цифровой обработка фильтр шум

Существует два основных типа цифровых фильтров, два программных алгоритма: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Как следует из терминологии, эта классификация относится к импульсным характеристикам фильтров.

КИХ-фильтры

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) - один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенную линейную фазовую характеристику). Но высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с большим числом операций умножения с накоплением и поэтому требуют использования быстрых и эффективных процессоров.

При нулевых значениях коэффициентов am уравнение (2.2) переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x(k) с оператором bn:

y(k) = bn x(k-n). (2.3)

Значения выходных отсчетов свертки (2.3) для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такой фильтр и называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра. Окно фильтра составляет N+1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не может опережать входного. Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени. При k

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается. В программном распоряжении фильтра могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение (2.3) будет иметь вид:

y(k) =bn x(k-n). (2.4)

При N" = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.

Реакция НЦФ на единичный входной импульс (а равно и на любой произвольный входной сигнал) всегда конечна и ограничена размером окна фильтра, поэтому такие фильтры и называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных.

Представим, что на одной полоске бумаги выписаны по порядку сверху вниз значения данных x(k) ? sk (см. рис. 6). На второй полоске бумаги находятся записанные в обратном порядке значения коэффициентов фильтра bn ? hn (обозначение h для коэффициентов операторов НЦФ является общепринятым). Для вычисления yk ? y(k) располагаем вторую полоску против первой таким образом, чтобы значение h0 совпало со значением sk, перемножаем все значения hn с расположенными против них значениями sk-n, и суммируем все результаты перемножения. Результат суммирования является выходным значением сигнала yk. Сдвигаем окно фильтра - полоску коэффициентов hk, на один отсчет последовательности sk вниз (или массив sk сдвигаем на отсчет вверх) и вычисляем аналогично следующее значение выходного сигнала, и т.д.

Рис.6.

Описанный процесс является основной операцией цифровой фильтрации, и называется сверткой в вещественной области массива данных с оператором фильтра. Для математического описания наряду с формулами (2.3 и 2.4) применяются символические формы записи фильтрации:

y(k) = b(n) * x(k-n) b(n) ? x(k-n).

Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.

Для операции фильтрации характерны следующие основные свойства:

• · Дистрибутивность: h(n) ? = h(n) ? a(k)+h(n) ? b(k).
• · Коммутативность: h(n) ? a(k) ? b(k) = a(k) ? b(k) ? h(n).
• · Ассоциативность: ? h(n) = h(n) ? a(k) ? b(k).

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y(k) для установленного значения входного сигнала s(k) при известном значении импульсного отклика фильтра h(n).

Имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и широко известных, которые по существу относятся к методам цифровой фильтрации, хотя и не называются таковыми. Например, методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности. Так, для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:

yk = 0.2(xk-2+xk-1+xk+xk+1+xk+2).

С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:

yk =bn xk-n, bn = 0,2. (2.5)

Пример: Дано уравнение НЦФ: bn=0.2.

Начальные условия - нулевые.

Входной сигнал - скачок функции (ступень): xk = {0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,…}.

Выходной сигнал: yk = {0,0,0,0,2,4, 6, 8,10,10,10,10,…}.

Результат фильтрации приведен на рисунке 7:

КИХ-фильтры обладают рядом полезных свойств, из-за которых они иногда более предпочтительны в использовании, чем БИХ-фильтры. Например:

• 1. КИХ-фильтры устойчивы.
• 2. КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
• 3. Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

КИХ-фильтр

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр , КИХ-фильтр , FIR-фильтр ) - один из видов линейных электронных фильтров , характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи . Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра: где P - порядок фильтра, x (n ) - входной сигнал, y (n ) - выходной сигнал, а b i - коэффициенты фильтра. Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений P предыдущих отсчетов. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов P предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после P -отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, как уже было сказано, поэтому все члены после P -го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

x (n ) = δ(n )

где δ(n ) - дельта-функция . Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "КИХ-фильтр" в других словарях:

