Детерминированный факторный анализ – это методика исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.
При моделировании детерминированных факторных систем необходимо выполнять ряд требований:
1. Факторы, включаемые в модель, и сами модели должны иметь определенно выраженный характер, реально существовать, а не быть придуманными абстрактными величинами или явлениями.
2. Факторы, которые входят в систему, должны быть не только необходимыми элементами формулы, но и находиться в причинно-следственной связи с изучаемыми показателями.
3. Каждые показатели факторной модели должны быть количественно измеримыми, т.е. должны иметь единицу измерения и необходимую информационную обеспеченность.
4. Факторная модель должна обеспечивать возможность измерения влияния отдельных факторов, это означает, что в ней должна учитываться соразмерность измерений результативного и факторных показателей, а сумма влияния отдельных факторов должна равняться общему приросту результативного показателя.
Типы факторных моделей встречающихся в детерминированном анализе:
Аддитивные модели, используются в случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей;
Мультипликативные модели, применяются, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов;
Кратные модели, применяются, когда результативный показатель получают делением одного факторного показателя на величину другого;
Смешанные (комбинированные) модели – сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей.
Основные приемы детерминированного факторного анализа и сфера их применения систематизированы в виде таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Область применения основных приемов детерминированного факторного анализа
Методы элиминирования
Элиминировать– значит устранить, отклонить, исключить воздействие всех факторов на величину результативного показателя, кроме одного. Этот метод исходит из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга: сначала изменяется один, а все другие остаются без изменения, потом изменяются два, затем три и т.д. Это позволяет определить влияние каждого фактора на величину исследуемого показателя в отдельности. К методам элиминирования относятся способ цепной подстановки, индексный метод, способ абсолютных и способ относительных разниц.
Способ цепной подстановки. Данный способ является универсальным, так как используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных. Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т.д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или иного фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить взаимодействие последнего на прирост результативного показателя.
Рассмотрим алгоритм расчета способом цепной подстановки для различных моделей:
Мультипликативная модель
Двухфакторная мультипликативная модель (Y = a ´ b):
; ; .
.
Трехфакторная мультипликативная модель(Y = a ´ b ´ с):
; 
.
; 
; 
; 
.
Кратная модель
В кратных моделях (Y = a ÷ b) алгоритм расчета факторов на величину результативного показателя следующий:
; 
;
.
Смешанные модели
Мультипликативно-аддитивного типа (Y = a ´ (b – c)):
; ;
; ;
; 
;
; .
Кратно-аддитивного типа ():
; 
; 
;
; 
.
Используя способ цепной подстановки, рекомендуется придерживаться определенной последовательности расчетов: в первую очередь нужно учитывать изменение количественных, а затем качественных показателей. Если же имеется несколько количественных и несколько качественных показателей, то сначала следует изменить величину факторов первого уровня подчинения, а потом более низкого.
Индексный метод. Индексный метод основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде.
С помощью агрегатных индексов можно выявить влияние различных факторов на изменение уровня результативных показателей в мультипликативных и кратных моделях.
Рассмотрим алгоритм расчета индексного метода для мультипликативной модели.
; 
; ; 
.
Способ абсолютных разниц. Как и способ цепной подстановки, данный способ применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных и мультипликативно-аддитивных моделях: и . Особенно эффективно применяется данный способ в том случае, если исходные данные уже содержат абсолютные отклонения по факторным показателям.
При его использовании величина влияния факторов рассчитывается умножением абсолютного прироста исследуемого фактора на базовую (плановую) величину факторов, которые находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева от него в модели.
Мультипликативная модель
Алгоритм расчета для мультипликативной факторной модели типа . Имеются плановые и фактические значения по каждому факторному показателю, а также их абсолютные отклонения:
Изменение величины результативного показателя за счет каждого фактора:
; 
.
Смешанные модели
Алгоритм расчета факторов этим способом в смешанных моделях типа :
; ; 
.
Способ относительных разниц применяется для изменения влияния факторов на прирост результативного показателя только в мультипликативных моделях и мультипликативно-аддитивных моделях: . Он значительно проще цепных подстановок, что при определенных обстоятельствах делает его очень эффективным. Это касается тех случаев, когда исходные данные содержат уже определенные ранее относительные приросты факторных показателей в процентах или коэффициентах.
