Задание . По территориям региона приводятся данные за 199Х г.;

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение находим с помощью калькулятора .
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 0.92, a = 76.98
Уравнение регрессии:
y = 0.92 x + 76.98

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока :
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между среднедневной заработной платы и среднедушевым прожиточным минимумом высокая и прямая.
1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.92 x + 76.98
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент b = 0.92 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 руб. среднедушевого прожиточного минимума в день среднедневная заработная плата повышается в среднем на 0.92.
Коэффициент a = 76.98 формально показывает прогнозируемый уровень Среднедневная заработная плата, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между среднедневной заработной платы и среднедушевого прожиточного минимума в день определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:


Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день на 1%, среднедневная заработная плата изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние среднедушевого прожиточного минимума Х на среднедневную заработную плату Y не существенно.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению средней среднедневной заработной платы Y на 0.721 среднеквадратичного отклонения этого показателя.
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.72 2 = 0.5199
т.е. в 51.99 % случаев изменения среднедушевого прожиточного минимума х приводят к изменению среднедневной заработной платы y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 48.01% изменения среднедневной заработной платы Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

x	y	x 2	y 2	x o y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	(x i -x cp) 2	|y - y x |:y
78	133	6084	17689	10374	148,77	517,56	248,7	57,51	0,1186
82	148	6724	21904	12136	152,45	60,06	19,82	12,84	0,0301
87	134	7569	17956	11658	157,05	473,06	531,48	2,01	0,172
79	154	6241	23716	12166	149,69	3,06	18,57	43,34	0,028
89	162	7921	26244	14418	158,89	39,06	9,64	11,67	0,0192
106	195	11236	38025	20670	174,54	1540,56	418,52	416,84	0,1049
67	139	4489	19321	9313	138,65	280,56	0,1258	345,34	0,0026
88	158	7744	24964	13904	157,97	5,06	0,0007	5,84	0,0002
73	152	5329	23104	11096	144,17	14,06	61,34	158,34	0,0515
87	162	7569	26244	14094	157,05	39,06	24,46	2,01	0,0305
76	159	5776	25281	12084	146,93	10,56	145,7	91,84	0,0759
115	173	13225	29929	19895	182,83	297,56	96,55	865,34	0,0568
1027	1869	89907	294377	161808	1869	3280,25	1574,92	2012,92	0,6902

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t крит:
t крит = (10;0.05) = 1.812
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:


S 2 y = 157.4922 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

12.5496 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S a - стандартное отклонение случайной величины a.


S b - стандартное отклонение случайной величины b.


2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bx p ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X p = 94

(76.98 + 0.92*94 ± 7.8288)
(155.67;171.33)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H 0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H 1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
t крит = (10;0.05) = 1.812


Поскольку 3.2906 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).


Поскольку 3.1793 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - t крит S b ; b + t крит S b)
(0.9204 - 1.812 0.2797; 0.9204 + 1.812 0.2797)
(0.4136;1.4273)

(a - t lang=SV>a)
(76.9765 - 1.812 24.2116; 76.9765 + 1.812 24.2116)
(33.1051;120.8478)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:


где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fkp = 4.96
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Этап 3. Нахождение взаимосвязи между данными

Линейная корреляция

Последний этап задачи изучения связей между явлениями – оценка тесноты связи по показателям корреляционной связи. Этот этап очень важен для выявления зависимостей между факторными и результативными признаками, а следовательно, для возможности осуществления диагноза и прогноза изучаемого явления.

Диагноз (от греч. diagnosis распознавание) – определение существа и особенностей состояния какого-либо объекта или явления на основе его всестороннего исследования.

Прогноз (от греч. prognosis предвидение, предсказание) – всякое конкретное предсказание, суждение о состоянии какого-либо явления в будущем (прогноз погоды, исхода выборов и т.п.). Прогноз – это научно обоснованная гипотеза о вероятном будущем состоянии изучаемой системы, объекта или явления и характеризующие это состояние показатели. Прогнозирование – разработка прогноза, специальные научные исследования конкретных перспектив развития какого-либо явления.

Вспомним определение корреляции:

Корреляция – зависимость между случайными величинами, выражающаяся в том, что распределение одной величины зависит от значения другой величины.

