КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету: «Математические методы»

на тему: «Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты»

Теория графов – область дискретной математики, которая занимается исследованием и решением разнообразных проблем, связанных с объектом, называемым графом. Граф определяется заданием двух множеств. Первое – X – множество вершин графа. Элементы этого графа можно изобразить в виде точек плоскости или пространства. Второе – U – множество пар элементов из Х. Каждый элемент множества U указывает пару вершин, между которыми существует связь; она может изображаться линией, соединяющей соответствующие вершины графа. При таком изображении требуется, чтобы линия проходила только через вершины, которые она соединяет, и чтобы разные линии могли пересекаться только в вершинах. Иногда в парах составляющих множество U, указывается, какая вершина является первой. В этом случае элементы множества U называются дугами графа (X, U), а сам граф – ориентированным. Если ориентация не указана, то элементы U называются ребрами, а граф (X, U) – неориентированным графом или про сто графом. Элемент U, указывающий на связь вершины с ней самой, называется петлей.

Граф (X, U) называется конечным, если множества X и U состоят из конечного числа элементов. В противном случае граф (X, U) называется бесконечным.

Основные временные параметры сетевых графиков и их расчеты

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется любая последовательность работ(стрелок), связывающая какие-либо два события. При этом пути, связывающие исходные и завершающие события сети, считается полными, а все другие пути – неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем.

Работы и события, лежащие на критическом пути, также называются критическими работами и событиями. Полная продолжительность выполнения всего комплекса работ, отображенного сетевым графиком, равна продолжительности критического пути. На графике критический путь обычно выделяется жирной линией.

Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:

Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;

Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;

Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.

Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.

Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.

Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осу­ществлен по следующей формуле:

Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е.

Тогда

Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится:

. Сказанное только что относится и к данному расчету. Поиному обстоит дело, когда мы подошли к событию 4. К нему ведут два пути: прямой от события 1 и опосредствованный событием 2. Здесь надо использовать во всей полноте нижеприведенную формулу:

Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).

Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу

Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:

Затем рассчитываем

. К событию 8 ведут четыре пути, поэтому придется иметь дело с выбором макси­мальной величины из четырех слагаемых.

Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.

Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле

.

Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.

Определим этот показатель для последующих событий:

При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу

; ;

В конце рассчитываем

, к которому ведут три пути, и, как в предыдущих расчетах, выбираем мини­мальный путь

Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.

На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем.

Временные параметры сети состоят из временных параметров событий и временных параметров работ. Рассмотрим содержание и алгоритм расчета временных параметров событий .

Временем Т j наступления (или свершения) события j считается момент окончания всех работ, входящих в это событие.

Минимальное (самое раннее) время Т j о наступления события j равно длине максимальному из путей, предшествующих данному событию. Очевидно, что это время является и самым ранним временем начала работ, выходящих из этого события. Например, в последнем примере событие 3 может свершиться не ранее, чем через 11 дней от исходного события, т.к. наибольшая длина пути, предшествующего данному событию (пути (0,2)-(2,3)) равна 11.

Критическим временем выполнения комплекса работ будем называть раннее время наступления завершающего события. Критическое время – это минимальное количество времени, необходимое для выполнения всего комплекса работ, очевидно, совпадает с длиной критического пути.

Для вычисления Т j о необходимо сначала рассмотреть все события i, соединенные дугой (i,j) с данным событием j, вычислить для них ранние времена и при этом на каждом шаге использовать формулу

Т j о =maxí Т i о + t ij ý (1)

Вычисления начинаются с исходного события и продолжаются до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие всей сети.

Проиллюстрируем алгоритм вычисления ранних времен на последнем примере.

Принимаем Т 0 о =0. Поскольку в событие 1 входит только одна работа (0,1) продолжительностью t 01 =2, то Т 1 о = Т 0 о + t 01 =0+2=2.