Мультипликативная модель
Алгоритм расчета влияния факторов на величину результативного показателя для мультипликативных моделей типа (Y = a ´ b ´ с).
Сначала рассчитываются относительные отклонения факторных показателей:
; 
; 
.
Изменение результативного показателя за счет каждого фактора определяется следующим образом:
Мультипликативная модель.
Пример 2. Выручка от реализации продукции (объем продукции - V) может быть выражена как произведение комплекса факторов: численность персонала (Чп), доля рабочих в общей численности персонала (dр); среднегодовая выработка одного рабочего (Вр)
V = Чп * dр * Вр
Смешанная (комбинированная) модель представляет собой сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей: Пример 4. Рентабельность предприятия (Р) определяется как частное от деления балансовой прибыли (Пбал) на среднегодовую стоимость основных (ОС) и нормируемых оборотных (ОБ) средств:
Ø Преобразования детерминированных факторных моделей
Для моделирования различных ситуаций в факторном анализе применяются специальные методы преобразования типовых факторных моделей. Все они основаны на приеме детализации . Детализация – разложение более общих факторов на менее общие. Детализация позволяет на основе знания экономической теории упорядочить анализ, содействует комплексному рассмотрению факторов, указывает значимость каждого из них.
Развитие детерминированной факторной системы достигается, как правило, за счет детализации комплексных факторов. Элементные (простые) факторы не раскладываются.
Пример 1. Факторы
Большая часть традиционных (специальных) приемов детерминированного факторного анализа основана на элиминировании . Прием элиминирования используется для определения изолированного фактора путем исключения воздействия всех остальных. Исходной посылкой данного приема является следующая: Все факторы изменяются независимо друг от друга: сначала изменяется один, а все другие остаются без изменения, затем изменяются два, три и т.д. при неизменности остальных. Прием элиминирования является в свою очередь основой для других приемов детерминированного факторного анализа, цепных подстановок, индексных, абсолютных и относительных (процентных) разниц.
Ø Прием цепных подстановок
Цель.
Область применения . Все виды детерминированных факторных моделей.
Ограничение на использование.
Порядок применения . Рассчитывается ряд скорректированных значений результативного показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на фактические.
Расчет влияния факторов целесообразно проводить в аналитической таблице.
Исходная модель: П = А х В х С х Д
АØ Прием абсолютных разниц
Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.
Область применения. Детерминированные факторные модели; в том числе:
1. Мультипликативные
2. Смешанные (комбинированные)
типа Y = (A-B)C и Y = A(B-C)
Ограничения на использование. Факторы в модели должны быть последовательно расположены: от количественных к качественным, от более общих к более частным.
Порядок применения. Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется путем умножения абсолютного прироста исследуемого фактора на базисную (плановую) величину факторов, которые в модели находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева.
В случае исходной мультипликативной модели П = А х В х С х Д получим: изменение результативного показателя
1. За счет фактора А:
DП А = (А 1 – А 0) х В 0 х С 0 х Д 0
2. За счет фактора В:
DП В = А 1 х (В 1 - В 0) х С 0 х Д 0
3. За счет фактора С:
DП С = А 1 х В 1 х (С 1 - С 0) х Д 0
4. За счет фактора Д:
DП Д = А 1 х В 1 х С 1 х (Д 1 - Д 0)
5. Общее изменение (отклонение) результативного показателя (баланс отклонений)
D П = D П а + D П в + D П с + D П д
Баланс отклонений должен соблюдаться (так же как в приеме цепных подстановок).
Ø Прием относительных (процентных) разниц
Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.
Область применения . Детерминированные факторные модели, включая:
1) мультипликативные;
2) комбинированные типа Y = (А – В) С,
целесообразно применять, когда известны определенные ранее относительные отклонения факторных показателей в процентах или коэффициентах.
Требования к последовательности расположения факторов в модели отсутствуют.
Исходная посылка . Результативный признак изменяется пропорционально изменению факторного признака.
Порядок применения . Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется путем умножения базисного (планового)значения результативного показателя на относительный прирост факторного признака.
Исходная модель:
Изменение результативного показателя:
1. За счет фактора А:
За счет фактора В:
2. За счет фактора С:
Баланс отклонений . Общее отклонение результативного показателя складывается из отклонений по факторам:
D Y = Y 1 - Y 0 = D Y A + D Y B + D Y C
Ø Индексный метод
Цель. Измерение относительного и абсолютного изменения экономических показателей и влияния на него различных факторов.