Корреляционная связь наблюдается не только между количественными, но и качественными признаками. Существуют различные способы и показатели оценки тесноты связей. Мы остановимся лишь на линейном коэффициенте парной корреляции , который используется при наличии линейной связи между случайными величинами. На практике часто возникает необходимость определить уровень связи между случайными величинами неодинаковой размерности, поэтому желательно располагать какой-то безразмерной характеристикой этой связи. Такой характеристикой (мерой связи) является коэффициент линейной корреляции r xy , который определяется по формуле

где , .

Обозначив и , можно получить следующее выражение для расчета коэффициента корреляции

.

Если ввести понятие нормированного отклонения , которое выражает отклонение коррелируемых значений от среднего в долях среднего квадратического отклонения:

то выражение для коэффициента корреляции примет вид

.

Если производить расчет коэффициента корреляции по итоговым значениям исходных случайных величин из расчетной таблицы, то коэффициент корреляции можно вычислить по формуле

.

Свойства коэффициента линейной корреляции:

1). Коэффициент корреляции – безразмерная величина.

2). |r | £ 1 или .

3). , a,b = const, – величина коэффициента корреляции не изменится, если все значения случайных величин X и Y умножить (или разделить) на константу.

4). , a,b = const, – величина коэффициента корреляции не изменится, если все значения случайных величин X и Y увеличить (или уменьшить) на константу.

5). Между коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует связь:

Интерпретировать значения коэффициентов корреляции можно следующим образом:

Количественные критерии оценки тесноты связи:

В прогностических целях обычно используют величины с |r| > 0.7.

Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о существовании линейной зависимости между двумя случайными величинами, но не указывает, какая из величин обуславливает изменение другой. В действительности связь между двумя случайными величинами может существовать и без причинно-следственной связи между самими величинами, т.к. изменение обеих случайных величин может быть вызвано изменением (влиянием) третьей.

Коэффициент корреляции r xy является симметричным по отношению к рассматриваемым случайным величинам X и Y . Это означает, что для определения коэффициента корреляции совершенно безразлично, какая из величин является независимой, а какая – зависимой.

Значимость коэффициента корреляции

Даже для независимых величин коэффициент корреляции может оказаться отличным от нуля вследствие случайного рассеяния результатов измерений или вследствие небольшой выборки случайных величин. Поэтому следует проверять значимость коэффициента корреляции.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента :

.

Если t > t кр (P, n -2), то линейный коэффициент корреляции значим, а следовательно, значима и статистическая связь X и Y .

.

Для удобства вычислений созданы таблицы значений доверительных границ коэффициентов корреляции для различного числа степеней свободы f = n –2 (двусторонний критерий) и различных уровней значимости a = 0,1; 0,05; 0,01 и 0,001. Считается, что корреляция значима, если рассчитанный коэффициент корреляции превосходит значение доверительной границы коэффициента корреляции для заданных f и a .

Для больших n и a = 0,01 значение доверительной границы коэффициента корреляции можно вычислить по приближенной формуле

.

Как неоднократно отмечалось, для статистического вывода о наличии или отсутствии корреляционной связи между исследуемыми переменными необходимо произвести проверку значимости выборочного коэффициента корреляции. В связи с тем что надежность статистических характеристик, в том числе и коэффициента корреляции, зависит от объема выборки, может сложиться такая ситуация, когда величина коэффициента корреляции будет целиком обусловлена случайными колебаниями в выборке, на основании которой он вычислен. При существенной связи между переменными коэффициент корреляции должен значимо отличаться от нуля. Если корреляционная связь между исследуемыми переменными отсутствует, то коэффициент корреляции генеральной совокупности равен нулю. При практических исследованиях, как правило, основываются на выборочных наблюдениях. Как всякая статистическая характеристика, выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, т. е. его значения случайно рассеиваются вокруг одноименного параметра генеральной совокупности (истинного значения коэффициента корреляции). При отсутствии корреляционной связи между переменными у их коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю. Но из-за случайного характера рассеяния принципиально возможны ситуации, когда некоторые коэффициенты корреляции, вычисленные по выборкам из этой совокупности, будут отличны от нуля.