Рассмотрим далее событие 2 (Заметим, что событие 3 пока рассматривать нельзя, так как срок Т 2 о еще неизвестен). Таким образом, Т 2 о =Т 0 о + t 02 =0+5=5. Перейдем теперь к событию 3. Поскольку в него входят три дуги (0,3),(2,3) и (1,3), то

Т 3 о =maxí Т i о + t i3 ý= maxí 0 + 3; 2+4; 5+6ý=11.

Вычисления продолжаем аналогичным образом, пока не будут определены значения Т j о для всех событий j. Имеем

Т 4 о = Т 2 о + t 24 = 5 + 2 = 7,

Т 5 о = Т 2 о + t 25 = 5 + 1 = 6,

Т 6 о = Т 3 о + t 36 = 11 + 3 = 14,

Т 7 о =maxí Т i о + t i7 ý= maxí7+10; 6+8ý=17,

Т 8 о =maxí Т i о + t i8 ý= maxí6+4; 14+3; 17+5ý=22.

На этом вычисления Т i о заканчиваются.

Теперь от завершающего события к исходному (справа налево) определяем Т i 1 - максимально допустимый (поздний) срок завершения всех работ, входящих в данное событие, при котором критическое время выполнения всего комплекса работ останется неизменным. Если обозначить n – завершающее событие сети, то Т n 1 = Т n 0 является отправной точкой алгоритма вычисления поздних сроков. В общем виде для любого события i,

Т i 1 =min í Т j 1 - t ij ý для всех дуг (i,j). (2)

Вычислим значения Т i 1 на последнем примере (рис.5).

Т 8 1 = Т 8 0 =22,

Т 7 1 = Т 8 1 - t 78 = 22 – 5 = 17,

Т 6 1 = Т 8 о - t 68 = 22 – 3 = 19,

Т 5 1 =min í Т j 1 – t 5j ý= miní17–8; 22 - 4ý=9,

Т 4 1 = Т 7 1 - t 47 = 17 – 10 = 7,

Т 3 1 = Т 6 1 - t 36 = 19 – 3 = 16,

Т 2 1 =min íТ j о - t 2j ý= miní16–6; 7 – 2; 9 - 1ý=5,

Т 1 1 = Т 3 1 - t 13 = 16 - 4 = 12,

Т 0 1 =min íТ j 1 – t 0j ý= miní12–2; 5 – 5; 16 – 3ý=0.

Определим резерв времени R i i-го события как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R i = Т i 1 - Т i 0 (3)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. Сведем результаты вычислений значений Т i 1 , Т i о и R i в табл1:

Таблица 1

Номер события	Сроки свершения события	Резерв времени R i
Ранний Т i о	Поздний Т i 1

Теперь, используя данные табл. 1, можно определить работы критического пути (без полного перебора полных путей). Работа (i,j) принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Т j о = Т j 1 (4)

Т j о - Т i о =Т j 1 - Т i 1 = t ij

По существу, эти условия означают, что между ранним сроком начала (окончания) и поздним сроком начала (окончания) критической работы запас времени отсутствует. Условиям (4) удовлетворяют работы (0,2), (2,4), (4,7) и (7,8), т.е. они образуют критический путь, в чем мы и ранее убедились перебором всех полных путей.

Временные параметры работ .

Различают несколько разновидностей резервов времени работ, мы рассмотрим два основных вида: полный резерв и свободный резерв . Полный резерв работы (i,j) определяется по формуле:

R п ij =Т j 1 - Т i 0 - t ij (5)

R п ij показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится. Кроме того, полный резерв времени есть разность между критическим временем и длиной максимального полного пути, проходящего через эту работу.

Полный резерв критических работ равен 0. У некритических работ R п ij > 0. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны, т.е. увеличение продолжительности некритической работы за счет использования всего ее полного резерва обязательно влечет появление нового критического пути, в состав которого войдет эта работа.

Опоздание начала некритической работы (i,j) по сравнению с Т i 0 на всю величину ее полного резерва влечет за собой необходимость начинать все работы, выходящие из события j в наиболее позднее допустимое время Т j 1 наступления этого события.

Свободный резерв времени R с ij работы (i,j) представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые ранние сроки.