- (Нерекурсивный фильтр, КИХ фильтр) или FIR фильтр (FIR сокр. от finite impulse response конечная импульсная характеристика) один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени … Википедия

Линейные электронные фильтры Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышева Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора … Википедия

- (Рекурсивный фильтр, БИХ фильтр) или IIR фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response бесконечная импульсная характеристика) линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть… … Википедия

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр, КИХ фильтр, FIR фильтр) один из видов линейных электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого … Википедия

Цифровой фильтр в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства… … Википедия

Цифровой фильтр в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. В отличие от цифрового аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны,… … Википедия

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ фильтр) линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является … Википедия

Линейный фильтр динамическая система, применяющая некий линейный оператор ко входному сигналу для выделения или подавления определённых частот сигнала и других функций по обработке входного сигнала. Линейные фильтры широко применяются в… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Скользящая средняя (значения). Блок схема простого КИХ фильтра второго порядка, реализующего скользящее среднее Скользящая средняя, скользящее среднее разновидность цифрового фильтра с… … Википедия

Пример использования медианного фильтра к зашумленному изображению с 3 различными значениями радиуса окна фильтрации. Обработка изображения выполнена в Adobe Photoshop. Медианны … Википедия

КИХ-фильтр (фильтр с конечной импульсной характеристикой), называемый также нерекурсивным, - это фильтр, импульсный отклик которого содержит лишь конечное число ненулевых отсчетов. Такой импульсный отклик всегда абсолютно суммируем, и, следовательно, КИХ-фильтры всегда устойчивы. КИХ-фильтры имеют также то преимущество, что их работу легче понять как в одномерном, так и в многомерном случае.

БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой), или рекурсивный, - это фильтр, входной и выходной сигналы которого удовлетворяют многомерному разностному уравнению конечного порядка. Такие фильтры могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, однако во многих случаях они оказываются проще в реализации, чем эквивалентные КИХ-фильтры. Синтез двумерного рекурсивного фильтра радикально отличается от синтеза одномерного фильтра. Отчасти это связано с возрастанием сложности обеспечения устойчивости. Разностные уравнения и БИХ-фильтры составляют предмет гл. 4 и 5.

Одно из важнейших преимуществ КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами заключается в возможности синтеза и практической реализации КИХ-фильтров с чисто вещественными частотными откликами. Такие фильтры называются фильтрами с нулевой фазой. В частотной области условие нулевой фазы можно выразить следующим образом:

Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (3.1), для импульсного отклика фильтра с нулевой фазой получим требование симметрии в пространственной области

. (3.2)

Очевидно, что КИХ-фильтр может удовлетворять этому условию, если центр его опорной области совпадает с началом координат.

Фильтры с нулевой фазой важны для многих приложений цифровой обработки многомерных сигналов. Например, при обработке изображений фильтры с ненулевой фазой могут привести к разрушению линий и границ. Чтобы понять, почему это так, вспомним из нашего обсуждения преобразований Фурье, что любой сигнал можно представить в виде суперпозиции комплексных синусоид. Линейный инвариантный к сдвигу фильтр с нетривиальным частотным откликом будет избирательно усиливать или ослаблять некоторые из этих синусоидальных компонент, а также задерживать некоторые компоненты по отношению к другим. На любой частоте величина задержки зависит от значения фазового отклика. Нелинейный (разовый отклик приводит, таким образом, к рассеянию строго согласованных синусоидальных компонент сигнала, составляющих контрастные точки, линии и границы.

Фильтр с нулевой фазой имеет и другие преимущества. В силу вещественности его частотного отклика упрощается синтез фильтра. К тому же симметрию импульсного отклика фильтра можно использовать при его реализации для уменьшения требуемого числа умножений.