Область применения .
1. Анализ динамики показателей, в том числе агрегированных (сложенных).
2. Детерминированные факторные модели; включая мультипликативные и кратные.
Порядок применения . Абсолютное и относительное изменение экономических явлений.
Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота)
I pq – характеризует относительное изменение стоимости продукции в действующих ценах (ценах соответствующего периода)
Разность числителя и знаменателя (åp 1 q 1 - åp o q 0) – характеризует абсолютное изменение стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Агрегатный индекс цен:
I p – характеризует относительное изменение средней цены на совокупность видов продукции (товаров).
Разность числителя и знаменателя (åp 1 q 1 - åp o q 1) – характеризует абсолютное изменение стоимости продукции вследствие изменения цен на отдельные ее виды.
Агрегатный индекс физического объема продукции:характеризует относительное изменение объема продукции в фиксированных (сопоставимых) ценах.
åq 1 p 0 - åq 0 p 0 – разность числителя и знаменателя характеризует абсолютное изменение стоимости продукции вследствие изменения физических объемов различных ее видов.
На основе индексных моделей проводится факторный анализ.
Так, классической аналитической задачей является определение влияния на стоимость продукции фактора количества (физического объема) и цен:
å p 1 q 1 - å p 0 q 0 = (å q 1 p 0 - å q 0 p 0) + (å p 1 q 1 - å p 0 q 1).
Аналогично, используя индексную модель, можно определить влияние на полную себестоимость продукции (zq) факторов ее физического объема (q) и себестоимости единицы продукции различных видов (z)
В абсолютном выражении
å z 1 q 1 - å z 0 q 0 = (å q 1 z 0 - å q 0 z 0) + (å z 1 q 1 - å z 0 q 1)
Цель. Измерение изолированного влияния факторов на изменение результативного показателя.
Область применения . Детерминированные факторные модели, в том числе
· Мультипликативные
· Кратные
Преимущества. По сравнению с приемами, основанными на элиминировании, дает более точные результаты, поскольку дополнительный прирост результативного показателя за счет взаимодействия факторов распределяется пропорционально их изолированному воздействию на результативный показатель.
Порядок применения . Величина влияния отдельного фактора на изменение результативного показателя определяется на основе формул для разных факторных моделей, выведенных с применением дифференцирования и интегрирования в факторном анализе.
Изменение результативного показателя за счет фактора х
D¦ х = D ху 0 +DхDу / 2
за счет фактора у
D¦ у = D ух 0 +DуDх / 2
Общее изменение результативного показателя: D¦ = D¦ х + D¦ у
Баланс отклонений
D¦ = ¦ 1 - ¦ 0 = D¦ х +D¦ у
к.э.н., директор по науке и развитию ЗАО "КИС"
Анализ мультипликативной модели (Часть1)
В предыдущей статье мы рассмотрели один из методов прогнозирования, используемый для временных рядов - анализ аддитивной модели. Нашей задачей было представить пример расчета трендовых значений объема продаж и дать прогноз на будущие периоды на основе изложенных формул, не углубляясь в обоснование коэффициентов. Тем более, широкие возможности программного продукта Microsoft Excel позволяют расчет тренда сделать быстро, используя встроенные статистические функции.
Очевидно, чтобы выполнить прогноз, применяя стандартные технологии, нужна информация. И вот эта проблема является достаточно серьезной. Как правило, на современных предприятиях статистические ряды не накоплены. Информационная база начинается где-то в 90-х годах, а многое в тот период было неопределенным. Государственные статистические данные стали не актуальными, и достоверность данных далеко не безоговорочна.
Но функции планирования и прогнозирования являются основными видами деятельности любой организации, а стабилизационные процессы, протекающие в нашей стране за последний период, все же позволяют надеяться, что определенный тренд развития существует, и в будущем не будет нарушен. Определенные выводы можно будет делать и без полных статистических данных на маленькой выборке. Главное, правильно сформулировать условия решения задачи и выбрать метод, который был бы адекватен статистической природе изучаемых временных рядов.
Так, например, прежде чем определять метод, которым следует строить прогноз, аналитик должен решить для себя: обладает ли ряд, который он изучает, свойством сезонности.