R с ij =Т j 0 - Т i 0 - t ij (6)

Таким образом, свободный резерв времени может быть использован на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ.

Для рис. 5 проведем вычисления по формулам (5), (6):

Таблица 2

(i,j)	t ij	Т i 0	Т j 1	R п ij	R с ij
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,6)
(4,7)
(5,7)
(5,8)
(6,8)
(7,8)

В табл. 2 приведены результаты расчетов временных параметров работ. Она содержит всю необходимую для построения календарного плана (графика) информацию. Когда полный резерв равен 0, свободный резерв также должен быть равен 0. Однако обратное неверно, поскольку свободный резерв некритической работы также может быть нулевым (например, работы (0,1), (2,3)).

В таблице 59 приведены основные временные параметры сетевых графиков. Рассмотрим содержание и расчет этих параметров.

Начнем с параметров событий.

Ранний (или ожидаемый) срок t p (i) свершения i-го события определяется Продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

где Ln - любой путь, предшествующий i-у событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

(2)

Поздний (или предельный) срок t n (i) свершения i-го события равен:

(3)

где L ci , -- любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Таблица 59 - Основные временные параметры сетевых графиков

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

(4)

Резерв времени R(i ) i -го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

(5)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события не имеют резервов времени, т.к. любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Определим, например, временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис.4. Результаты расчета временных параметров можно фиксировать прямо на графике. В этом случае параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ - над соответствующими стрелками (рисунок 3). В этом случае отпадает необходимость составления таблиц.

При определении ранних сроков свершения событий t p (i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1)и (2). Для i =1 (первого события). Очевидно t p (i) =0.

Рисунок 3 - Расположение временных параметров непосредственно на сетевом графике.

Для i = 2 t p (2)=t p (1) + t (0,2) = 0 + 5 = 5 (суток), т.к. для события 2 существует только один предшествующий путь

Для i = 3 t p (3)=t p (1) + t (1,3) = 0 + 8 = 8 (суток), т.к для события 3 существует только один предшествующий путь

Для i = 4 t p (4)=t p (2) + t (2,4) = 5 + 9 = 14 (суток), т.к. для события 4 существует один предшествующий путь

Для i = 5 t p (5)=max{t p (1) + t (1,5); t p (2) + t (2,5); t p (3) + t (3,5)}=max{0+8;5+3;8+4}= =max{8;8;12}=12 (суток), т.к. для события 5 существует три предшествующих пути Е, :1 - 5, 1 -+2 -+5 и 1 +З -+5 и три предшествующих события. Аналогично рассчитаем ранние сроки свершения остальных событий и запишем их в левой части каждого кружка сетевого графика (рисунок 4).

Рисунок 4 - Сетевой график с временными параметрами

Длина критического пути равна раннему сроку свершении завершающего события 10: t kp =t p (10) = 34 (суткам).

При определении поздних сроков свершения событий t n (i) двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево и используем формулы (3) и (4).

Для i =10 (завершающего события) поздний срок свершения события должен быть равен его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t n (10) = t p (10) = 34 (суток).

Для i = 9 t n (9) = t n (10) - t (9,10) = 34-7 = 27 (суток), так как для события 9 существует только один последующий путь L с9: 9 10.

Для i =8 t n (8) = t n (10) - t (8,10) =34-11 = 23(суток), так как для события 8 существует только один последующий путь L с8:8 10.

Для i =7

t n (7) = min{ t n (8)- t (7,8); t n (19) - t (7,9); t n (10) - t (7,10)} =

Min{22,23,28) = 22 (суток), т.к. для события 7 существует три последующих пути

L с7:7 8 10, 7 10, 7 9 10 и три последующих события 8,9 и 10. Аналогично рассчитаем поздние сроки свершения остальных событий и поместим эти значения в правой части каждого кружка (рисунок 4).

По формуле (5) определим резервы времени i -го события:

R(1) = 0; R(2) = 7 -5 = 2; R(3) = 8- 8 = 0 и т.д.