Класс последовательностей конечной длины (КИХ-последовательности) обладает некоторыми свойствами, желательными с точки зрения построения фильтров. Например, никогда не возникает вопрос об устойчивости и физической реализуемости фильтров, поскольку КИХ-последовательности гарантируют устойчивость. Более того, КИХ-последовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последовательности, можно проектировать фильтры с произвольной амплитудной характеристикой.

Существуют три основных метода синтеза КИХ-фильтров:

метод взвешивания (метод «окна»);

метод частотной выборки;

метод оптимальных фильтров.

Свойства КИХ-фильтров

Имеется много причин, побуждающих к изучению способов проектирования КИХ-фильтров. Основными достоинствами этих фильтров являются:

1. Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой (постоянной групповой задержкой). Во многих случаях, когда проектируется фильтр с произвольной амплитудной характеристикой, это упрощает задачу аппроксимации.

2. КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, т.е. с помощью свертки, всегда устойчивы.

3. При нерекурсивной реализации КИХ-фильтров шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью, легко минимизировать.

4. КИХ-фильтры можно эффективно реализовывать при помощи методов быстрой свертки, основанных на применении алгоритма БПФ.

Недостатки КИХ-фильтров следующие:

1. Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N . Следовательно, возрастает объем вычислительных операций.

2. Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.

Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой

Пусть {h(n) } – физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале. Ееz-преобразование равно

. (3.1)

Преобразование Фурье от {h(n) }

(3.2)

является периодическим по частоте с периодом
, т.е.

Рассматривая только действительные последовательности {h(n) }, получим дополнительные ограничения на функцию
, представив ее через амплитуду и фазу:

. (3.4)

Потребуем при расчете КИХ-фильтров строго линейной фазовой характеристики, и рассмотрим, при каких условиях импульсная характеристика фильтра h(n) будет это обеспечивать. Требование линейности фазовой характеристики
имеет вид

где - постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации. Используя (3.4) и (3.5) соотношение (3.2) переписывается в виде:

. (3.6)

Приравнивая действительные и мнимые части, и деля друг на друга правые и левые части полученных равенств, можно получить уравнение, решением которого будут следующие значения:

, (3.7)

Смысл их заключается в следующем. Условие (3.7) означает, что для каждого N существует только одна фазовая задержка, при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из условия (3.8) следует, что при заданном, удовлетворяющем условию (3.7), импульсная характеристика должна обладать симметрией.

Рассмотрим использование условий (3.7) и (3.8) для случаев четного и нечетногоN . ЕслиN - нечетно, то задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой для случаяN =11 приведена на рис. 3.1. Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной фазой при четномN показана на рис. 3.2. ЗдесьN =10.

Рис.3.1 . N – нечетно.

Рис.3.2. N – четно.

Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания

Как было сказано ранее, частотную характеристику любого цифрового фильтра можно представить рядом Фурье:

, (3.9)

. (3.10)

Видно, что коэффициенты Фурье совпадают с коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Использование этих соотношений для проектирования КИХ-фильтра связано с двумя трудностями. Во-первых, импульсная характеристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (3.9) производится в бесконечных пределах. Во-вторых, фильтр физически нереализуем, так как импульсная характеристика начинается в
, т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

Один из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию
, заключается в усечении бесконечного ряда Фурье (3.9) за
. Однако простое усечение ряда приводит к явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций до и после точек разрыва в аппроксимируемой частотной характеристики. Причем, максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики не уменьшается с увеличением длины импульсной характеристики, т.е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению максимальной амплитуды пульсаций. Вместо этого уменьшается ширина выброса. Поэтому простое усечение ряда Фурье (3.9) не приводит к приемлемой аппроксимации идеального фильтра нижних частот (к чему необходимо стремиться). Этот метод непригоден для проектирования КИХ-фильтров.

