Критерий Лапласа

Если ни одно из возможных последствий принимаемых решений нельзя назвать более вероятным, чем другие, т.е. если они являются приблизительно равновероятными, то решение можно принимать с помощью критерия Лапласа следующего вида:

На основании приведенной формулы оптимальным надо считать то решение, которому соответствует наибольшая сумма выплат.

Суммы выплат для отдельных вариантов решений в нашем примере составят

Наибольшей является сумма выплат второй строки. Значит, в качестве оптимального решения надо принять переход на массовый выпуск продукции через год, т.е. то же решение, что было признано оптимальным и с помощью критерия математического ожидания.

Когда два разных критерия предписывают принять одно и то же решение, то это лишний раз подтверждает его оптимальность. Если же критерии указывают на разные решения, то предпочтение в ситуации риска надо отдать тому из них, на которое указывает критерий математического ожидания. Именно он является основным для данной ситуации, однако существуют и другие.

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Представим ситуацию, когда фирма готова перейти к массовому выпуску нового вида продукции, но не знает, когда лучше это сделать: немедленно, через год или же через два года. Дело в том, что новая продукция из-за своей дороговизны, очевидно, не сразу найдет массового покупателя. А излишняя торопливость может привести к тому, что оборотные средства фирмы окажутся надолго иммобилизованными в осевшей на складах готовой продукции, что грозит убытками. Но медлить тоже нельзя: конкуренты перехватят инициативу, и значительная часть ожидаемой прибыли будет упущена. Фирма не смогла даже приблизительно оценить вероятности для разных сроков появления массового спроса. Поэтому налицо ситуация неопределенности.

Возможные последствия принимаемых решений в условиях разной реакции рынка на новую продукцию представлены в таблице выплат (табл. 2.25).

Таблица 2.25

Выплаты

Как видно из табл. 2.25, немедленный переход к массовому выпуску нового вида продукции может дать наибольшую прибыль, но в случае неудачи грозит и большими убытками. Другие варианты выбора срока перехода к массовому производству данного вида продукции исключают возможность возникновения убытков, но и прибыль дают меньшую.

Выбор оптимального решения здесь затруднен отсутствием сведений о вероятностях той или иной реакции рынка.

Для выбора эффективной стратегии в ситуации неопределенности используются следующие критерии.

Критерий MAXIMAX

Он определяет альтернативу, максимизирующую максимальный результат для каждого состояния возможной действительности. Это критерий крайнего оптимизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный

Запись видаозначает поиск максимума перебором столбцов, а запись вида – поиск максимума перебором строк в матрице выплат.

Нетрудно увидеть, что для нашей ситуации наилучшим решением будет 16, т.е. немедленный переход к новому выпуску продукции.

Следует заметить, что обстоятельства, требующие применения такого критерия, в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, вынужденные руководствоваться принципом "или пан, или пропал".

Максиминный критерий Вальда

Его называют еще критерием пессимиста, поскольку при его использовании как бы предполагается, что от любого решения надо ожидать самых худших последствий.

Расчет максимина в соответствии с приведенной выше формулой состоит из двух шагов.

Находим худший результат каждого варианта решения, т.е. величину min Х ij и строим таблицу (табл. 2.26).

(2.9)

(2.10)

Таблица 2.26

Расчет максимина (первый шаг)

Из худших результатов, представленных в столбце минимумов, выбираем лучший. Он стоит во второй строке таблицы, что предписывает приступить к массовому выпуску новой продукции через год.

Это перестраховочная позиция крайнего пессимиста. Такая стратегия приемлема, когда инвестор нс столько заинтересован в крупной удаче, сколько хочет застраховать себя от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением принимающего решения лица к риску.

Критерий MINIMAX, или критерий Сэвиджа. В отличие от предыдущего критерия он ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму (проект) к полному краху.

(2.11)

Расчет данного критерия включает в себя четыре шага.