Резерв времени события 2 - R(2) = 2 - означает, что время свершения события 2 может быть задержано на двое суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя сетевой с временными параметрами (рис.4) видим, что не имеют резервов времени события 1, 3, 5, 6, 8, 10. Эти события и образуют критический путь (на рисунке 4 он выделен жирным шрифтом).

Перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок t рн (i,j ) начала работы (i,j ) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i , т.е.

t рн (i,j )=t p (i) (6)

Тогда ранний срок t ро, окончания работы (i,j ) определяется по формуле:

t ро (i,j )=t p (i) + t (i,j ) (7)

Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j . Поэтому поздний срок t nо (i,j ) окончания работы (i,j ) определяется соотношением:

t n о (i,j )=t n (j ), (8)

а поздний срок t n н (i,j ) начала этой работы соотношением

t n н (i,j )=t п (j ) - t (i,j ) (9)

Среди резервов времени работ выделяют четыре их разновидности.

Полный резерв времени R n (i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится.

Полный резерв R n (i,j) определяется по формуле:

R n (i,j ) = t п (j ) - t p (i) - t (i,j ) (10)

Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и возможно допустить свершение ее конечного события в его самый поздний срок.

Остальные резервы времени работы являются частями полного ее резерва. Частный резерв времени первого вида R 1 (i,j) работы (i,j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки R 1 (i,j) находится по формуле:

R 1 (i,j ) = t п (j ) – t п (i) - t (i,j ) , (11)

R 1 (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i) (12)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени R с (i,j ) работы (i,j ) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Эти резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки. R с (i,j ) находится по формуле:

R с (i,j ) = t р (j ) – t р (i) - t (i,j ) , (13)

R с (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i ), (14)

Независимый резерв времени R п работы (i ,j ) есть часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки:

R н (i,j ) = t р (j ) – t п (i) - t (i,j ) , (15)

R н (i,j ) = R п (i ,j ) - R(i) - R(j ) (16)

Примечание - Резервы времени работы (i ,j ) могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работ t (i,j ) занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями.

Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая формулой (15) или (16), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Отрицательное значение R н (i,j ) не имеет реального смысла, т.к. в этом случае предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих и последующих работ, свободный резерв времени - на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, также как и критические события, резервов времени не имеют.

Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути.

R(L )=t kp – t (L ) (17)

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличен продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее, чем R(L ), то критический путь переместится на путь L . Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, несовпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Вычислим в качестве примера временные параметры работ, для рассматриваемого сетевого графика (рисунок 4). Результаты расчетов сведем в таблицу 60.

Вычисление временных параметров работы (i,j ) покажем на примере работы (2,4): ранний срок начала работы (по формуле (6)) t рн (2,4) = t р (2) = 5 (суток); ранний срок окончания работы (по формуле (7)): t ро (2,4) = t р (2) + t (2,4) = 5 + 9 = 14 (суток); поздний срок начала работы по формуле (9): t пн (2,4)= t п (4) - t (2,4) = 16 - 9 = 7 (суток); поздний срок окончания работы (по формуле (8)): t по (2,4) = t п (4)= 16 (суток).

Таким образом, работа (2,4) должна начаться в интервале (суток) от начала выполнения проекта. Полный резерв работы (2,4) (по формуле (10)):

R n (2,4) = t п (4) - t p (2) - t (2,4) = 16-5-9=2 (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на двое суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится. Частный резерв времени работы (2,4) первого вида определим по формуле (11) (или по формуле (12)):

R 1 (2,4) = t п (4) – t п (2) - t (2,4)=16-7-9=0 (суток) (или R 1 (2,4) = R п (2,4) - R(2) = 2 - 2 = 0 (суток)), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2,4) и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени одной предшествующей работы (1,2)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (2,4) найдем по формуле (13) или (14):

R с (2,4) = t р (4) – t р (2) - t (2,4) = 14 – 5 – 9 = 0 (суток);

R с (2,4) = R п (2,4) - R(2)= 2 - 2 = 0 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта не может быть задержано выполнение работы (2,4) (в данном случае работы (1,2)) без нарушения резерва времени последующих работ. Независимый резерв времени работы (2,4) определим по формуле (15) или (16):

R н (2,4) = t р (4) – t п (2) - t (2,4) = 14 – 7 - 9 = -2.