Лучшие результаты дает метод, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины w(n) , называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье в формуле (3.9) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье. Для большинства приемлемых окон преобразование Фурье
последовательностиw(n) имеет главный лепесток, содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые обычно быстро затухают. Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции
, формируется последовательность
, равная нулю за пределами интервала
. Поскольку результирующая характеристика фильтра равна свертке идеальной частотной характеристики и частотной характеристика окна, то ширина переходных полос зависит от ширины главного лепестка функции
. Кроме того, на всех частотахвозникают ошибки аппроксимации, имеющие вид пульсаций частотной характеристики, которые обусловлены боковыми лепестками функции
.

Из приведенного выше следует, что оптимальное окно должно иметь во-первых, минимальную ширину главного лепестка частотной характеристики, во-вторых, минимальную площадь под боковыми лепестками. К сожалению, эти два требования несовместимы и необходим компромиссный вариант.

Прямоугольное окно

N -точечное прямоугольное окно, соответствующее простому усечению ряда Фурье, описывается весовой функцией

(3.11)

Частотная характеристика прямоугольного окна описывается соотношением

. (3.12)

Ее график представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Частотная характеристика прямоугольного окна (N =25).

«Обобщенное» окно Хэмминга

Обобщенное окно Хэмминга имеет вид

(3.13)

причем
. Случай
соответствует окну Ханна (hanning), случай
- окну Хэмминга. Частотную характеристику этого окна можно выразить через частотную характеристику прямоугольного окна (рис. 3.4):

Рис.3.4. Частотная характеристика окна Хэмминга
.

Окно Кайзера

Задача расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций, преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. Одним из решений такой задачи является окно Кайзера:

где - константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка частотной характеристики окна, а
- функция Бесселя нулевого порядка. Окно Кайзера является по существу оптимальным окном в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

Прочие окна

Существует еще много различных окон. Вот некоторые из них.

Окно Блэкмана:

Окно Фейера (треугольное окно):

Окно Ланцоша:

, (3.18)

где L – положительное целое число.

Последние два окна основываются на методах суммирования рядов Фурье для ускорения их сходимости. Так же существуют окна, полученные согласно некоторым критериям оптимальности (окна Долфи-Чебышева, окно Каппелини, и т.д.).

Особенности использования метода взвешивания

Метод взвешивания весьма удобен для проектирования КИХ-фильтров, однако он обладает некоторыми особенностями, которые могут препятствовать применению окон. Прежде всего необходимо иметь выражения для коэффициентов ряда Фурье:

. (3.19)

Когда характеристика
имеет сложный вид или не может быть просто преобразована в математическое выражение, формула (3.19) может оказаться громоздкой и неудобной для интегрирования.

Еще одна особенность метода взвешивания заключается в отсутствии достаточной гибкости при проектировании фильтров. Например, при расчете ФНЧ обычно трудно определить граничную частоту полосы пропускания, поскольку окно «размывает» разрыв идеальной характеристики.

Вышеупомянутые ограничения метода взвешивания не препятствуют его широкому применению.

Чтобы определить невзвешенные коэффициенты Фурье в том случае, когда аналитическое выражение для h(n) громоздко или неудобно для интегрирования, интеграл можно аппроксимировать суммой по следующей формуле

. (3.20)

Ясно, что значения (3.20) можно эффективно вычислять с помощью M -точечного ОДПФ последовательности
. Поскольку формула (3.20) является дискретным аналогом формулы (3.19), легко показать, что ростомM различие междуh(n) и
уменьшается.

Расчет КИХ-фильтров методом частотной выборки

КИХ-фильтр может быть однозначно задан коэффициентами импульсной характеристики {h(n) }, так и коэффициентами ДПФ частотной характеристики{H(k) }.Обе последовательности связаны соотношениями:

ДПФ, (3.21)

ОДПФ. (3.22)

Из формулы (3.22) сразу вытекает прямой способ получения импульсной характеристики фильтра. Такой фильтр имеет частотную характеристику, значения которой равны H(k) вN равноотстоящих на оси частот точках.

К сожалению, эта прямая процедура не представляет практического интереса, так как невозможно предсказать поведение частотной характеристики между частотными выборками.