• 1. Находим лучшие результаты каждого в отдельности столбца, т.е. max Х ij. Таковыми в нашем примере будут для первого столбца 16, для второго – 12 и третьего – 5. Это те максимумы, которые можно было бы получить, если бы удалось точно угадать возможные реакции рынка.
• 2. Определяем отклонения от лучших результатов в пределах каждого отдельного столбца, т.е. max Х ij – Х ij. Получаем матрицу отклонений, которую можно назвать матрицей сожалений, ибо ее элементы – это недополученная прибыль от неудачно принятых решений из-за ошибочной оценки возможной реакции рынка. Матрицу сожалений можно оформить в виде таблицы (табл. 2.27).

Таблица 2.27

Матрица сожалений

Судя по приведенной матрице, не придется ни о чем жалеть, если фирма немедленно перейдет к массовому выпуску новой продукции, и рынок сразу же отреагирует на это массовым спросом. Однако если массовый спрос возникнет только через два года, то придется пожалеть о потерянных вследствие такой поспешности 12 млн у.е.

3. Для каждого варианта решения, т.е. для каждой строки матрицы сожалений, находим наибольшую величину. Получаем столбец максимумов сожалений (табл. 2.28).

Таблица 2.28

Максимальные сожаления

4. Выбираем решение, при котором максимальное сожаление будет меньше других. В приведенном столбце максимальных сожалений оно стоит во второй строке, что предписывает перейти к массовому выпуску через год.

Критерий сожаления. Критерий математического ожидания . Психология поведения ЛИР в ситуациях риска и неопределенности. Использование теории полезности для выбора оптимального варианта решения. Интуитивный выбор оптимального варианта.  

Байеса (Лапласа) критерий 27, 224 Байесовский подход 27 Баланс 27 Балансирующая (или равновесная)  

Предлагаются и другие критерии, например, пытаются свести проблему неопределенных факторов it проблеме случайных факторов , считая, что параметр у распределен равномерно на множестве (так называемый критерий Байеса - Лапласа). В задаче о полезных ископаемых предполагалось бы, что месторождения расположены равномерно по всей территории. Такой подход навряд ли можно считать правомерным, поскольку выводы, полученные с его помощью, не имеют под собой логической основы. Впрочем, критерий Байеса - Лапласа не произвольнее критерия Гурвица.  

Оптимистичный подход, подходы на основе критерия Гурвица , критерия Байеса - Лапласа и критерия Сэвиджа имеют в данном случае следующий вид  

Критерий Лапласа - ориентируйся на среднее  

Использование критериев Лапласа и Вальда в принятии управленческих решений.  

В условиях полной неопределенности, когда вероятности рассматриваемых ситуаций неизвестны, можно пользоваться правилом Лапласа, заключающимся в том, что все неизвестные вероятности PJ считают равными. После этого выбор эффективного решения можно принимать или по правилу максимизации среднего ожидаемого выигрыша (3.1.3) или по правилу минимизации среднего риска (3.1.4). Подобный критерий принятия решения можно назвать принципом недостаточного обоснования Лапласа.  

Важное значение для оценки предпринимательских рисков имеет математический метод , суть которого заключается в использовании для оценки риска критерия математического ожидания , критерия Лапласа и критерия Гурвица . Основным из них является критерий математического ожидания.  

Если все состояния среды имеют равную вероятность, то для расчетов используется критерий Лапласа  

Критерий Лапласа. Данный критерий применяется, если состояния внешней среды неизвестны, но их можно считать равновероятными, т. е.  

Критерий Лапласа может быть применен, когда ЛПР не может предпочесть ни одной гипотезы.  

Наиболее известны критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица, позволяющие принять решение в условиях неопределенности на основе анализа матрицы возможных результатов строки соответствуют возможным действиям R (вариантам доставки грузов) столбцы - возможным состояниям природы 5 (критериям доставки) элементы матрицы - результат при выборе j-то действия и реализации г -го состояния V- (рис. 10.6) .  