Это означает, что работа (2,4) продолжительностью 9 (суток) должно закончиться на 14-е сутки после начала комплекса работ, а начаться на 7-е сутки, что естественно невозможно. поэтому в таблице 60 обозначим прочерком независимые резервы времени, имеющие отрицательное значение. Подчеркнем, что резервы критических работ (1,3), (3,5), (5,6), (6,8), (8,10),также как и резервы критических событий, равны нулю.

Таблица 60 - Временные параметры работ для сетевого графика (рисунок 4), сутки

Параметры потока. Расчет временных параметров

Параметры – это характеристики потока, которые отражают развитие потоков в пространстве, в технологическом аспекте и во времени.

Пространственные параметры:

– N об – число объектов, где работают потоки;

– N э – количество этажей;

– A – число ярусов;

– m – количество захваток (секций или подъездов).

Технологические параметры:

– n – число потоков (процессов, видов работ);

– Q i – трудозатраты i -го вида работ (чел.-дн., чел.-смен.);

– O i – объем по i -му виду работ (натуральные, стоимостные показатели);

– q i – трудоемкость выполнения единицы объема работ (удельная трудоемкость);

Q i = q i ∙ O i ;

– М – мощность строительной организации по выпуску готовой продукции (тыс. м 2 вводимой площади).

Временные (расчетные) параметры

Дано : m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

Построить график-циклограмму совместной работы трех кратноритмичных потоков. Графически указать все временные параметры (9 шт.). Аналитически вывести формулы всех параметров и рассчитать их реальные значения.

Рис. 4.3. Увязка кратноритмичных потоков с опережающим
и отстающим ритмами

Рассмотрим все поточные временные параметры:

1. Ритм потока К i (известен): К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

2. Организационный перерыв ∆t орг , i , i +1 – время между окончанием работы одного потока на захватке и началом работы следующего:

t 1 = 2·5 = 10 дн.;

t 2 = 1·5 = 5 дн.;

t 3 = 3·5 = 15 дн.

4. Время работы всех потоков на одной (первой) захватке

5. Шаг потока (К о i , i +1) – время между началами работы смежных потоков

(3.4)

;

6. Общая продолжительность работ – общий срок строительства

7. Период развертывания объектного потока – время от начала работы первого потока до начала работы последнего потока

8. Период свертывания объектного потока Т св – время потери объектным потоком своей мощности, время от окончания первого потока до окончания всех работ

9. Период установившегося объектного потока Т уст – время работы объектного потока на полную мощность (работают одновременно все потоки)

Лекция 5. Способы оптимизации графика
поточной организации работ (уравнивание шагов и ритмов работы смежных процессов)

При построении графика увязки кратноритмичных потоков на всех захватках, кроме критической, образуются организационные перерывы между смежными потоками (простой фронта работ), что является недостатком при организации работ. Этот недостаток можно ликвидировать с помощью перестройки графика увязки, т.е. провести его оптимизацию. Оптимизация ликвидирует или сокращает организационные перерывы на захватках, т.е. улучшает показатели календарного графика; происходит уравнивание шагов и ритмов смежных процессов несколькими способами.

Уравнять шаги и ритмы смежных процессов – значит решить две задачи:

1) изменить продолжительность по графику увязки потоков, чтобы ликвидировать или сократить простой фронта работ на захватках;

2) желательно в ходе оптимизации сократить срок строительства по сравнению с исходным графиком.

Рассмотрим следующие способы оптимизации:

1) корректировка мощности потоков с отстающим ритмом (увеличение);

2) корректировка мощности потоков с опережающим ритмом (уменьшение);

3) дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках по потокам с отстающим ритмом;

Задачу оптимизации решим на примере исходного графика увязки, построенного в пункте 4.1. Лекции №4 "параметры потока"

1. Оптимизировать график совместной работы кратноритмичных потоков на одном объекте тремя способами уравнивания шагов и ритмов смежных процессов.