Могут ли обнаруженные различия быть приписаны случайным колебаниям в выборке или они отражают существенное изменение условий формирования отношений между переменными? Если значения выборочного коэффициента корреляции попадают в зону рассеяния,

обусловленную случайным характером самого показателя, то это не является доказательством отсутствия связи. Самое большее, что при этом можно утверждать, сводится к тому, что данные наблюдений не отрицают отсутствия связи между переменными. Но если значение выборочного коэффициента корреляции будет лежать вне упомянутой зоны рассеяния, то делают вывод, что он значимо отличается от нуля, и можно считать, что между переменными у их существует статистически значимая связь. Используемый для решения этой задачи критерий, основанный на распределении различных статистик, называется критерием значимости.

Процедура проверки значимости начинается с формулировки нулевой гипотезы В общем виде она заключается в том, что между параметром выборки и параметром генеральной совокупности нет каких-либо существенных различий. Альтернативная гипотеза состоит в том, что между этими параметрами имеются существенные различия. Например, при проверке наличия корреляции в генеральной совокупности нулевая гипотеза заключается в том, что истинный коэффициент корреляции равен нулю Если в результате проверки окажется, что нулевая гипотеза не приемлема, то выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная Другими словами, предположение о некоррелированности случайных переменных в генеральной совокупности следует признать необоснованным. И наоборот, если на основе критерия значимости нулевая гипотеза принимается, т. е. лежит в допустимой зоне случайного рассеяния, то нет оснований считать сомнительным предположение о некоррелированности переменных в генеральной совокупности.

При проверке значимости исследователь устанавливает уровень значимости а, который дает определенную практическую уверенность в том, что ошибочные заключения будут сделаны только в очень редких случаях. Уровень значимости выражает вероятность того, что нулевая гипотеза отвергается в то время, когда она в действительности верна. Ясно, что имеет смысл выбирать эту вероятность как можно меньшей.

Пусть известно распределение выборочной характеристики, являющейся несмещенной оценкой параметра генеральной совокупности. Выбранному уровню значимости а соответствуют под кривой этого распределения заштрихованные площади (см. рис. 24). Незаштрихованная площадь под кривой распределения определяет вероятность Границы отрезков на оси абсцисс под заштрихованными площадями называют критическими значениями, а сами отрезки образуют критическую область, или область отклонения гипотезы.

При процедуре проверки гипотезы выборочную характеристику, вычисленную по результатам наблюдений, сравнивают с соответствующим критическим значением. При этом следует различать одностороннюю и двустороннюю критические области. Форма задания критической области зависит от постановки задачи при статистическом исследовании. Двусторонняя критическая область необходима в том случае, когда при сравнении параметра выборки и параметра генеральной совокупности

требуется оценить абсолютную величину расхождения между ними, т. е. представляют интерес как положительные, так и отрицательные разности между изучаемыми величинами. Когда же надо убедиться в том, что одна величина в среднем строго больше или меньше другой, используется односторонняя критическая область (право- или левосторонняя). Вполне очевидно, что для одного и того же критического значения уровень значимости при использовании односторонней критической области меньше, чем при использовании двусторонней.

Рис. 24. Проверка нулевой гипотезы

Если распределение выборочной характеристики симметрично, то уровень значимости двусторонней критической области равен а, а односторонней - у (см. рис. 24). Ограничимся лишь общей постановкой проблемы. Более подробно с теоретическим обоснованием проверки статистических гипотез можно познакомиться в специальной литературе. Далее мы лишь укажем критерии значимости для различных процедур, не останавливаясь на их построении.

Проверяя значимость коэффициента парной корреляции, устанавливают наличие или отсутствие корреляционной связи между исследуемыми явлениями. При отсутствии связи коэффициент корреляции генеральной совокупности равен нулю Процедура проверки начинается с формулировки нулевой и альтернативной гипотез:

Различие между выборочным коэффициентом корреляции незначимо,

Различие между значимо, и следовательно, между переменными у их имеется существенная связь. Из альтернативной гипотезы следует, что нужно воспользоваться двусторонней критической областью.