Сезонность является объективным свойством временных рядов. Сезонная вариация - это повторение данных через небольшой промежуток времени, т.е. если форма кривой, которая описывает продажи товара, повторяет свои характерные очертания и тенденции, то о таком ряде можно говорить, что он обладает сезонностью. В этом случае, период прогнозирования должен быть достаточно большой, чтобы можно было наблюдать сезонные всплески и колебания продаж.
В некоторых временных рядах значение сезонной вариации - это определенная доля трендового значения, т.е. сезонная вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В таких случаях используется мультипликативная модель.
Для мультипликативной модели фактическое значение рассчитывается по формуле:
Расчет фактического значения в мультипликативной модели
Т - трендовое значение
S - сезонная вариация
Е - ошибка прогноза
Анализ мультипликативной модели рассмотрим на примере. В таблице указан объем продаж за последние одиннадцать кварталов. На основании этих данных дадим прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Опираясь на предложенный алгоритм, на первом этапе исключим влияние сезонной вариации. Воспользуемся методом скользящей средней, заполним следующие столбцы таблицы.
Метод скользящей средней
Простое скользящее среднее (Simple Moving Avarage) - это средний арифметический показатель (объем продаж, объем производства, цена) за определенный период времени.
Одним важным достоинством скользящих средних является их способность давать сигналы о развороте тренда, подтверждать рост, спад.
Общая формула для вычисления SMA за n-ый период такая:
Простое скользящее среднее за период N
где n - период усреднения,
Р(i) - усредняемый объем (i - 1) период тому назад (i-е измерение или отсчет),
P(1) - объем продаж за последний период,
P(n) - самый старый по оси времени объем рассматриваемого нами временного промежутка.
1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение объема продаж за 4 последовательных квартала. Для этого нужно сложить 4 последовательных числа из второго столбца, разделить на 4 (количество слагаемых) и результат запишем в третий столбец напротив третьего слагаемого: (63 74 79 120)/4=84 ; (74 79 120 67)/4=85; и т.д.
Если скользящая средняя вычисляется для нечетного числа сезонов, то результат не центрируется, в нашем примере число сезонов - восемь, поэтому сумму двух чисел из третьего столбца, разделим на 2 и запишем в четвертый столбец напротив верхнего из них: (84 85)/2=2=84,5.
Оценка сезонной вариации для аддитивной модели рассчитывается как разность объема продаж и центрированной скользящее средней. Для мультипликативных моделей - это отношение. Числа второго столбца делим на числа четвертого и результат округляем до трех цифр и запишем в пятый столбец: 79/84,5=0,935.
Следующим этапом необходимо исключить сезонную вариацию из фактических данных - провести десезонализация данных. Но это уже в следующем выпуске.
Условие: определить влияние численности персонала, количества отработанных смен и выработки в смену на одного работника на изменение объема выпуска продукции (N п).
Сделать вывод.
Алгоритм решения:
Факторная модель, описывающая взаимосвязь показателей, имеет вид: N = ч * См * В
Исходные данные – факторы и результирующий показатель представляются в аналитической таблице:
|
Показатели |
Условные обозначения |
Базисный период |
Отчетный период |
Отклонение |
Темп изменения, % |
|
1. Численность работников, чел. | |||||
|
2. Количество смен | |||||
|
3. Выработка, штук | |||||
|
4. Выпуск продукции, тыс. шт. |
Способы детерминированного факторного анализа, применяемые для решения трехфакторных моделей:
цепной подстановки;
абсолютных разниц;
взвешенных конечных разниц;
логарифмический;
интегральный.
Способ цепной подстановки. Применение этого способа предполагает выделение количественных и качественных факторных признаков: здесь количественными факторами являются численность персонала и количество отработанных смен; качественный признак – выработка.
Применение различных методов для решения типовой задачи:
а) N 1 = ч 0 * См 0 * В 0 =5184 тыс. шт.;
б) N 2 = ч 1 * См 0 * В 0 =25 * 144 * 1500 =5400 тыс. шт.;
в) N (ч) = 5400 – 5184 = 216 тыс. шт.;
N 3 = ч 1 * См 1 * В 0 =25 * 146 * 1500 =5475 тыс. шт.;
N(См)
= 5475 – 5400 = 75 тыс. шт.;
N 4 = ч 1 * См 1 * В 1 =25 * 146 * 1505 =5493,25 тыс. шт.;
N(В)
= 5493,25 – 5475 = 18,25 тыс. шт.;
N
=
N(ч)
+
N(См)
+
N
(B) = 216 + 75 +18,25 = 309,25 тыс. шт.