Для того, чтобы получить фильтры с линейной фазой, частотные выборки должны быть симметричными по амплитуде и иметь линейную антисимметричную фазу в интервале
. Учитывая то, что будет использоваться ОДПФ, удобнее выразить условия симметрии на интервале
. Ели частотные выборки записаны в виде
, то условия симметрии при нечетномN можно записать в виде

(3.23)

Для улучшения качества аппроксимации часть частотных отсчетов имеет смысл сделать независимыми переменными. Значения этих независимых переменных обычно рассчитывают методами оптимизации, таким образом, чтобы минимизировать некоторую простую функцию ошибки аппроксимации.

Можно сформулировать основную идею метода частотной выборки. Искомую частотную характеристику можно аппроксимировать ее отсчетами, взятыми в N равноотстоящих точках, а затем путем интерполяции получить результирующую частотную характеристику, которая будет проходить через исходные отсчеты. Ошибка интерполяции для фильтров с достаточно гладкими частотными характеристиками обычно имеет небольшую величину. В случае селективных фильтров частотные отсчеты в переходных полосах остаются незаданными переменными, значения которых подбираются с помощью алгоритма оптимизации. Для выполнения необходимой минимизации можно использовать простые методы линейного программирования.

Проектирование оптимальных фильтров

Смысл слова оптимальный заключается в следующем: оптимальными являются те фильтры, для которых максимальная ошибка в полосе пропускания и (или) в полосе задерживания минимальна по сравнению с любыми другими фильтрами, которые можно получить, изменяя значения n выборок в переходной полосе.

Рассмотрим подход к расчету КИХ-фильтров при котором минимизируется максимальная ошибка аппроксимации.

Пусть
- заданная (желаемая) частотная характеристика,
- аппроксимирующая функция,
- положительная весовая функция, позволяющая определять ошибки для различных интервалов. Тогда взвешенная ошибка аппроксимации
по определению равна

Задачу чебышевской аппроксимации можно сформулировать как задачу поиска
(а точнее коэффициентов, через которые можно выразить
), которая минимизирует максимум модуля ошибки
в тех частотных полосах, где выполняется аппроксимация:

где A – совокупность всех интересующих частотных полос.

Наиболее простой подход при расчете КИХ-фильтров сводится к получению импульсной характеристики конечной длины путем усечения последовательности импульсной характеристики бесконечной длины. Если предположить, что является идеальной требуемой частотной характеристикой, то

где -соответствующая последовательность отсчетов импульсной характеристики, т. е.

В общем случае для частотно-избирательного фильтра может быть кусочно-постоянной с разрывами на границах между полосами. В таких случаях последовательность имеет бесконечную длину и должна быть усечена для получения импульсной характеристики конечной длины. Как отмечалось, выражения (5.49) могут рассматриваться как представление периодической частотной характеристики с помощью рядов Фурье, где последовательность выполняет роль «коэффициентов Фурье». Таким образом, аппроксимация заданных требований идеального фильтра с помощью усечения идеальной импульсной характеристики тождественна исследованию сходимости рядов Фурье, т. е. вопросу, который глубоко исследовался с середины восемнадцатого столетия. Наиболее хорошо известным понятием этой теории оказывается явление Гиббса. В последующем обсуждении будет видно,

как это явление неравномерной сходимости проявляет себя в расчете КИХ-фильтров.

Если имеет бесконечную длину, то единственным путем для получения физически реализуемой импульсной характеристики конечной длины является просто усечение т. е.

В других случаях.

В общем случае можно представить в виде произведения требуемой импульсной характеристики и «окна» конечной длины т. е.

где в примере для выражения (5.50)

При использовании теоремы о комплексной свертке, приведенной в гл. 2, видно, что

Это значит, что является круговой сверткой требуемой частотной характеристики с преобразованием Фурье «окна». Поэтому частотная характеристика будет «размьпой» версией требуемой характеристики На рис. 5.31а показаны типичные функции как это требуется согласно (5.53).