В разделе 8.1 уже упоминалось, что выборочный коэффициент корреляции при определенных предпосылках связан со случайной величиной подчиняющейся распределению Стьюдента с степенями свободы. Вычисленная по результатам выборки статистика

сравнивается с критическим значением, определяемым по таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости а и степенях свободы. Правило применения критерия заключается в следующем: если то нулевая гипотеза на уровне значимости а отвергается, т. е. связь между переменными значима; если то нулевая гипотеза на уровне значимости а принимается. Отклонение значения от можно приписать случайной вариации. Данные выборки характеризуют рассматриваемую гипотезу как весьма возможную и правдоподобную, т. е. гипотеза об отсутствии связи не вызывает возражений.

Процедура проверки гипотезы значительно упрощается, если вместо статистики воспользоваться критическими значениями коэффициента корреляции, которые могут быть определены через квантили распределения Стьюдента путем подстановки в

Существуют подробные таблицы критических значений, выдержка из которых приведена в приложении к данной книге (см. табл. 6). Правило проверки гипотезы в этом случае сводится к следующему: если то можем утверждать, что связь между переменными существенная. Если то результаты наблюдений считаем непротиворечащими гипотезе об отсутствии связи.

Проверим гипотезу о независимости производительности труда от уровня механизации работ при по данным, приведенным в разделе 4.1. Ранее было вычислено, что По (8.38) получаем

По таблице распределения Стьюдента для находим критическое значение этой статистики: Поскольку нулевую гипотезу отвергаем, допуская ошибку лишь в 5% случаев.

Мы получим тот же результат, если будем сравнивать с критическим значением коэффициента корреляции найденным по соответствующей таблице при

которая имеет -распределение с степенями свободы. Далее процедура проверки значимости проводится аналогично предыдущей с помощью -критерия.

Пример

Исходя из экономического анализа явлений предполагаем в генеральной совокупности сильную связь между производительностью труда и уровнем механизации работ. Пусть, например, . В качестве альтернативной в этом случае можем выдвинуть гипотезу так как выборочный коэффициент корреляции Таким образом, мы должны воспользоваться односторонней критической областью. Из (8.40) следует, что

Полученное значение сравниваем с критическим значением Имеем Таким образом, на уровне значимости 5% можно предполагать наличие очень тесной связи между изучаемыми признаками, т. е. исходные данные позволяют считать правдоподобным, что

Значимость коэффициентов частной корреляции проверяется аналогичным путем. Изменяется только число степеней свободы, которое становится равным где - количество объясняющих переменных. Значение статистики, вычисленное по формуле

сравнивается с критическим значением а, найденным по таблице -распределения при уровне значимости а и числе степеней свободы Принятие или отклонение гипотезы о значимости коэффициента частной корреляции производится по тому же правилу, что было описано выше. Проверку значимости можно осуществить также с помощью критических значений коэффициента корреляции по (8.39), а также используя -преобразование Фишера (8.40).

Пример

Проверим статистическую надежность коэффициентов частной корреляции, вычисленных в разделе 4.5, на уровне значимости Ниже, наряду с коэффициентами частной корреляции, приведены соответствующие им расчетные и критические значения статистики

В связи с тем что при принимается гипотеза о значимости коэффициентов делаем вывод: уровень механизации работ оказывает существенное влияние на производительность труда при исключении влияния среднего возраста работников (и среднего процента выполнения норм). Отличие от нуля остальных коэффициентов

частной корреляции может быть отнесёноза счет случайных колебаний в выборке, и поэтому по ним мы не можем сказать ничего определенного о частных влияниях соответствующих переменных.

О значимости коэффициента множественной корреляции судят по результату осуществления процедуры проверки значимости коэффициента множественной детерминации. Более подробно мы обсудим это в следующем разделе.

Часто представляет интерес вопрос: значимо ли отличаются друг от друга два коэффициента корреляции? При проверке этой гипотезы предполагается, что рассматриваются одни и те же признаки однородных совокупностей; данные представляют собой результаты независимых испытаний; применяются коэффициенты корреляции одного типа, т. е. либо коэффициенты парной корреляции, либо коэффициенты частной корреляции при исключении одинакового количества переменных.