4.2 . Способ абсолютных разниц также предполагает выделение количественных и качественных факторов, определяющих последовательность подстановки:
а)
N(ч)
=
ч
* См
0
* В
0
=
1 * 14 * 1500 = 216 тыс. шт.;
б)
N(См)
=
См
* ч
1
* В
0
= +2 * 25 * 1500 = 75 тыс. шт.;
в)
N
(B) =
B
* ч
1
* См
1
= +5 * 25 * 146 = 18,25 тыс. шт.;
N
=
N(ч)
+
N(См)
+
N
(B) = 309,25 тыс. шт.
Способ относительных разниц
а)
N(ч)
=
тыс. шт.;
б)
N(См)
=тыс.
шт.;
в)
N(В)тыс.
шт.;
Общее
влияние факторов:
N
=
N(ч)
+
N(См)
+
N
(B) = 309,3 тыс. шт.
4.4 . Способ взвешенных конечных разностей предполагает применение всех возможных постановок на основе способа абсолютных разниц.
Подстановка
1 производится в последовательности
результаты
определены в предыдущих расчетах:
N(ч)
= 216 тыс. шт.;
N(См)
= 75 тыс. шт.;
N
(B) = 18,25 тыс. шт.
Подстановка
2 производится в последовательности
:
а)+1 * 1500 * 144 = 216 тыс. шт.;
б) +5 * 25 * 11 = 18 тыс. шт.;
в) +2 * 25 *1505 = 75,5 тыс. шт.;
Подстановка
3 производится в последовательности
:
а) 2 * 24 * 1500 = 72 тыс. шт.;
б) 1 * 146 * 1500 = 219 тыс. шт.;
в) + 5 * 25 * 146 = 18,25 тыс. шт.
Подстановка
4 производится в последовательности
:
а) 2 * 1500 *5 * 146 * 24 = 17,52 тыс. шт.;
б) 5 * 146 * 24 = 17,52 тыс. шт.;
в) 1 * 146 * 1515 = 219,73 тыс. шт.;
Подстановка
5 производится в последовательности
:
а) 5 * 144 * 24 = 17,28 тыс. шт.;
б) 2 * 1505 * 24 = 72,27 тыс. шт.;
в) 1 * 146 * 1505 = 219,73 тыс. шт.
Подстановка
6 производится в последовательности
:
а) 5 * 24 * 144 = 17,28 тыс. шт.;
б) 1 * 1505 * 144 = 216,72 тыс. шт.;
в) 2 * 1505 * 25 = 75,25 тыс. шт.
Влияние факторов на результирующий показатель
|
Факторы |
Размер влияния факторов при подстановке, тыс. шт. |
Среднее значение влияния факторов |
|||||
|
1. Численность | |||||||
|
2. Сменность | |||||||
|
3. Выработка | |||||||
4.5. Логарифмический способ предполагает распределение отклонения результирующего показателя пропорционально доле каждого фактора в сумме отклонения результата
а) доля влияния каждого фактора измеряется соответствующими коэффициентами:
б) влияние каждого фактора на результирующий показатель рассчитывается как произведение отклонения результата на соответствующий коэффициент:
309,25*0,706
= 218,33;
309,25*0,2438 = 73,60;
309,25*
0,056 = 17,32.
4.6. Интегральный метод предполагает применение стандартных формул для расчета влияния каждого фактора:
5. Результаты расчетов каждого из перечисленных способов объединяются в таблице совокупного влияния факторов.
Совокупное влияние факторов:
|
Факторы |
Размер влияния, тыс. шт. |
Способом относительных разниц |
Размер влияния, тыс. шт. |
|||
|
Способом цепных подстановок |
Способом абсолютных разниц |
Способом взвешенных конечных разниц |
Логарифм. способ |
Интегральный способ |
||
|
1. Численность | ||||||
|
2. Количество смен | ||||||
|
3. Выработка | ||||||
Сопоставление результатов расчетов, полученных различными способами (логарифмическим, интегральным и взвешенных конечных разниц), показывает их равенство. Громоздкие расчеты способом взвешенных конечных разниц удобно заменить применением логарифмического и интегрального методов, которые дают более точные результаты по сравнению с приемами цепной подстановки и абсолютных разниц.