Рис. 5.31. Процесс свертки, подразумеваемый как усечение требуемой импульсной характеристики и типовая аппроксимация, образующаяся в результате применения функции окна к требуемой импульсной характеристике (б)

(Обе они показаны как действительные функции только для удобства в отображении процесса свертки.)

Из (5.53) видно, что если является узкой по сравнению с изменениями то будет «подобной» Таким образом, выбор окна определяется требованием иметь минимально возможной длины для того, чтобы минимизировать вычисления при выполнении фильтра, обеспечивая в то же время минимально узкой по частоте так, чтобы точно

воспроизвести заданную частотную характеристику. Эти требования являются противоречивыми, что можно увидеть в случае прямоугольного окна (5.52), где

Частотная характеристика показана на рис. 5.32 для фазовая характеристика, как видно из (5.54), является линейной. С ростом ширина «главного лепестка» уменьшается. (Главный лепесток определяется произвольно как область между значениями

Рис. 5.32. Амплитудная характеристика, полученная в результате преобразования Фурье для прямоугольного окна

Рис. 5.33. Используемые окна для расчета КИХ-фильтров

Несмотря на то что для прямоугольного окна «боковые лепестки» являются незначительными, в действительности с ростом пиковые амплитуды главного и боковых лепестков увеличиваются таким образом, что площадь под каждым лепестком остается постоянной, а ширина каждого лепестка уменьшается. В результате при увеличении частоты по мере того, как приближается к точке резкого изменения величина интеграла от будет изменяться в колебательном режиме в соответствии с изменением каждого лепестка после этой точки резкого изменения. Это показано на рис. 5.31б. Поскольку с увеличением площадь под каждым лепестком остается постоянной, то колебания происходят только более быстро, но не уменьшаются по амплитуде. В теории рядов Фурье хорошо известно, что эта неравномерная сходимость (явление Гиббса) может быть уменьшена путем использования менее резкого усечения рядов Фурье. С помощью постепенного сужения окна до нуля с каждой стороны можно уменьшить высоту боковых лепестков, что достигается за счет увеличения ширины главного лепестка и, таким образом, более широкой переходной полосы в точке резкого перехода. Примеры некоторых обычно используемых окон

показаны на рис. 5.33. Эти окна определяются следующими выражениями : для прямоугольного

для окна Бартлета (Bartlett)

для окна с хэннингом (Hanning)

для окна Хемминга (Hamming.)

для окна Блэкмана (Blackman)

Функция вычерчена на рис. 5.34 для каждого из этих окон при Заметим, что поскольку эти окна являются симметричными, то фазовая характеристика оказывается линейной. Очевидно, что прямоугольное окно имеет самый узкий главный лепесток и, таким образом, для заданной длины должно давать самые крутые спады характеристики переходных полос в точках резкого изменения Однако, поскольку первый боковой лепесток оказывается ниже главного пика только примерно на 13 дБ, возникают колебания значительной величины при резком изменении . С помощью постепенного сужения окна до нуля боковые лепестки значительно понижаются, однако при этом появляются гораздо более широкий главный лепесток и более широкие переходные полосы в точках резких изменений На Кайзер предложил универсальное семейство окон, определяемых выражением

где - модифицированная функция Бесселя первого рода и нулевого порядка. Кайзер показал, что эти окна являются близкими к оптимальным в смысле обладания наибольшей энергией в главном лепестке при данной амплитуде пика бокового лепестка. Параметр можно подобрать так, чтобы обеспечить компромисс между шириной главного лепестка и пиком амплитуды бокового

Рис. 5.34. (см. скан) Преобразования Фурье для окон рис. 5.33: а) прямоугольного; б) Бартлета (треугольного); в) с хэннингом; г) Хемминга; д) Блэкмана

лепестка. Типичные значения лежат в диапазоне

В качестве иллюстрации использования окон при проектировании фильтров рассмотрим расчет фильтра нижних частот. Для выполнения условия необходимой задержки при получении физически реализуемого фильтра с линейной фазовой характеристикой заданная частотная характеристика определяется в виде