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания, согласно которому все состояния природы Sf (i = 1, ri) полагаются равновероятными. Таким образом, каждому состоянию 5(. соответствует вероятность qf определяемая по формуле  

Критерий Лапласа. Все состояния природы 5. (г = 1, п) полагаются равновероятными. Вероятность qf определяется по формуле (10.3) и будет равна qi = 1/3.  

Модифицированный метод Гурвица. Основная идея модификации состоит в том, чтобы при оценке каждой альтернативы, помимо крайних по предпочтительности значений результата, в методе фигурировали бы и промежуточные результаты. Для реализации этой идеи авторы воспользовались методом главного критерия (см. подразд. 2.5). Главным критерием была выбрана линейная свертка (3.23). При модификации метода в качестве неглавного показателя выбран средний результат. Предложено было оценку среднего результата проводить с использованием принципа недостаточного основания Лапласа. В итоге технология обоснования решений в условиях природной неопределенности реализуется в ходе решения следующей задачи  

Критерий Лапласа. Этот критерий опирается на принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы S/, / = 1,.л полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию Sf ставится вероятность qt, определяемая по формуле  

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапласа, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).  

Решите задачу для каждого из следующих критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (положите а = 0,6). Полученные решения сравните. >  

Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при а = 0,1. Сравните решения и сделайте выводы.  

Критерий Лапласа. Он применяется, когда различным возможным состояниям приписываются соответствующие значения вероятности.  

БАЙЕСА (ЛАПЛАСА) КРИТЕРИЙ - в теории решений критерий принятия решений в условиях отсутствия какой-либо информации об относительных вероятностях стратегий "природы". (См. Неопределенные задачи .) По Б.(Л.)к. предлагается придать равные вероятности всем рассматриваемым стратегиям, после чего принять ту из них, при которой ожидаемый выигрыш окажется наибольшим. Имеет тот недостаток, что круг оцениваемых альтернатив в одной и той же задаче может быть различным и соответственно различной может быть также относительная вероятность каждой из них.  

В связи с этим необходимо использование специальных процедур и методов для отбора наиболее целесообразных вариантов. При этом мы не имеем полной информации о возможных действиях конкурентов. Рассмотренные задачи могут быть описаны с помощью "традиционных" методов принятия решений без использования численных значений вероятностей отдельных вариантов". Из них наиболее целесообразным является использование критериев Лапласа, Сэвиднея. Однако, для эффективного применения последних необходима разработка специальной методики определения возможных потерь от выбора неэффективного варианта стратегии.  

Мы рассмотрели несколько основных подходов к принятию решения в случае неопределенных факторов в изучаемой модели. Можно привести примеры, когда все критерии принятия решения приводят к выбору одного и того же решения x e X, обычно же этого не происходит, каждый критерий приводит к своему решению (пример такого рода рассмотрен в следующей главе). Поэтому возникают дискуссии о том, какой критерий и когда предпочтительнее,. делаются попытки построить на основе нескольких критериев единственный. В частности, критерий Гурвица является таким объединением двух критериев. Предпринимались также попытки объединить критерий Гурвпца и критерий Байеса - Лапласа. Все получаемые критерии имеют высокую степень произвольности. По нашему мнению, единственным путем преодоления этих трудностей является многокритериальный подход, в котором ЛПР смогло бы рассмотреть варианты принимаемого решения, эффективные с точки зрения совокупности показателей, и выбрать среди них наиболее подходящий. Такой подход использован в примере, приведенном в следующей главе. Конечно, совокупность показателей при этом должна, быть не слишком велика.  

Методы построения решения без участия ЛПР предлагается использовать в тех случаях, когда указывается направление улучшения значения критерия. При этом применяются методы типа максим инного или оптимистичного подхода,

Назначение сервиса . Данный тип задач относится к задачам принятия решений в условиях неопределенности . С помощью сервиса можно выбрать оптимальную стратегию, используя:

• критерий минимакса, критерий максимакса, критерий Байеса, критерий Вальда, критерий Сэвиджа , критерий Лапласа, критерий Ходжа-Лемана см. Типовые задания ;
• критерий Гурвица, обобщенный критерий Гурвица с расчетом эффективности.