5. Вывод: Объем выпуска продукции возрос на 309,25 тыс. штук.
Положительное влияние в размере 217,86 тыс. шт. оказал рост численности персонала.
В результате увеличения количества смен объем выпуска возрос на 73,6 тыс. шт.
За счет увеличения выработки объем выпуска продукции увеличился на 17,76 тыс. шт.
Наиболее сильное влияние на объем выпуска продукции оказали экстенсивные факторы: рост численности персонала и количества отработанных смен. Совокупное влияние этих факторов составили 94,26 % (70,45 +23,81). На долю влияния фактора выработки приходится 5,74 % роста выпуска продукции.
Примечание: Применение рассмотренных приемов аналогично в отношении мультипликативных моделей любого количества факторов. Однако использование приема взвешенных конечных разниц к многофакторным моделям ограничено необходимостью выполнения большого количества расчетов, и это нецелесообразно при наличии других, более простых и рациональных приемов, например, логарифмического.
Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или .
Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
Где T - трендовая компонента, S - сезонная компонента и E - случайная компонента.
Назначение
. С помощью данного сервиса производится построение мультипликативной модели временного ряда.
Алгоритм построения мультипликативной модели
Построение мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
- Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
- Расчет значений сезонной компоненты S .
- Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T x E).
- Аналитическое выравнивание уровней (T x E) с использованием полученного уравнения тренда.
- Расчет полученных по модели значений (T x E).
- Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Пример
. Построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда, характеризующую зависимость уровней ряда от времени.
Решение
. Построение мультипликативной модели временного ряда
.
Общий вид мультипликативной модели следующий:
Y = T x S x E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты мультипликативной модели временного ряда.
Шаг 1
. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 4 табл.).
| t | y t | Скользящая средняя | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 1 | 898 | - | - | - |
| 2 | 794 | 1183.25 | - | - |
| 3 | 1441 | 1200.5 | 1191.88 | 1.21 |
| 4 | 1600 | 1313.5 | 1257 | 1.27 |
| 5 | 967 | 1317.75 | 1315.63 | 0.74 |
| 6 | 1246 | 1270.75 | 1294.25 | 0.96 |
| 7 | 1458 | 1251.75 | 1261.25 | 1.16 |
| 8 | 1412 | 1205.5 | 1228.63 | 1.15 |
| 9 | 891 | 1162.75 | 1184.13 | 0.75 |
| 10 | 1061 | 1218.5 | 1190.63 | 0.89 |
| 11 | 1287 | - | - | - |
| 12 | 1635 | - | - | - |
| Показатели | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | - | - | 1.21 | 1.27 |
| 2 | 0.74 | 0.96 | 1.16 | 1.15 |
| 3 | 0.75 | 0.89 | - | - |
| Всего за период | 1.49 | 1.85 | 2.37 | 2.42 |
| Средняя оценка сезонной компоненты | 0.74 | 0.93 | 1.18 | 1.21 |
| Скорректированная сезонная компонента, S i | 0.73 | 0.91 | 1.16 | 1.19 |
0.744 + 0.927 + 1.183 + 1.211 = 4.064
Корректирующий коэффициент: k=4/4.064 = 0.984
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты S i и заносим полученные данные в таблицу.
Шаг 3 . Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T x E = Y/S (гр. 4 табл.), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов .
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12a 0 + 78a 1 = 14659.84
78a 0 + 650a 1 = 96308.75
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 1 = 7.13, a 0 = 1175.3
Среднее значения
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 |
| 1 | 1226.81 | 1 | 1505062.02 | 1226.81 | 1182.43 | 26.59 | 1969.62 |
| 2 | 870.35 | 4 | 757510.32 | 1740.7 | 1189.56 | 123413.31 | 101895.13 |
| 3 | 1238.16 | 9 | 1533048.66 | 3714.49 | 1196.69 | 272.59 | 1719.84 |
| 4 | 1342.37 | 16 | 1801951.56 | 5369.47 | 1203.82 | 14572.09 | 19194.4 |
| 5 | 1321.07 | 25 | 1745238.05 | 6605.37 | 1210.96 | 9884.65 | 12126.19 |
| 6 | 1365.81 | 36 | 1865450.09 | 8194.89 | 1218.09 | 20782.63 | 21823.45 |
| 7 | 1252.77 | 49 | 1569433.89 | 8769.39 | 1225.22 | 968.3 | 759.1 |
| 8 | 1184.64 | 64 | 1403371.14 | 9477.12 | 1232.35 | 1369.99 | 2276.31 |
| 9 | 1217.25 | 81 | 1481689.26 | 10955.22 | 1239.48 | 19.42 | 494.41 |
| 10 | 1163.03 | 100 | 1352627.82 | 11630.25 | 1246.61 | 3437.21 | 6987 |
| 11 | 1105.84 | 121 | 1222883.47 | 12164.25 | 1253.75 | 13412.51 | 21875.75 |
| 12 | 1371.73 | 144 | 1881649.21 | 16460.79 | 1260.88 | 22523.77 | 12288.93 |
| 78 | 14659.84 | 650 | 18119915.49 | 96308.75 | 14659.84 | 210683.05 | 203410.13 |
T = 1175.298 + 7.132t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,12, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).
