ПЛАН ЛЕКЦИИ
1. Устойчивость
2. Корневой критерий
3. Критерий Стодолы
4. Критерий Гурвица
5. Критерий Михайлова
6. Критерий Найквиста
7. Показатели качества
8. Прямые показатели качества
9. Корневые показатели качества
10. Частотные показатели качества
1. Устойчивость
Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой . Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой .
Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:
1) корневой критерий,
2) критерий Стодолы,
3) критерий Гурвица,
4) критерий Найквиста,
5) критерий Михайлова и др.
Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.
2. Корневой критерий
Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.
Корни характеристического уравнения (они обозначены звездочкой) могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости.
Виды корней характеристического уравнения:
Действительные:
положительные (корень № 1);
отрицательные (2);
нулевые (3);
Комплексные
комплексные сопряженные (4);
чисто мнимые (5);
По кратности корни бывают:
одиночные (1, 2, 3);
сопряженные (4, 5): s i = a ± j w ;
кратные (6) s i = s i +1 = …
Корневой критерий формулируется следующим образом:
Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.
Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.
Пример 4.1. Передаточная функция системы имеет вид:
.
Характеристическое уравнение: s 3 + 2s 2 + 2.25s + 1.25 = 0.
Корни: s 1 = -1;s 2 = -0,5 + j;s 3 = -0,5 - j.
Следовательно, система устойчива.
3. Критерий Стодолы
Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.
То есть, для передаточная из примера 4.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.
4. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид, как показано на рисунке ниже.
W p - передаточная функция регулятора,
W y - передаточная функция объекта управления.
Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы): W ¥ = W p W y .
.
Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:
.
Тогда после подстановки и преобразования получаем:
.
Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W ¥ :
D з (s ) = A (s ) + B (s ).
Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a n +1 по a 0 . Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a 0 , a 2 , a 4 … или a 1 , a 3 , a 5 …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.
Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.
Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.
Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы
.
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.
ДляэтогоопределяетсяХПЗС:
D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.
Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а 4 = 2, а 3 = 5, а 2 = 10, а 1 = 6, а 0 = 1.
Матрица имеет вид:
(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:
Δ 1 = 5 > 0,
,
Δ 4 = 1* Δ 3 = 1*209 > 0.
Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива .
5. Критерий Михайлова
Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде
,
где t - запаздывание.
В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Порядок применения критерия Михайлова:
1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:
D з (s) = A(s) + B(s) . e - t s .
2) Подставляется s = j w : D з (j w ) =Re(w ) + Im(w ).
3) Записывается уравнение годографа Михайлова D з (j w ) и строится кривая на комплексной плоскости.
Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.
6. Критерий Найквиста
Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.
Последовательность:
1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .
2) Определяется число правых корней m .
3) Подставляется s = j w : W ¥ (j w ).
4) Строится АФХ разомкнутой системы.
Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W ¥ (j w ) m раз охватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы.
Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.
В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A (s )=0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W ¥ (j w ) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).
7. Показатели качества
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.
Показатели качества разбиты на 4 группы:
1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,
2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,
3) частотные - по частотным характеристикам,
4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.
8. Прямые показатели качества
К ним относятся: степень затухания y , перерегулирование s , статическая ошибка е ст, время регулирования t p и др.
Рис. 4.4
Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рис. 1.38).
Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у уст.
Степень затухания y определяется по формуле
где А 1 и А 3 - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
Перерегулирование
s
= 
,
где y max
-
максимум переходной кривой.
Статическая ошибка е ст = х - у уст, где х - входная величина.
Время достижения первого максимума t м определяется по графику.
Время регулирования t p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение D = 5% у уст и строится «трубка» толщиной 2D . Время t p соответствует последней точке пересечения y (t ) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
9. Корневые показатели качества
К ним относятся: степень колебательности m , степень устойчивости h и др.
Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:
Степень устойчивости h определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.
h = min ,
где Re (s i ) - действительная часть корня s i .
Степень колебательности m рассчитывается через угол g : m = tg g . Для определения g проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. g - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:
m = min .
10. Частотные показатели качества
Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.
По АФХ определяются запасы : D A - по амплитуде, D j - по фазе.
Запас D A определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.
Для определения D j строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас D j определяется по точке пересечения с этой окружностью.
По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.
Связи между показателями качества. Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:
;t p = ; ;M = .