Объемы двух выборок, по которым вычисляются коэффициенты корреляции, могут быть различны. Нулевая гипотеза: т. е. коэффициенты корреляции двух рассматриваемых совокупностей равны. Альтернативная гипотеза: Из альтернативной гипотезы следует, что должна быть использована двусторонняя критическая область. Другими словами, следует проверить, значимо ли отличается от нуля разность Воспользуемся статистикой, имеющей приближенно нормальное распределение:

где - результаты -преобразований коэффициентов корреляции - объемы выборок. Правило проверки: если то гипотеза отвергается; если то гипотеза принимается.

В случае принятия величина

после обратного пересчета в с помощью (8.6) служит сводной оценкой коэффициента корреляции Далее может быть проверена гипотеза с помощью статистики

имеющей нормальное распределение.

Пример

Пусть требуется установить при различна ли теснота связи между производительностью труда и уровнем механизации работ на предприятиях одной отрасли промышленности, расположенных в различных районах страны. Сравним предприятия, находящиеся в двух районах. Пусть для одного из них коэффициент корреляции вычислен по выборке объема (см. раздел 4.1). Для Другого района вычислен по выборке объема

После перевода обоих коэффициентов корреляций в -величины вычислим по (8.42) значение статистики X:

Критическое значение статистики при составляет Таким образом, гипотеза принимается, т. е. на основе имеющихся выборок мы не можем установить значимого различия между коэффициентами корреляции. При этом оба коэффициента корреляции значимы.

Используя (8.43) и (8.6), получим сводную оценку коэффициента корреляции для двух районов:

Наконец, проверим гипотезу, значимо ли отличается от нуля сводная оценка коэффициента корреляции с помощью статистики (8.44):

Так как при можем утверждать, что в генеральной совокупности имеется существенная связь между производительностью труда и уровнем механизации работ.

Критерий X может быть использован в различных аспектах. Так, вместо районов могут рассматриваться различные отрасли промышленности, например когда требуется определить, значимы ли различия по силе исследуемых связей между экономическими показателями предприятий, принадлежащих двум различным отраслям.

Пусть на основе двух выборок объема вычислены коэффициенты корреляции характеризующие тесноту связи между производительностью труда и уровнем механизации работ на предприятиях, принадлежащих двум отраслям промышленности (двум генеральным совокупностям). По (8.42) получим

Так как при нулевую гипотезу отвергаем. Следовательно, можно утверждать, что имеются значимые различия в тесноте связи между производительностью труда и уровнем механизации работ на предприятиях, относящихся к различным отраслям промышленности. Этот пример продолжим в разделе 8.7, где будет произведено сравнение регрессионных прямых, построенных для двух совокупностей.

Анализируя приведенные примеры, убеждаемся, что рассмотрение только абсолютной разницы сравниваемых коэффициентов корреляции

(объемы выборок в обоих случаях одинаковы) без проверки значимости этой разницы приведет к ошибочным заключениям. Это подтверждает необходимость пользоваться статистическими критериями при сравнении коэффициентов корреляции.

Процедуру сравнения двух коэффициентов корреляции можно обобщить на большее число коэффициентов при соблюдении указанных выше предпосылок. Гипотеза равенства коэффициентов корреляции между переменными у их выражается следующим образом: Она проверяется на основе коэффициентов корреляции вычисленных по выборкам объема из генеральных совокупностей. производится пересчет коэффициентов корреляций в -величины: Так как в общем случае неизвестен, находим его оценку через по формуле, являющейся обобщением (8.43).

; ; .

Теперь вычислим значения выборочных средних квадратических отклонений:

https://pandia.ru/text/78/148/images/image443_0.gif" width="413" height="60 src=">.

Корреляционная связь между уровнем https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25" height="24"> у десятиклассников, тем выше средний уровень успеваемости по математике, и наоборот.

2. Проверка значимости коэффициента корреляции

Так как выборочный коэффициент вычисляется по выборочным данным, то он является случайной величиной. Если , то возникает вопрос: объясняется ли это действительно существующей линейной связью между иhttps://pandia.ru/text/78/148/images/image301_1.gif" width="29" height="25 src=">.gif" width="27" height="25">: (если не известен знак корреляции); или односторонней https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.gif" width="43" height="23 src="> (если знак корреляции может быть заранее определен).

