. В отличие от критерия Гурвица, который устанавливает принадлежность корней к левой полуплоскости для любого полинома или алгебраического уравнения, критерий Найквиста предназначен для исследования устойчивости только замкнутых систем.

Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.

Помимо исследования устойчивости по виду указанных характеристик можно оценить и некоторые качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких средств неустойчивая замкнутая система может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы.

В главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в виде

получается частотная передаточная функция разомкнутой системы

Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин:

зависит от

. От частоты зависит и сдвиг фаз, или фаза:

и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис. 6.9).

и т.д. Вдоль кривой

иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты со (рис. 6.9).

попадает в начало координат.

части. Однако, если порядок системы п > 2, удобнее использовать

Этой целью передаточную функции (6.19) целесообразно представить в так называемой стандартной форме:

могут принимать любые значения от 0 до 1,

Соответствующая (6.22) частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент - сумме аргументов. Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции (6.22), приведены в табл. 6.1.

Сформулируем требования к а. ф. х. разомкнутой системы, при выполнении которых замкнутая система будет устойчивой. Ограничим вначале задачу и будем рас

Ниже будет показано, что при определенных условиях первое ограничение может быть снято. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

Характеристический полином замкнутой системы.

> и найдем комплекс

не должен охватывать начало

координат (рис. 6.10, а).

Т. е, должна проходить так, как показано на рис. 6.11, а.

Таким образом, аргумент изменяется на величину

Угол поворота век-

имеется два корпя с положительной вещественной частью.

Эта граница наиболее характерна для устойчивых

в разомкнутом состоянии систем. В этом случае, как следует из выражения (6.16),

Т. е. а. ф, х. разомкнутой системы (рис. 6.11, в) проходит через точку

Тогда замкнутая система будет устойчивой, если

Это частота незатухающих колебаний, возникающих в системе (см. рис. 6.2, г).

как видно из выражения (6.22), зависит от значений постоянных вре-

она становится неустойчивой.

В случае, изображенном на рис. 6.11, г, замкнутая система устойчива при сколь угодно большом значении коэффициента передачи ^разомкнутой системы. Однако практически всегда существуют неучтенные в передаточной функции (6.22) малые

постоянные времени, из-за чего реальная а. ф. х, разомкнутой системы будет такой, как показано пунктиром, а замкнутая система станет критичной к увеличению К.

На рис. 6.12 изображен более сложный случай, когда замкнутая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы. При

то замкнутая система вновь станет устойчивой.

согласно (5.13)

Поэтому система автоматического управления создается не для обеспечения устойчивости объекта, а для придания системе свойств, отличающихся от свойств объекта, например, для повышения точности поддержания управляемой величины (температуры, давления и т, п.) на заданном уровне при наличии возмущений. Однако если алгоритм управления и параметры управляющего устройства выбраны неправильно, то система автоматического управления может стать неустойчивой. Впервые такая ситуация возникла еще в XVIII в. при создании регуляторов скорости вращения валов паровых машин (см. рис. 1.12). И сразу же, как отмечено в § 6.2, появилась необходимость в разработке критериев устойчивости,

Будем полагать, что в нем кроме корней с отрицательными

в знаменателе (6.23) появится со-

т. е, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности (рис. 6.13, а). Для получения определенности в ходе

модуль которого

начало которой

находится па вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен. Кроме того, так как нулевой корень заменен вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости замкнутой системы можно применять приведенную выше формулировку критерия Найквиста.

(рис. 6.13, б).

В этом случае (см.

Бесконечно малая положительная величина. Тогда разрыв устранится за счет дополнения а. ф. х. полуокружностью бесконечно большого радиуса по часовой стрелке так, как показано па рис. 6.14.

В случае рис. 6.14, б замкнутая система неустойчива.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы

Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (см. табл. 6.1)

Это означает, что а, ф. х. разомкнутой системы рас-

А. ф. х. выглядит так, как показано па рис, 6.13, а,

найдем из условия

Подставив это значение в выражение для модуля, получим:

Таким образом, условие устойчивости замкнутой системы

совпадает с найденным ранее условием, вытекающим из критерия Гурвица.

Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корпи, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе.

Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя причинами. Во-первых, это может быть следствием наличия неустойчивых звеньев, подобных рассмотренным в § 4.8, в том числе и неустойчивости самого управляемого объекта. Во-вторых, это может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительными или отрицательными обратными связями (см., например, рис. 5.4).

Должен составить

На угол 1п против часовой стрелки. Приведенная ранее формулировка критерия Найквиста для случая, когда l = 0, вытекает отсюда как частный случай.

Таким образом, при использовании критерия Найквиста необходимо проверить, имеются ли в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы корни, лежащие в правой полуплоскости, и сколько имеется таких корней.

Если в системе имеются местные обратные связи, например, такого типа, как это изображено па рис. 5.6, то необходимо убедиться в том, что но цепи местной обратной связи не нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости но цени местной обратной связи может быть сделана посредством использования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством критерия Найквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем построения для этой цели амплитудно-фазовой характеристики.

В случае, если для местной обратной связи будет получено указание на ее неустойчивость, необходимо определить число корней, лежащих в правой полуплоскости.

Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.

В качестве примера рассмотрим систему угловой стабилизации ракеты, структурная схема которой изображена па рис. 6.5. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы

имеется два вещественных отрицательных корня

Свидетельствует о неустойчивости управляемого объекта (ракеты) и разомкнутой системы в целом. Поэтому система автоматического управления создается, в первую очередь, для обеспечения устойчивого полета ракеты.

против часовой стрелки.

Для построения а. ф. х. находим модуль и фазу (см. табл. 6.1)

Эти условия совпадают с найденными ранее при помощи критерия Гурвица.

Число корней с положительной вещественной частью в характеристическом полиноме разомкнутой системы. При этом переход сверху вниз считается положительным (+1), а снизу вверх - отрицательным (-1).

Сумма переходов равна нулю и замкнутая система устойчива.

Сделаем теперь замечание, касающееся использования для определения устойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы.

В случае многоконтурной системы управления размыкание ее для получения передаточной функции разомкнутой системы можно делать, вообще говоря, в произвольном месте. Рассмотрим, например, систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.17.

Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как вход, а точку b как выход, получаем передаточную функцию разомкнутой системы

Разомкнем теперь ту же систему не па входе первого звена, а в цепи обратной связи второго звена (точка с соответствует входу, а точка (I - выходу). Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае

Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы в произвольной точке, в которой выполняется условие детектирования.

связывает между собой изображения управляемой величины и ошибки, и только она связана с передаточной функцией замкнутой системы Ф(р) известным соотношением

Передаточную функцию при размыкании на входе первого звена в дальнейшем будем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь в виду при рассмотрении методов определения качества управления и синтеза систем управления.

Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.

Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно .

Уильям Блейк.

Введение.

1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.

2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.

3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.

5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.

6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.

Введение

Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.

4.1. Критерии устойчивости .

Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у ос-уст, т.е. е уст = u o -у ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:

1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;

2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)

Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:

a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у вын = y(t∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P o sin(t+), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(t+).

Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= / , (4.1.2)

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

Из выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.

Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение

u(р) К(р) = y(p) Н(р), (4.1.3)

будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

y(p) H(p) = 0. (4.1.4)

Переходя в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе

a 0 d n x/dt n + a 1 d n-1 x/dt n-1 +…+ a n-1 dx/dt +a n = 0 (4.1.5)

Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1.5), будет

Н(р) = 0, a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = 0. (4.1.6)

Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы.

Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = -y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:

[К(р)+Н(р)]y(р) = 0, (4.1.7)

где К(р), Н(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы; y(р) - изображение координаты системы в точке ее замыкания.

На основании (4.1.7) можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе

К(р) + Н(р) = 0. (4.1.8)

C учетом того, что W oc (p) = 1, передаточная функция замкнутой системы:

W зс (p) = W(p)/, (4.1.9)

где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или:

W зс (p) = K(p)/ = K(p)/H зс (p). (4.1.9")

На этом основании характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде

H зс (р) = K(p) + H(p) = 0. (4.1.10)

Таким образом, приравненная нулю сумма полинома числителя и полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы или приравненный нулю полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы являются характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе.