2. По каждому способу уравнивания определить графически и аналитически новый срок строительства, эффект уравнивания, периоды установившегося потока, свертывания и развертывания объектного потока. Сделать выводы.

3. Указать наиболее эффективный способ уравнивания.

Исходные данные :

N об = 1, m = 5, n = 3, К 1 = 2, К 2 = 1, К 3 = 3.

(пример предыдущей задачи)

Примем это график увязки за исходный, который нужно оптимизировать, восстановим его изображение: (рис. 4.1)

D t орг 2,3 = 8

2 поток 3 поток

К 1 Dt орг 1,2 К 2 К 3

Рис. 5.1. Исходный график увязки до оптимизации

Т о = 22дня (рассчитано ранее)

Этот срок нужно изменить при оптимизации графика

· 1-й способ. Корректировка мощностиотстающих потоков (первый и третий потоки)

Увеличиваем в 2 раза мощность первого потока, тогда

К 1 = К 2 = 1.

Мощность третьего потока увеличивается в 3 раза, тогда его ритм К 3 уменьшится и станет К 3 =К 2 = 1. Получаем три равно ритмичных потока с минимальным ритмом: построим на исходном графике новый график, состоящих из трех потоков с ритмом, равным 1. Это мы оптимизировали по минимальному ритму (см. рис. 4.2.).

К 1 1 К 2 1 К 3 1

Т ур 1 DТ ур 1

T р 1 T уст 1 T св 1

Рис. 5.2. График оптимизации (уравнивания) первым способом

Увеличение мощности отстающих потоков (ярко выделенные потоки). Новый срок строительства (оптимизированный) = Т ур 1

или по формуле строительства равноритмичными

потоками

Эффект уравнивания или сокращение сроков по сравнению с исходным графиком = D Т ур 1

Выводы по 1-му способу :

1) полная ликвидация организационных перерывов;

2) уменьшение срока строительства на 15 дней.

· 2-й способ . Корректировка мощности опережающих потоков

Это способ оптимизации или уравнивания шагов и ритмов смежных процессов предполагает уравнивание всех мощностей потоков, ориентируясь на самый маломощный поток, имеющий самый большой ритм.

В данном случае это третий поток, К 3 = 3

Для уравнивания мощности и приведения их к третьему потоку необходимо изменить мощность первого потока (уменьшить в 1,5 раза) тогда ритм его увеличится в 1,5 раза К 1 = 2*1,5 = 3. Мощность второго потока уменьшим в 3 раза, тогда ритм его увеличится в 3раза К 2 = 1*3 = 3. Между изменением мощности и значением ритма существует обратно пропорциональная зависимость. В результате получаем три равноритмичных потока с ритмами:

К 1 = К 2 = К 3 = 3

Новый график оптимизации по второму способу приведен на рис. 5.3.

К 1 2 К 2 2 К 3 2

Т ур 2 DТ ур 2

Т р 2 Т уст 2 Т св 2

Рис. 5.3. График уравнивания вторым способом оптимизации (уменьшение мощности опережающих потоков (ярко выделенные потоки))

Выводы по 2-му способу :

2) уменьшение срока строительства на 1 день.

Лекция 6. Оптимизация (уравнивание) графика увязки потоков третьим способом. Дополнительный ввод параллельно работающих бригад на захватках (отстающие потоки). неритмичные потоки

Правила построения графика уравнивания

1. Выстраиваем все потоки во взаимоувязке по первой захватке.

2. Продолжаем до последней захватки поток с К min .

Поток с минимальным ритмом – ось увязки (это второй поток).

3. Работа с отстающими потоками (первый и третий ):

Рассчитаем число бригад по первому потоку:

; (5.1)

Обозначим эти бригады: 1-я бригада ; 2-я бригада (----).

Вводим рабочие бригады по каждой захватке при непрерывной работе через шаг, равный минимальному ритму: К о = К min , срок строительства по уравненному графику К 2 неизменен = 2 дням (рис. 6.1.).