В 1932 году Найквист предложил принципиально новый критерий устойчивости. В отличие от критерия Гурвица, который устанавливает принадлежность корней к левой полуплоскости для любого полинома или алгебраического уравнения, критерий Найквиста предназначен для исследования устойчивости только замкнутых систем.
Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.
Помимо исследования устойчивости по виду указанных характеристик можно оценить и некоторые качественные показатели замкнутой системы, например, запас устойчивости. Более того, появляется возможность указать, как и за счет каких средств неустойчивая замкнутая система может быть сделана устойчивой и как можно повысить качество устойчивой замкнутой системы.
В главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в виде
получается частотная передаточная функция разомкнутой системы
Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин:
зависит от
. От частоты зависит и сдвиг фаз, или фаза:
и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис. 6.9).
и т.д. Вдоль кривой
иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты со (рис. 6.9).
попадает в начало координат.
части. Однако, если порядок системы п > 2, удобнее использовать
Этой целью передаточную функции (6.19) целесообразно представить в так называемой стандартной форме:
могут принимать любые значения от 0 до 1,
Соответствующая (6.22) частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент - сумме аргументов. Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции (6.22), приведены в табл. 6.1.
Сформулируем требования к а. ф. х. разомкнутой системы, при выполнении которых замкнутая система будет устойчивой. Ограничим вначале задачу и будем рас
Ниже будет показано, что при определенных условиях первое ограничение может быть снято. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
Характеристический полином замкнутой системы.
> и найдем комплекс
не должен охватывать начало
координат (рис. 6.10, а).
Т. е, должна проходить так, как показано на рис. 6.11, а.
Таким образом, аргумент изменяется на величину
Угол поворота век-
имеется два корпя с положительной вещественной частью.
Эта граница наиболее характерна для устойчивых
в разомкнутом состоянии систем. В этом случае, как следует из выражения (6.16),
Т. е. а. ф, х. разомкнутой системы (рис. 6.11, в) проходит через точку
Тогда замкнутая система будет устойчивой, если
Это частота незатухающих колебаний, возникающих в системе (см. рис. 6.2, г).
как видно из выражения (6.22), зависит от значений постоянных вре-
она становится неустойчивой.
В случае, изображенном на рис. 6.11, г, замкнутая система устойчива при сколь угодно большом значении коэффициента передачи ^разомкнутой системы. Однако практически всегда существуют неучтенные в передаточной функции (6.22) малые
постоянные времени, из-за чего реальная а. ф. х, разомкнутой системы будет такой, как показано пунктиром, а замкнутая система станет критичной к увеличению К.
На рис. 6.12 изображен более сложный случай, когда замкнутая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы. При
то замкнутая система вновь станет устойчивой.
согласно (5.13)
Поэтому система автоматического управления создается не для обеспечения устойчивости объекта, а для придания системе свойств, отличающихся от свойств объекта, например, для повышения точности поддержания управляемой величины (температуры, давления и т, п.) на заданном уровне при наличии возмущений. Однако если алгоритм управления и параметры управляющего устройства выбраны неправильно, то система автоматического управления может стать неустойчивой. Впервые такая ситуация возникла еще в XVIII в. при создании регуляторов скорости вращения валов паровых машин (см. рис. 1.12). И сразу же, как отмечено в § 6.2, появилась необходимость в разработке критериев устойчивости,
Будем полагать, что в нем кроме корней с отрицательными
в знаменателе (6.23) появится со-
т. е, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности (рис. 6.13, а). Для получения определенности в ходе
модуль которого
начало которой
находится па вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен. Кроме того, так как нулевой корень заменен вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости замкнутой системы можно применять приведенную выше формулировку критерия Найквиста.
(рис. 6.13, б).
В этом случае (см.
Бесконечно малая положительная величина. Тогда разрыв устранится за счет дополнения а. ф. х. полуокружностью бесконечно большого радиуса по часовой стрелке так, как показано па рис. 6.14.
В случае рис. 6.14, б замкнутая система неустойчива.
В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы
Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (см. табл. 6.1)
Это означает, что а, ф. х. разомкнутой системы рас-
А. ф. х. выглядит так, как показано па рис, 6.13, а,
найдем из условия
Подставив это значение в выражение для модуля, получим:
Таким образом, условие устойчивости замкнутой системы
совпадает с найденным ранее условием, вытекающим из критерия Гурвица.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корпи, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе.
Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя причинами. Во-первых, это может быть следствием наличия неустойчивых звеньев, подобных рассмотренным в § 4.8, в том числе и неустойчивости самого управляемого объекта. Во-вторых, это может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительными или отрицательными обратными связями (см., например, рис. 5.4).
Должен составить
На угол 1п против часовой стрелки. Приведенная ранее формулировка критерия Найквиста для случая, когда l = 0, вытекает отсюда как частный случай.
Таким образом, при использовании критерия Найквиста необходимо проверить, имеются ли в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы корни, лежащие в правой полуплоскости, и сколько имеется таких корней.
Если в системе имеются местные обратные связи, например, такого типа, как это изображено па рис. 5.6, то необходимо убедиться в том, что но цепи местной обратной связи не нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости но цени местной обратной связи может быть сделана посредством использования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством критерия Найквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем построения для этой цели амплитудно-фазовой характеристики.
В случае, если для местной обратной связи будет получено указание на ее неустойчивость, необходимо определить число корней, лежащих в правой полуплоскости.
Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.
В качестве примера рассмотрим систему угловой стабилизации ракеты, структурная схема которой изображена па рис. 6.5. Для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы
имеется два вещественных отрицательных корня
Свидетельствует о неустойчивости управляемого объекта (ракеты) и разомкнутой системы в целом. Поэтому система автоматического управления создается, в первую очередь, для обеспечения устойчивого полета ракеты.
против часовой стрелки.
Для построения а. ф. х. находим модуль и фазу (см. табл. 6.1)
Эти условия совпадают с найденными ранее при помощи критерия Гурвица.
Число корней с положительной вещественной частью в характеристическом полиноме разомкнутой системы. При этом переход сверху вниз считается положительным (+1), а снизу вверх - отрицательным (-1).
Сумма переходов равна нулю и замкнутая система устойчива.
Сделаем теперь замечание, касающееся использования для определения устойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы.
В случае многоконтурной системы управления размыкание ее для получения передаточной функции разомкнутой системы можно делать, вообще говоря, в произвольном месте. Рассмотрим, например, систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.17.
Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как вход, а точку b как выход, получаем передаточную функцию разомкнутой системы
Разомкнем теперь ту же систему не па входе первого звена, а в цепи обратной связи второго звена (точка с соответствует входу, а точка (I - выходу). Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае
Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы в произвольной точке, в которой выполняется условие детектирования.
связывает между собой изображения управляемой величины и ошибки, и только она связана с передаточной функцией замкнутой системы Ф(р) известным соотношением
Передаточную функцию при размыкании на входе первого звена в дальнейшем будем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь в виду при рассмотрении методов определения качества управления и синтеза систем управления.
ЛЕКЦИЯ 7.
На предыдущих лекциях исследовались установившиеся процессы в САУ. Сейчас мы переходим к рассмотрению переходных процессов. Начнем их рассматривать с понятия устойчивости.
Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.
На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива , то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).
Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего УУ будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом УУ будет не устранять отклонение у , а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.
Колебательный расходящийся процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы. Вследствие чего УУ станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения у . В этом случае при каждом очередном возврате у к нулю под действием управляющего устройства кривая у будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.
В случае устойчивой системы (рис. 7.1, б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.
Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.
Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях воздействия на систему ограниченных по величине возмущений.
Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению.
Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t). Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
Таким образом, для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины. Структурная схема линейной системы приведена на рис.7.2, где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы, которая в общем виде, как было определено на второй лекции, имеет вид:
Рис. 7.2. Структурная схема линейной системы
Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 7.2, определяется по следующей формуле
. (7.2)
Подставив (7.1) в (7.2) и освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы, можно представить ее так:
Процессы в системе (рис.7.2), как следует из (7.3), описываются дифференциальным уравнением вида
Решение линейного неоднородного уравнения (7.4) в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:
. (7.5)
Здесь - частное решение неоднородного уравнения (7.5) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; - общее решение однородного уравнения
описывающее переходный процесс в системе.
Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы , вызванные любыми возмущениями, будут затухать, т.е. если с течением времени будет стремиться к нулю.