Соответствующая импульсная характеристика имеет вид

Очевидно, что имеет бесконечную длину. Чтобы создать

физически реализуемый фильтр с конечной длиной импульсной характеристики и линейной фазой, обозначим где Нетрудно проверить, что если является симметричной, то такой выбор а приводит к последовательности удовлетворяющей (5.47). На рис. 5.35 показан график для прямоугольного окна при и

Рис. 5.35. Усеченная импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот (задержка равна 25 отсчетам, общая длина - 51 отсчету, а частота среза -

Рис. 5.36. (см. скан) Влияние различных окон для примера рис. 5.35:

а) прямоугольного; б) Бартлета; в) с хэннингом; г) Хемминга; д) Блэкмана

На рис. 5.36 показаны зависимости для импульсной характеристики рис. 5.35 с учетом взвешивания для каждого из пяти окон рис. 5.34. Отмечаем, что увеличение ширины переходной полосы соответствует

увеличению ширины главного лепестка, а увеличение ослабления в полосе непропускания соответствует уменьшению амплитуды бокового лепестка.

Из (5.54) следует, что ширина центрального лепестка обратно пропорциональна N. Это в общем случае верно и иллюстрируется для окна Хемминга на рис. 5.37.

Рис. 5.37. (см. скан) Зависимость ширнны центрального лепестка при преобразовании Фурье для окна Хемминга от длины окна:

Из рисунка совершенно очевидно, что при увеличении вдвое ширина центрального лепестка уменьшается наполовину. На рис. 5.38 показано влияние увеличения на переходную полосу при проектировании фильтра нижних частот. Очевидно, что минимальное ослабление в полосе

Рис. 5.38. (см. скан) Влияние длины окна при расчете фильтра (фильтр нижних частот, и окно Хемминга): а)

непропускания остается, по существу, постоянным, будучи зависимым от формы окна, в то время как ширина переходной области: при резком изменении зависит от длины окна.

Приведенные примеры иллюстрируют основные принципы метода использования окон при проектировании КИХ-фильтра. За счет выбора формы окна и его длины можно осуществить некоторое управление процессом расчета. Например, для заданного ослабления в полосе непропускания, как правило, оказывается справедливо условие типа где - ширина переходной полосы [приблизительно ширина главного лепестка и А - постоянная, зависящая от формы окна. Как было показано, форма, окна является существенной при определении минимального ослабления в полосе непропускания. Для окон, которые мы рассмотрели, основные параметры для расчета фильтра нижних частот сведены в табл. 5.2. Следует отметить, что величины в табл. 5.2 являются приближенными; они зависят до некоторой степени от и частоты среза требуемого фильтра.

ТАБЛИЦА 5.2 (см. скан)

Окна Кайзера имеют изменяемый параметр выбором которого определяется компромисс между амплитудой бокового лепестка и его шнриной. Таблицы и кривые, определяющие области применения этих окон, даны Кайзером в .

Основные принципы, проиллюстрированные приведенными примерами, являются справедливыми в общем случае и могут применяться при расчете любого фильтра, для которого можно задать требуемую частотную характеристику. В этом смысле метод имеет большую общность. Однако сложность метода заключается в оценке интеграла в (5.496). Если не может быть выражена с помощью простых функций, для которых можно выполнить интегрирование, то аппроксимация для должна быть получена путем дискретизации и использования обратного дискретного преобразования Фурье, чтобы вычислить Если М велико, то можно ожидать, что будет хорошей аппроксимацией для на интервале окна. Другим ограничением процедуры является то, что до некоторой степенн трудно заранее определить тип окна и длину необходимые для удовлетворения заданным требованиям

частотной характеристики. Однако для определения этих параметров можно воспользоваться очень простой программой для ЦВМ, основанной на методе проб и ошибок. Таким образом, расчет цифровых фильтров с использованием окон часто оказывается удобным и удовлетворительным подходом.