К о 2 ось 1

К 1 3 К 2 3 К 3 3

Т ур 3 DТ ур 3

Т р 3 Т св 3

Рис 6.1. График уравнивания третьим способом оптимизации. Дополнительно ввод параллельно работающих потоков на захватках по отстающим потокам.

По третьему потоку 1-я бригада (===); 2-я бригада (-.-.-.-); 3-я бригада (~~). Вводим бригады по каждой захватке через шаг К 0 = К min .

После окончательного построения графика:

Проверка третьего способа уравнивания: эффект уравнивания равен сумме организационных перерывов исходного графика увязки.

Выводы по 3-му способу:

1) полная ликвидация организационных перерывов на захватках;

2) сокращение срока строительства на 11 дней.

Увязка неритмичных потоков

Неритмичными называются потоки, ритмы которых отличаются друг от друга при переходе с одной захватки на другую.

Рассмотрим на примере построение графика работы неритмичных потоков, используя графический и аналитический методы их увязки.

Задача

Построить график совместной работы 3 неритмичных потоков на 4 захватках с учетом их взаимной увязки графическим и аналитическим способами, указать критические захватки и шаг потоков. Исходные данные

	Ритмы по захваткам
n	1 зах.	2 зах.	3 зах.	4 зах.
I п от
II п от
III п от

· 1-й способ. Графическая увязка неритмичных потоков

Рис. 6.2. Графический метод увязки неритмичных потоков

1. Строим циклограмму первого потока на всех захватках по исходным данным.

2. Строим пунктиром вариант работы второго потока, увязав с первым потоком только по первой захватке.

3. Анализируем построенную циклограмму второго потока в соответствии с принципами увязки потоков на каждой захватке. Находим величину отклонения от принципов увязки, обозначив ее через «а ».

4. Maксимальное отклонение «а » находится на третьей захватке и равно 2 дням: max «a » = Dt орг I,II на 1 захв.

5. Откладываем на графике от окончания работы I потока на 1 захватке величину Dt орг I , II = 2. Это точка начала работы II потока.

6. Выстраиваем циклограмму работы II потока из указанной точки. При увязке II и III потоков повторяется данный алгоритм увязки.

Общий срок строительства

· 2-й способ. Аналитическая увязка неритмичных потоков

Рис. 6.3. Аналитический метод увязки неритмичных потоков

Алгоритм увязки пары потоков (I и II)

1. Строим циклограмму I потока на всех захватках по исходным данным.

2. Производим суммирование ритмов по I потоку (SК I) и отдельно по II потоку (SК II), накапливая по захваткам, затем эти суммы вычитаем (из I потока вычитаем II поток).

Увязка I и II потока	1 зах.	2 зах.	3 зах.	4 зах.
SК I		1 + 3 = 4	4 + 2 = 6	6 + 1 = 7
SК II	–		2 + 1 = 3	3 + 4 = 7
Вычитаем			3 max

3. Максимальное значение разности находится на 3-й захватке и равно 3. Это шаг между I и II потоками по 1-й захватке:

max разность = К о I , II .

4. Отложив шаг К о I,II по 1-й захватке на графике, находим точку начала работы II потока.

Данный алгоритм повторяется при увязке II и III потоков.

После окончания увязки всех потоков и построения их циклограмм видим, что увязка I и II потоков происходит на 3-й захватке, увязка II и III потоков – на 3-й захватке.

Общий срок строительства Т о равен

ЛЕКЦИЯ 13. Сетевое моделирование
в календарном планировании строительства, объекта.

Для управления ходом выполнения комплекса операций, представленного сетевой моделью, ЛПР должен располагать информацией о количественных параметрах элементов сети, в том числе: о продолжительности выполнения всего комплекса операций, о сроках выполнения отдельных операций и их резервах времени.

Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию, следующий за событием.

Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.

Предшествующий событию путь представляет собой путь от исходного события до данного.

Следующий за событием путь - путь от данного события до завершающего.