Способ 1. Для проверки гипотезы используется https://pandia.ru/text/78/148/images/image150_1.gif" width="11" height="17 src=">-критерия Стьюдента по формуле

https://pandia.ru/text/78/148/images/image406_0.gif" width="13" height="15">.gif" width="36 height=25" height="25">.gif" width="17" height="16"> и числе степеней свободы для двустороннего критерия.

Критическая область задается неравенством .

Если https://pandia.ru/text/78/148/images/image455_0.gif" width="99" height="29 src=">, то нулевая гипотеза отклоняется. Делаем выводы:

§ для двусторонней альтернативной гипотезы – коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;

§ для односторонней гипотезы – существует статистически значимая положительная (или отрицательная) корреляция.

Способ 2. Можно воспользоваться также таблицей критических значений коэффициента корреляции , из которой находим величину критического значения коэффициента корреляции по числу степеней свободы https://pandia.ru/text/78/148/images/image367_1.gif" width="17 height=16" height="16">.

Если https://pandia.ru/text/78/148/images/image459_0.gif" width="101" height="29 src=">, то делается вывод, что коэффициент корреляции значимо отличатся от 0 и существует статистически значимая корреляция .

Так, одни явления могут одновременно, но независимо друг от друга (совместные события) происходить или изменяться (ложная регрессия). Другие – находиться в причинной зависимости не друг с другом, а по более сложной причинно-следственной связи (косвенная регрессия). Таким образом, при значимом коэффициенте корреляции окончательный вывод о наличии причинно-следственной связи можно сделать только с учетом специфики исследуемой проблемы.

Пример 2. Определить значимость выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в примере 1.

Решение.

Выдвинем гипотезу : о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Так как знак корреляции в результате решения примера 1 определен – корреляция положительна, то альтернативная гипотеза является односторонней вида https://pandia.ru/text/78/148/images/image448_0.gif" width="43" height="23 src=">.

Найдем эмпирическое значение -критерия:

https://pandia.ru/text/78/148/images/image461_0.gif" width="167 height=20" height="20">, уровень значимости выберем равным . По таблице «Критические значения -критерия Стьюдента при различных уровнях значимости» находим критическое значение .

Так как https://pandia.ru/text/78/148/images/image434_0.gif" width="25 height=24" height="24"> и средним уровнем успеваемости по математике существует статистически значимая корреляция.

Тестовые задания

1. Отметьте не менее двух правильных ответов. Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции основана на статистической проверке гипотезы о том, что …

1) в генеральной совокупности отсутствует корреляция

2) отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки

3) коэффициент корреляции значимо отличается от 0

4) отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции не случайно

2. Если выборочный коэффициент линейной корреляции , то большему значению одного признака соответствует … большее значение другого признака.

1) в среднем

3) в большинстве наблюдений

4) изредка

3. Выборочный коэффициент корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image465_0.gif" width="64" height="23 src="> (для объема выборки и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что существует статистически значимая положительная корреляция между психологическими признаками?

5. Пусть в задаче выявления силы линейной связи между психологическими признаками найден выборочный коэффициент корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image466_0.gif" width="52 height=20" height="20"> и уровне значимости 0,05). Можно ли говорить, что отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки?

Тема 3. коэффициенты ранговой корреляции и ассоциации

1. Коэффициент ранговой корреляции https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21 height=19" height="19"> и. Число значений признаков (показателей, испытуемых, качеств, черт) может быть любым, но их число должно быть одинаково.

Испытуемые
Ранги признака
Ранги признака

Обозначим разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого через https://pandia.ru/text/78/148/images/image470_0.gif" width="319" height="66">,

где - количество значений ранжируемых признаков, показателей.

Коэффициент корреляции рангов принимает значения в пределах от –1 до +1 и рассматривается как средство быстрой оценки коэффициента корреляции Пирсона .

Для проверки значимости коэффициента корреляции рангов Спирмена (если число значений https://pandia.ru/text/78/148/images/image472_0.gif" width="55" height="29"> зависит от числа и уровня значимости . Если эмпирическое значение больше , то на уровне значимости можно утверждать, что признаки связаны корреляционной зависимостью.

Пример 1. Психолог выясняет, как связаны результаты успеваемости учащихся по математике и физике, результаты которых приведены в виде ранжированного ряда по фамилиям.