Решение однородного дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:
. (7.6)
Здесь С i – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; s i – корни характеристического уравнения
где полином , называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (7.4) динамики системы.
Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня s i отрицательна, то слагаемое стремится к нулю при t ® ¥.
Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно , чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.3), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми .
Рис. 7.3. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:
Корень в начале координат;
Пара мнимых корней.
Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической ; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми .
В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной , при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.
Если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, т.е. лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.
Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости .
Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.
Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?
Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.
Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно .
Уильям Блейк.
Введение.
1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.
2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.
3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.
4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.
5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.
6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.
Введение
Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.
4.1. Критерии устойчивости .
Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.
Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:
1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;
2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.
Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.
В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:
y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)
Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:
a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,
т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.
Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.
Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.
Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.
Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.
Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.
Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.
Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:
W(p) = K(p)/H(p) =
= / , (4.1.2)
где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.
Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.
Из выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.
Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение
u(р) К(р) = y(p) Н(р), (4.1.3)
будет представлять собой операторное уравнение разомкнутой системы (уравнение в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:
y(p) H(p) = 0. (4.1.4)
Переходя в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе
a 0 d n x/dt n + a 1 d n-1 x/dt n-1 +…+ a n-1 dx/dt +a n = 0 (4.1.5)
Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (4.1.5), будет
Н(р) = 0, a 0 p n +a 1 p n-1 +…+ a n-1 p+a n = 0. (4.1.6)
Отсюда следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы.
Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = -y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:
[К(р)+Н(р)]y(р) = 0, (4.1.7)
где К(р), Н(р) - соответственно числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы; y(р) - изображение координаты системы в точке ее замыкания.
На основании (4.1.7) можно записать характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе
К(р) + Н(р) = 0. (4.1.8)
C учетом того, что W oc (p) = 1, передаточная функция замкнутой системы:
W зс (p) = W(p)/, (4.1.9)
где W(p)=K(p)/H(p) - передаточная функция разомкнутой системы. Или:
W зс (p) = K(p)/ = K(p)/H зс (p). (4.1.9")
На этом основании характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать в виде
H зс (р) = K(p) + H(p) = 0. (4.1.10)
Таким образом, приравненная нулю сумма полинома числителя и полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы или приравненный нулю полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы являются характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению свободного движения в замкнутой системе.
Корни характеристических уравнений систем могут быть либо вещественными, либо попарно комплексно сопряженными. Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:
у св (t)
=
С n
exp(p n t).
(4.1.11)
Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанного в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать .
Каждому отрицательному вещественному корню i соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая у св (t) i , каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует у св (t) i = const (рис. 4.1.3).
Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по определенным критериям устойчивости.
Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами:
Вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ;
Связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования;
Судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.
Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчивости системы.
Алгебраические критерии устойчивости.
Необходимое условие устойчивости. Если все корни характеристического уравнения левые (вещественные части всех корней отрицательны), то все коэффициенты уравнения имеют один знак, т.е. все значения a n либо больше нуля, либо меньше нуля одновременно. Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости). Доказательство очень простое и заключается в разложении полинома на простейшие множители. Они могут быть вещественные или комплексно - сопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим, при этом в скобках нет ни одного отрицательного числа, а, следовательно, знак всех членов характеристического уравнения будет определяться знаком коэффициента a 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a 0 > 0. В противном случае уравнение умножается на -1.
Рассмотренное условие при порядке системы больше 2 является необходимым, но не достаточным условием, и применяется для отсеивания заведомо неустойчивых систем. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.
Критерий Рауса. Используется в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:
1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;
2) во второй строке – аналогично коэффициенты с нечетными индексами;
3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c k,i = c k+1,i-2 - r i c k+1, i-1 , где r i = c 1,i-2 /c 1,i-1 , i ≥3 - номер строки, k - номер столбца.
4) Число строк таблицы на единицу больше порядка характеристического уравнения.
|
r 3 = c 11 /c 12 |
c 13 = c 21 -r 3 c 22 |
c 23 = c 31 -r 3 c 32 |
c 33 = c 41 -r 3 c 42 | ||
|
r 4 = c 12 /c 13 |
c 14 = c 22 -r 4 c 23 |
c 24 = c 32 -r 4 c 33 |
c 34 = c 42 -r 4 c 43 | ||
Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c 11 , c 12 , c 13 ,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.
Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости.
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все n главных диагональных миноров матрицы Гурвица были положительны. Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения п.
Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.
Основные требования к системам управления
Основные свойства систем управления
Лекция 11
Анализ систем управления состоит в изучении их системных свойств, условий выполнения ими своих функций и достижения заданных целей.
Безусловными требованиями к системам управления являются:
− устойчивость движений;
− инвариантность управляемой (выходной) переменной к возмущениям и ковариантность ее с заданным воздействием;
− робастность (грубость, параметрическая инвариантность), т.е. нечувствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов.
Основными задачами анализа являются:
− установление фактов устойчивости, инвариантности и робастности систем;
− построение характеристик систем и определение показателей их качества.
Понятие устойчивости . Важнейшим свойством систем управления является их устойчивость, т.е. вид реакции системы на возмущающие воздействия различного вида, вызывающие отклонения системы от заданного положения или движения.
Понятие устойчивости можно наглядно продемонстрировать на примере конуса, три возможных положения которого показаны на рис. 4.1.
Рис 4.1. Положения конуса: устойчивое (а ), нейтральное (б ) и неустойчивое (в )
Объект считается устойчивым , если он после кратковременного
внешнего воздействия возвращается в исходное или близкое к нему состояние. При этом объекты могут быть устойчивы в «малом» (при небольших воздействиях) или в «большом» (при больших воздействиях).
В неустойчивом объекте управляемая координата продолжает меняться по окончании сколь угодно малого входного воздействия.
Нейтральный объект по окончании управляющего воздействия переходит в новое состояние равновесия, зависящее от характера воздействия.
Устойчивость динамической системы определяется аналогичным образом: реакция системы на отклонение или начальные условия может затухать (для устойчивой системы), оставаться неизменной по величине (для нейтральной системы) либо нарастать (для неустойчивой системы), как показано на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Реакция системы на внешнее воздействие:
устойчивой (а), нейтральной (б) и неустойчивой (в)
Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкнутом состоянии и даже проектируются таковыми. Устойчивость системы обеспечивается с помощью обратной связи, а затем надлежащим выбором параметров регулятора обеспечиваются показатели качества (установившаяся ошибка, величина перерегулирования, время установления выходного сигнала и т.д.). Работоспособной может быть только устойчивая система.
Для устойчивости физически реализуемой системы необходимо и достаточно, чтобы ее весовая функция удовлетворяла условию
, (4.1)
или, что то же самое,
где c – некоторая конечная величина, т.е. чтобы выходная реакция системы оставалась ограниченной (величиной c ) при ограниченных по абсолютной величине (значением , − допустимая величина сигнала ошибки) входных возмущениях. Дифференцируя (4.1), получаем условие устойчивости в виде
Однако это условие необходимо, но недостаточно. В реальных системах входной сигнал часто является комбинацией своих производных. Такие системы в определенном выше смысле всегда неустойчивы (производная входного сигнала может быть в пределе быть бесконечно большой). Поэтому для них устойчивость определяется с учетом отбрасывания из входного сигнала δ-функции и ее производных.
Пример 4.1 . Определить условия устойчивости апериодического звена первого порядка, переходная функция которого имеет вид
,
а весовая функция есть
.
Решение. Условие устойчивости этого звена определяется как
.
Отсюда видно, что при положительной постоянной времени T для любых t 0 и t интеграл не превосходит абсолютной величины коэффициента усиления апериодического звена k . При неположительном T звено неустойчиво.
Устойчивость – собственное свойство системы. Свойство устойчивости линейных систем анализируется по модели типа M s (система, выделенная из среды) в форме однородных дифференциальных уравнений n -го порядка
или систем уравнений в форме пространства состояний
Процесс регулирования в этом случае определяется, как известно, решением дифференциального уравнения системы как сумма двух составляющих: частного решения неоднородного уравнения с правой частью (– установившееся значение) и общего решения соответствующего однородного уравнения (– переходная составляющая).