| t | y t | S i | y t /S i | T | TxS i | E = y t / (T x S i) | (y t - T*S) 2 |
| 1 | 898 | 0.73 | 1226.81 | 1182.43 | 865.51 | 1.04 | 1055.31 |
| 2 | 794 | 0.91 | 870.35 | 1189.56 | 1085.21 | 0.73 | 84801.95 |
| 3 | 1441 | 1.16 | 1238.16 | 1196.69 | 1392.74 | 1.03 | 2329.49 |
| 4 | 1600 | 1.19 | 1342.37 | 1203.82 | 1434.87 | 1.12 | 27269.14 |
| 5 | 967 | 0.73 | 1321.07 | 1210.96 | 886.4 | 1.09 | 6497.14 |
| 6 | 1246 | 0.91 | 1365.81 | 1218.09 | 1111.23 | 1.12 | 18162.51 |
| 7 | 1458 | 1.16 | 1252.77 | 1225.22 | 1425.93 | 1.02 | 1028.18 |
| 8 | 1412 | 1.19 | 1184.64 | 1232.35 | 1468.87 | 0.96 | 3233.92 |
| 9 | 891 | 0.73 | 1217.25 | 1239.48 | 907.28 | 0.98 | 264.9 |
| 10 | 1061 | 0.91 | 1163.03 | 1246.61 | 1137.26 | 0.93 | 5814.91 |
| 11 | 1287 | 1.16 | 1105.84 | 1253.75 | 1459.13 | 0.88 | 29630.23 |
| 12 | 1635 | 1.19 | 1371.73 | 1260.88 | 1502.87 | 1.09 | 17458.67 |
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:
E = Y/(T * S) = 12
Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок:
Среднее значения
| t | y | (y-y cp) 2 |
| 1 | 898 | 106384.69 |
| 2 | 794 | 185043.36 |
| 3 | 1441 | 47016.69 |
| 4 | 1600 | 141250.69 |
| 5 | 967 | 66134.69 |
| 6 | 1246 | 476.69 |
| 7 | 1458 | 54678.03 |
| 8 | 1412 | 35281.36 |
| 9 | 891 | 111000.03 |
| 10 | 1061 | 26623.36 |
| 11 | 1287 | 3948.03 |
| 12 | 1635 | 168784.03 |
| 78 | 14690 | 946621.67 |
Следовательно, можно сказать, что мультипликативная модель объясняет 79% общей вариации уровней временного ряда.
Проверка адекватности модели данным наблюдения.
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Fkp = 4.96
Поскольку F> Fkp, то уравнение статистически значимо
Шаг 6 . Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение F t уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 1175.298 + 7.132t
Получим
T 13 = 1175.298 + 7.132*13 = 1268.008
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 1 = 0.732
Таким образом, F 13 = T 13 + S 1 = 1268.008 + 0.732 = 1268.74
T 14 = 1175.298 + 7.132*14 = 1275.14
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 2 = 0.912
Таким образом, F 14 = T 14 + S 2 = 1275.14 + 0.912 = 1276.052
T 15 = 1175.298 + 7.132*15 = 1282.271
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 3 = 1.164
Таким образом, F 15 = T 15 + S 3 = 1282.271 + 1.164 = 1283.435
T 16 = 1175.298 + 7.132*16 = 1289.403
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 4 = 1.192
Таким образом, F 16 = T 16 + S 4 = 1289.403 + 1.192 = 1290.595