Важнейшим параметром сетевого графика является критический путь, представляющий собой полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Операции и события, принадлежащие критическому пути, называются соответственно критическими операциями и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций, принадлежащих критическому пути, равна критическому времени выполнения комплекса операций в целом (используется обозначение ). На графике критический путь, как правило, выделяется жирной линией.

Рассмотрим процедуру расчета параметров сетевого графика.

Пусть продолжительности выполнения операций известны (Рис. 3.5; продолжительности операций расположены у соответствующих дуг графика).

Определим сначала ожидаемые (ранние) сроки свершения событий сетевого графика. Исходное событие означает момент начала выполнения комплекса операций, следовательно, . Событие (2) свершится, очевидно, спустя 2 ед. времени после свершения события (1), так как время выполнения операции (1,2) равно 2. Следовательно, . Событию (3) предшествуют два пути: и
. Продолжительность первого пути равна 1 ед. времени, а второго – 2 ед. времени, так как . Продолжительность второго пути можно найти добавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполнения операции (2,3), т. е.
. Поскольку событие (3) может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в него операций, то

.

В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), для которых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемый срок свершения события (4)

Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и (7). Значения , приписаны соответствующим событиям.

Общая формула нахождения ожидаемых сроков свершения событий имеет вид:

где – подмножество дуг сети, входящих в событие .

Ожидаемый срок свершения события (7) совпадает с критическим временем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащих критическому пути). Возвращаясь теперь от завершающего события к исходному, выделим операции, принадлежащие критическому пути. Из трех операций, входящих в событие (7),
определила операция (5,7), выполнение которой начинается после свершения события (5) и продолжается 3 ед. времени . Момент свершения события (5) определила операция (3,5), так как . В свою очередь момент свершения события (3) определила операция (2,3), а события (2) – операция (1,2). Эти операции на рис. 8.6 выделены жирной линией. Таким образом, критический путь . Увеличение времени выполнения любой операции, принадлежащей критическому пути, ведет к увеличению времени выполнения всего комплекса операций.

Напротив, увеличение времени выполнения или задержка с выполнением некритических операций может не отразиться на сроке свершения завершающего события. Так, например, время выполнения операции (4,5) может быть увеличено, или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 ед. времени, и это не отразится на сроке свершения события (5), а, следовательно, и всего комплекса операций.

Начало выполнения операции (4,7) может быть отсрочено на 3 ед. времени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего на критическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения. Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графика через . Примем, что ожидаемый и предельный сроки свершения завершающего события совпадают тогда предельный срок свершения любого события сетевого графика равен минимальной разности между предельными сроками окончания операций, исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующих операций. Нахождение предельного срока осуществляется по формуле

где – подмножество дуг сети, исходящих из события .

В нашем примере
. Определим этот показатель для оставшихся событий. Из события (5) исходит одна операция, следовательно, . Аналогично . Из события (4) исходят три операции, поэтому

Аналогично
(на Рис. 3.4 предельные сроки свершения событий указаны в скобках). Для критических событий эти сроки совпадают с ожидаемыми.

Некритические события имеют резервы времени, которые показывают, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение событий без изменения срока свершения завершающего события. Резерв времени события равен разности между предельным и ожидаемым сроками его свершения:

Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в тесной взаимосвязи со сроками начала и окончания операций: ранний срок начала выполнения операции равен ожидаемому сроку свершения - го события поздний срок окончания операции совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельным сроком свершения ее конечного события и продолжительностью ранний срок окончания операции равен сумме ожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности

Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрами: Следовательно, операции, как и события, могут иметь некоторый резерв времени. Различают несколько разновидностей резервов времени операций, из которых наиболее важными являются полный и свободный резервы.

Полный резерв времени операции показывает, насколько можно сдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность, не изменяя ожидаемого срока свершения начального события, при условии, что конечное для данной операции событие свершится не позднее своего предельного срока. Величина полного резерва времени вычисляется по формуле

Свободный резерв времени операции показывает, насколько можно увеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции , при условии, что начальное и конечное ее события свершаются в ожидаемое время:

Так резервы времени операции (4,6) сетевого графика составляют (Рис. 3.5).