Вынужденные движения неавтономных систем представляются суммой установившихся движений (определяемых полюсами воздействий) и переходных процессов из-за ненулевых начальных условий, вызванных внезапным приложением воздействий. В асимптотически устойчивой системе с течением времени все процессы стремятся к установившимся значениям
,
Вынужденные движения . Общее решение уравнения (4.2) обычно ищется в форме набора степенных функций вида
Дифференцируя последнее выражение n раз
и подставляя результаты в (4.2), после сокращения на общий множитель получим
Заменив в (4.3) на , получим характеристическое уравнение, корни которого будут определять характер переходного процесса в системе, поскольку переходная составляющая описывается в виде
где C i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Таким образом, для оценки устойчивости системы управления необходимо, прежде всего, решить характеристическое уравнение и определить его корни. Зависимость устойчивости системы от вида корней определяется для трех случаев (рис. 4.3).
1. Вещественные корни . Если один из корней, например, p γ , является вещественным, то в зависимости от его значения соответствующее слагаемое в переходной составляющей движения будет со временем затухать (при ), как показано на рис. 4.3, а или возрастать (при ).
2. Комплексные корни . Они бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части соответствующие им слагаемые в переходной составляющей движения могут быть представлены в виде
где A и – новые постоянные интегрирования.
Рис. 4.3. Характер собственных движений системы в зависимости
от вида корней характеристического полинома
В этом случае получаются затухающие синусоидальные колебания (рис. 4.3, б ), причем мнимая часть есть круговая частота колебаний, а – показатель затухания. При положительных вещественных частях корней процесс представляет собой расходящиеся синусоидальные колебания (рис. 4.3, в ).
3. Чисто мнимые корни . Для двух сопряженных мнимых кор-
ней составляющая переходного процесса определяется выражением
Такой процесс представляет собой незатухающие колебания, показанные на рис. 4.3, г .
Свободные движения . Преобразуем дифференциальное уравнение (4.2) по Лапласу с учетом начальных условий:
. (4.5)
Изображение решения уравнения (4.2) следует из (4.5)
Если полином имеет только простые корни p i , i = 1,…, n , то выражение для свободных движений есть
, (4.6)
где (′) – символ дифференцирования полинома по p , а
есть вычет.
Если же корни полинома – кратные, то вместо C i в (4.6) появятся полиномы от t со степенями ниже кратности K корня p j
.
Таким образом, для того, чтобы свободная составляющая была затухающей, необходимо чтобы корни были либо вещественными отрицательными или комплексными с отрицательными вещественными частями
,
т.е. все корни должны находиться левее мнимой оси. Это же условие имеет место и для собственных значений матрицы состояний A .
Таким образом, система устойчива по входу-выходу, если:
− система устойчива по начальным условиям, т.е. ее корни находятся в левой полуплоскости;
− передаточная функция системы физически реализуема, т.е. в ней степень полинома числителя n не превышает степени полинома знаменателя m .
Критерии устойчивости. Выявление устойчивости возможно не только путем определения значений коней полиномов, но и на основе критериев устойчивости, позволяющих с помощью относительно простых вычислений определить, лежат ли все корни в левой полуплоскости. Различают алгебраические (Гурвица и Рауса) и частотные (Найквиста и Михайлова) критерии.
Алгебраические критерии основаны на исследовании зависимостей между видом корней характеристического полинома и значениями коэффициентов полинома при неизвестных. Это позволяет свести задачу исследования системы, описываемой дифференциальным уравнением, к выполнению алгебраических преобразований для нахождения условий, которым должны удовлетворять коэффициенты полинома. Такие условия были найдены в 1877 г. Е. Раусом. Другая форма этих условий была найдена в 1895 г. А. Гурвицем. Суть их заключается в следующем: для того чтобы характеристический полином имел корни только с отрицательными действительными частями, необходимо, чтобы его коэффициенты имели один и тот же знак.
Критерий Рауса . Пусть характеристический полином звена или системы имеет противоположную обычной записи индексацию коэффициентов
Образуем из его коэффициентов матрицу размерности
, (4.7)
где – целочисленный остаток от деления n на 2 (значение четности n ), элементы двух нижних строк (4.7) есть коэффициенты полинома , элементы следующих двух строк определяются формулами
Элементы следующих двух строк определяются этими же формулами, в которых элементы a и b заменены соответственно элементами b и c .
Раус доказал, что для отрицательности действительных частей корней полинома необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца матрицы (4.7) были положительными: .
Пример 4.2 . Определить условия устойчивости для систем 1 ÷ 4 порядка.
Решение. Для уравнения первого порядка
матрица Рауса имеет вид