Также проводится планирование идеального эксперимента. Результаты онлайн вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).

Инструкция . Для выбора оптимальной стратегии в онлайн режиме необходимо задать размерность матрицы. Затем в новом диалоговом окне выбрать необходимые критерии и коэффициенты. Также можно вставить данные из Excel .

Размерность платежной матрицы (целевая функция ЗПР в условиях неопределенности)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ",0);">

Примечание : Сначала, если возможно, упрощают матрицу, вычеркивая невыгодные стратегии A. Стратегии природы вычеркивать нельзя, т. к. каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий A .

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов; влияющих на эффективность принимаемых решений. Безразличие природы к игре (выигрышу) к возможность получения экономистом (статистиком) дополнительной информации о ее состоянии отличают игру экономиста с природой от обычной матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока.

Пример . Предприятие может выпускать 3 вида продукции А 1 , А 2 и А 3 , получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4-х состояний (В 1 , В 2 , В 3 , В 4). Элементы платежной матрицы характеризуют прибыль, которую получат при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей:

	В 1	В 2	В 3	В 4
А 1	2	7	8	6
А 2	2	8	7	3
А 3	4	3	4	2

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие максимизацию средней величины прибыли при любом состоянии спроса, считая его определенным. Задача сводится к игровой модели, в которой.

Решение.
Критерий максимакса .

Выбираем из (8; 8; 4) максимальный элемент max=8

Критерий Лапласа .

Выбираем из (5.75; 5; 3.25) максимальный элемент max=5.75
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Вальда .

Выбираем из (2; 2; 2) максимальный элемент max=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа .
Находим матрицу рисков.
Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 4 - 2 = 2; r 21 = 4 - 2 = 2; r 31 = 4 - 4 = 0;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 8 - 7 = 1; r 22 = 8 - 8 = 0; r 32 = 8 - 3 = 5;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 8 = 0; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 4 = 4;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 6 - 6 = 0; r 24 = 6 - 3 = 3; r 34 = 6 - 2 = 4;

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Выбираем из (2; 3; 5) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 1 .

Задание . Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса П j , j=1,4 (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A 1 , А 2 , А 3 . Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.

	П 1	П 2	П 3	П 4
А 1	30 +N	10	20	25 + N/2
А 2	50	70 - N	10 + N/2	25
А 3	25 – N/2	35	40	60 - N/2

где N=3
Известны возможные состояния покупательского спроса, которые соответственно q 1 =0,3, q 2 =0,2, q 3 =0,4, q 4 =0,1. Необходимо найти стратегию сбыта, максимизирующую средний товарооборот фирмы. При этом использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Байеса.

Решение находим с помощью калькулятора .
Критерий Байеса .
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i , при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0.3 + 10 0.2 + 20 0.4 + 26.5 0.1 = 22.55
∑(a 2,j p j) = 50 0.3 + 67 0.2 + 11.5 0.4 + 25 0.1 = 35.5
∑(a 3,j p j) = 23.5 0.3 + 35 0.2 + 40 0.4 + 58.5 0.1 = 35.9

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij p j)
A 1	9.9	2	8	2.65	22.55
A 2	15	13.4	4.6	2.5	35.5
A 3	7.05	7	16	5.85	35.9
p j	0.3	0.2	0.4	0.1

Критерий Лапласа .
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
q i = 1/4

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	∑(a ij)
A 1	8.25	2.5	5	6.63	22.38
A 2	12.5	16.75	2.88	6.25	38.38
A 3	5.88	8.75	10	14.63	39.25
p j	0.25	0.25	0.25	0.25