Корни характеристических уравнений систем могут быть либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными. Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:

у св (t) =С n exp(p n t). (4.1.11)

Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать .

Из формулы (4.1.11) нетрудно вывести условие устойчивости линейных динамических систем: линейная система будет устойчива, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению свободного движения системы, будут отрицательными, что дает затухающие по экспоненте решения. Если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.

Каждому отрицательному вещественному корню  i соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая у св (t) i , каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует у св (t) i = const (рис. 4.1.3).

Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой  i , при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис. 4.1.4).

Исходя из расположения на комплексной плоскости, корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис. 4.1.5). Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по определенным критериям устойчивости.

Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами:

Вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ;

Связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования;

Судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.

Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчивости системы.

Алгебраические критерии устойчивости.

Необходимое условие устойчивости. Если все корни характеристического уравнения левые (вещественные части всех корней отрицательны), то все коэффициенты уравнения имеют один знак, т.е. все значения a n либо больше нуля, либо меньше нуля одновременно. Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости). Доказательство очень простое и заключается в разложении полинома на простейшие множители. Они могут быть вещественные или комплексно - сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим, при этом в скобках нет ни одного отрицательного числа, а, следовательно, знак всех членов характеристического уравнения будет определяться знаком коэффициента a 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a 0 > 0. В противном случае уравнение умножается на -1.

Рассмотренное условие при порядке системы больше 2 является необходимым, но не достаточным условием, и применяется для отсеивания заведомо неустойчивых систем. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Критерий Рауса. Используется в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке – аналогично коэффициенты с нечетными индексами;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c k,i = c k+1,i-2 - r i c k+1, i-1 , где r i = c 1,i-2 /c 1,i-1 , i ≥3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы на единицу больше порядка характеристического уравнения.




r 3 = c 11 /c 12	c 13 = c 21 -r 3 c 22	c 23 = c 31 -r 3 c 32	c 33 = c 41 -r 3 c 42
r 4 = c 12 /c 13	c 14 = c 22 -r 4 c 23	c 24 = c 32 -r 4 c 33	c 34 = c 42 -r 4 c 43

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c 11 , c 12 , c 13 ,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица  по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.

Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

ЛЕКЦИЯ 7.

На предыдущих лекциях исследовались установившиеся процессы в САУ. Сейчас мы переходим к рассмотрению переходных процессов. Начнем их рассматривать с понятия устойчивости.

Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива , то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего УУ будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом УУ будет не устранять отклонение у , а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.

Колебательный расходящийся процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы. Вследствие чего УУ станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения у . В этом случае при каждом очередном возврате у к нулю под действием управляющего устройства кривая у будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.

В случае устойчивой системы (рис. 7.1, б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях воздействия на систему ограниченных по величине возмущений.

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению.

Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t). Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.

Таким образом, для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины. Структурная схема линейной системы приведена на рис.7.2, где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы, которая в общем виде, как было определено на второй лекции, имеет вид:

Рис. 7.2. Структурная схема линейной системы

Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 7.2, определяется по следующей формуле

. (7.2)

Подставив (7.1) в (7.2) и освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы, можно представить ее так:

Процессы в системе (рис.7.2), как следует из (7.3), описываются дифференциальным уравнением вида

Решение линейного неоднородного уравнения (7.4) в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:

. (7.5)

Здесь - частное решение неоднородного уравнения (7.5) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; - общее решение однородного уравнения

описывающее переходный процесс в системе.

Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы , вызванные любыми возмущениями, будут затухать, т.е. если с течением времени будет стремиться к нулю.

Решение однородного дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:

. (7.6)

Здесь С i – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; s i – корни характеристического уравнения

где полином , называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (7.4) динамики системы.

Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня s i отрицательна, то слагаемое стремится к нулю при t ® ¥.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно , чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.3), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми .

Рис. 7.3. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:

Корень в начале координат;

Пара мнимых корней.

Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической ; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми .

В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной , при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.

Если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, т.е. лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости .

Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.

Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно.

Уильям Блейк.

Введение.

4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.

Введение

4.1 . КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ .

Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;

2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)

a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(wt+j).

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= / , (4.1.2)