Учащийся											Сумма
Успеваемость по математике
Успеваемость по физике
Квадрат разности между рангами

Вычислим сумму , тогда коэффициент корреляции рангов Спирмена равен:

Проверим значимость найденного рангового коэффициента корреляции . Найдем критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена по таблице (см. Приложения) для :

https://pandia.ru/text/78/148/images/image480_0.gif" width="72" height="25"> больше значения = 0,64 и значения 0,79. Это говорит о том, что значение попало в область значимости коэффициента корреляции. Поэтому можно утверждать, что коэффициент корреляции рангов Спирмена значимо отличается от 0; значит, результаты успеваемости учащихся по математике и физике связаны положительной корреляционной зависимостью . Существует значимая положительная корреляция между успеваемостью по математике и успеваемостью по физике: чем лучше успеваемость по математике, тем в среднем лучше результаты по физике, и наоборот.

Сравнивая коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена, отметим, что коэффициент корреляции Пирсона соотносит значения величин , а коэффициент корреляции Спирмена – значения рангов этих величин, поэтому значения коэффициентов Пирсона и Спирмена часто оказываются несовпадающими.

Для более полного осмысления экспериментального материала, получаемого в психологических исследованиях, целесообразно осуществлять подсчет коэффициентов и по Пирсону, и по Спирмену.

Замечание . При наличии одинаковых рангов в ранговых рядах и в числитель формулы вычисления коэффициента корреляции рангов добавляются слагаемые – «поправки на ранги»: ; ,

где https://pandia.ru/text/78/148/images/image130_3.gif" width="21" height="19">;

https://pandia.ru/text/78/148/images/image165_1.gif" width="16" height="19">.

В этом случае формула для вычисления коэффициента ранговой корреляции принимает вид https://pandia.ru/text/78/148/images/image485_0.gif" width="16" height="19">.

Условия применения коэффициента ассоциации .

1. Сравниваемые признаки измерены в дихотомической шкале.

2..gif" width="21" height="19">, , обозначенные символами 0 и 1, приведены в таблице.

Номер наблюдения

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Корреляционный анализ

Введение

1. Корреляционный анализ

1.1 Понятие корреляционной связи

1.2 Общая классификация корреляционных связей

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

1.4 Этапы корреляционного анализа

1.5 Коэффициенты корреляции

1.6 Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона

1.7 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

1.8 Основные свойства коэффициентов корреляции

1.9 Проверка значимости коэффициентов корреляции

1.10 Критические значения коэффициента парной корреляции

2. Планирование многофакторного эксперимента

2.1 Условие задачи

2.2 Определение центр плана (основной уровень) и уровня варьирования факторов

2.3 Построение матрицы планирования

2.4 Проверка однородности дисперсии и равноточности измерения в разных сериях

2.5 Коэффициенты уравнения регрессии

2.6 Дисперсия воспроизводимости

2.7 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

2.8 Проверка адекватности уравнения регрессии

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований - от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р.Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В 60-х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

Планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

Планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

Планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

Планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

Планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий.

Задачи дисциплины: изучение современных методов планирования, организации и оптимизации научного и промышленного эксперимента, проведения экспериментов и обработки полученных результатов.

1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

1.1 Понятие корреляционной связи

Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции?

Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.

Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Корреляционные связи различаютсяпо форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (рисунок 1). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.

Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции

По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого (рисунок 2). При отрицательной корреляции соотношения обратные (рисунок 3). При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.

Рисунок 2 – Прямая корреляция

Рисунок 3 – Обратная корреляция

Рисунок 4 – Отсутствие корреляции

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

1.2 Общая классификация корреляционных связей

В зависимости от коэффициента корреляции различают следующие корреляционные связи:

Сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;

Средняя (при 0,50

Умеренная (при 0,30

Слабая (при 0,20

Очень слабая (при r<0,19).

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения (x i , y i) двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i и y i . При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д.

Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i и y i . Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (метры, секунды, килограммы и т.д.), то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i и y i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров: μ x , μ y – средние значения (математические ожидания); σ x ,σ y – стандартные отклонения случайных величин Х и Y и р – коэффициент корреляции, который является мерой связи между случайными величинами Х и Y.
Если р = 0, то значения, x i , y i , полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, ограниченной окружностью (рисунок 5, а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y.