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Вальда .
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10
A 2	50	67	11.5	25	11.5
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа .
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 50 - 33 = 17; r 21 = 50 - 50 = 0; r 31 = 50 - 23.5 = 26.5;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 67 - 10 = 57; r 22 = 67 - 67 = 0; r 32 = 67 - 35 = 32;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 40 - 20 = 20; r 23 = 40 - 11.5 = 28.5; r 33 = 40 - 40 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 58.5 - 26.5 = 32; r 24 = 58.5 - 25 = 33.5; r 34 = 58.5 - 58.5 = 0;

A i	П 1	П 2	П 3	П 4
A 1	17	57	20	32
A 2	0	0	28.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	max(a ij)
A 1	17	57	20	32	57
A 2	0	0	28.5	33.5	33.5
A 3	26.5	32	0	0	32

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Гурвица .
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s i)
где s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s i .
s 1 = 0.5 10+(1-0.5) 33 = 21.5
s 2 = 0.5 11.5+(1-0.5) 67 = 39.25
s 3 = 0.5 23.5+(1-0.5) 58.5 = 41

A i	П 1	П 2	П 3	П 4	min(a ij)	max(a ij)	y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
A 1	33	10	20	26.5	10	33	21.5
A 2	50	67	11.5	25	11.5	67	39.25
A 3	23.5	35	40	58.5	23.5	58.5	41

Вывод: выбираем стратегию N=3.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 3 .

Руководство компании принимает решение о размещении производства нового продукта в некотором месте. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке нового продукта на момент освоения производства, ему необходимо учесть затраты на доставку готовой продукции до потребителя, развитость транспортной и социальной инфраструктуры региона, конкуренцию на рынке, соотношение спроса и предложения, курсы валют и многое другое. Возможные варианты решений, инвестиционная привлекательность которых определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, представлены в таблице.
Выбрать:
1) место для размещения производства, если руководитель предприятия уверен в том, что на рынке сложится ситуация 4;
2) место для размещения производства, если руководство оценивает вероятность ситуации 1 в 0,2; ситуации 2 в 0,1; ситуации 3 в 0,25;
3) провести выбор варианта в условиях неопределенности по критерию: максимакс, максимин, критерий Лапласа, критерий Сэведжа, критерий Гурвица (y = 0,3);
4) изменится ли наилучший вариант решения по критерию Гурвица если величину a увеличить до 0,5?
5) предположив, что данные таблицы представляют затраты предприятия, определить выбор, который сделает предприятие при использовании каждого из следующих критериев: максимин; максимакс; критерий Гурвица(? = 0,3); критерий Сэведжа; критерий Лапласа

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим прин­ципом каждому состоянию Si, ставится вероятность q i определяе­мая по формуле

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R j , дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия R j вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R j .

Другими словами, находится действие Rj , соответствующее

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков ||r ji ||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует на­илучший уровень провозных возможностей транспортного пред­приятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превы­шения провозных возможностей над спросом (из-за простоя по­движного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей:

Таблица 10- прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R 1 , R 2 , R 3 , R 4 Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S i и R j заданы следующей матрицей (таблицей):

Рисунок 4-матрица для принятия решения

Принцип Лапласа предполагает, что S 1 , S 2 , S 3 , S 4 равновероят­ны. Следовательно, P{S = S i }= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 и ожидае­мые затраты при различных действиях R 1 , R 2 , R 3 , R 4 составляют:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с критерием Лапласа будет R 2 .

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный крите­рий).

Применение данного критерия не требует знания вероятнос­тей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наиболь­шей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилуч­шей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат V ij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{V ij }, а затем выбирается действие R j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. дейст­вие, определяющее результат, равный

. (29)

Если в исходной матрице по условию задачи результат V ij пред­ставляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный кри­терий.

Для определения оптимальной стратегии R j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij} , а затем выбирается действие R j (строка j), которому будут соответство­вать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как V ij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таб­лице:

Таблица 11-

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R 3 .

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.