Помимо табличного метода существуют следующие способы расчета: графический метод , метод потенциалов .
Пример
. Определить временные параметры сетевого графика на рисунке, пользуясь табличным методом.
Решение
проводим через калькулятор : все вычисления будем заносить в таблицу 3.
Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д.
В первой графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Так, для работы (5,10) в графу 1 поставим число 2, т.к. на номер 5 оканчиваются 2 работы: (1,5) и (3,5).
Таблица 3 – Табличный метод расчета сетевого графика
КПР | Код Работы | Продолжительность работы | Ранние сроки | Поздние сроки | Резервы времени | |||||||||||
( i, j) | t(i,j) | t рн (i,j) | t ро (i,j) | t пн (i,j) | t по (i,j) | R п | R с | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5=3+4 | 6=7-3 | 7 | 8 | 9 | ||||||||
0 | (1,2) | 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 2 | 0 | ||||||||
0 | (1,3) | 7 | 0 | 7 | 0 | 7 | 0 | 0 | ||||||||
0 | (1,5) | 4 | 0 | 4 | 11 | 15 | 11 | 3 | ||||||||
1 | (2,4) | 0 | 5 | 5 | 7 | 7 | 2 | 2 | ||||||||
1 | (2,6) | 8 | 5 | 13 | 12 | 20 | 7 | 0 | ||||||||
1 | (3,4) | 0 | 7 | 7 | 7 | 7 | 0 | 0 | ||||||||
1 | (3,5) | 0 | 7 | 7 | 15 | 15 | 8 | 0 | ||||||||
1 | (3,8) | 7 | 7 | 14 | 13 | 20 | 6 | 0 | ||||||||
1 | (3,9) | 11 | 7 | 18 | 12 | 23 | 5 | 1 | ||||||||
2 | (4,7) | 12 | 7 | 19 | 7 | 19 | 0 | 0 | ||||||||
2 | (5,10) | 5 | 7 | 12 | 15 | 20 | 8 | 2 | ||||||||
1 | (6,11) | 7 | 13 | 20 | 20 | 27 | 7 | 7 | ||||||||
1 | (7,9) | 0 | 19 | 19 | 23 | 23 | 4 | 0 | ||||||||
1 | (7,11) | 8 | 19 | 27 | 19 | 27 | 0 | 0 | ||||||||
1 | (8,9) | 0 | 14 | 14 | 23 | 23 | 9 | 5 | ||||||||
1 | (8,10) | 0 | 14 | 14 | 20 | 20 | 6 | 0 | ||||||||
1 | (8,11) | 4 | 14 | 18 | 23 | 27 | 9 | 9 | ||||||||
3 | (9,11) | 4 | 19 | 23 | 23 | 27 | 4 | 4 | ||||||||
2 | (10,11) | 7 | 14 | 21 | 20 | 27 | 6 | 6 | ||||||||
Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в графе 1, в графу 4 также заносятся нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4 (по формуле (2.4)). В нашем случае для работ (1,2), (1,3), (1,5) в графе 4 ставим 0, а в графе 5 - 0+5=5, 0+7=7, 0+4=4. Для заполнения следующих строк графы 4 , т.е. строк начиная с номера 2, просматриваются заполненные строки графы 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа одна - (1,2). Цифру 5 из графы 5 переносим в графу 4 для всех работ, начиная с номера 2, т.е. в две последующие строки с номерами (2,4) и (2,6). Для каждой из этих работ путем суммирования значений граф 3 и 4 сформируем значение графы 5: t р.о. (2,4)=0+5=5,
t р.о. (2,6)=8+5=13. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.
Графы 6 и 7 заполняются “обратным ходом”, т.е. “снизу вверх”. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (т.к. t р (i)= t п (i)). В нашем случае t(11)=27 . Затем для этих строчек находится содержание графы 6 как разности граф 7 и 3 по формуле (2.7). Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е.
10. Для определения графы 7 этих строк (работы (8,10) и (5,10)) просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 10. В графу 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в графу 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна - (10,11), поэтому заносим в строчки (8,10) и (5,10) графы 7 цифру 20. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строчки по графам 6 и 7.
Содержимое графы 8 равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5 (формула (2.8).
Содержимое графы 9 вычисляется по формуле (2.9):
R с (3,9)= t р.н (9,11)- t р.о. (3,9)=19-18=1.
Учитывая, что резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем критический путь (1,3,4,7,11).
Расчет сетевых графиков сводиться к численному определению его пара-метров. Поэтому сначала перечислим их.
При расчете сетевых графиков определяются следующие параметры:
Ранние начала и окончания работ;
Поздние начала и окончания работ;
Продолжительность критического пути;
Общие и частные резервы работ.
За расчетную схему (рис. 18.8) выберем расположение работ, закодированных буквами: h - предшествующая работа, i - рассматриваемая работа,j - последующая работа.
Рис. 18.8 Расчетная модель
Раннее начало работы - самый ранний из возможных сроков начала работы, который обуславливается выполнением всех предшествующих работ.
Раннее начало работы (рис. 18.9) равно продолжительности максимального пути от исходного события графика до начального события данной работы:
Рис. 18.9 Модель расчета ранних начал
Раннее окончание работы - самый ранний из возможных сроков окончания работы. Оно равно сумме раннего начала работы и ее продолжительности:
Для начальных (исходных) работ:
Раннее начало принимается равным 0;
Раннее окончание численно равно продолжительности работы. Максимальное раннее окончание одной из завершающих работ определяет продолжительность критического пути.
Позднее начало работы - самый поздний допустимый срок начала работы, при котором планируемый срок достижения конечной цели не меняется.
Позднее окончание работы определяется разностью между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от конечного события данной работы до завершающего события графика.
Позднее окончание любой работы (рис. 18.1 О) равно наименьшему из поздних начал последующих работ:
Рис. 18.10 Модель расчета поздних окончаний
Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности.
Для завершающих работ сетевого графика:
Позднее окончание равно величине продолжительности критического пути:
Позднее начало завершающей работы равно разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью данной работы:
Общий (или полный) резерв времени работы R;-1 (рис. 18.11) - это максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы или перенести ее начало без увеличения продолжительности критического пути. Он равен разности между одноименными поздними и ранними параметрами этой работы:
Рис. 18.11 Модель расчета общих резервов
Частный резерв времени (рис. 18.12) - это максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы или перенести ее начало без изменения ранних сроков начала последующих работ. Он равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы:
Рис. 18.12 Модель расчета частных резервов
Частный резерв времени отличается от нуля, если в конечное событие работы входят две и более работы.
Методы расчета сетевых графиков
Сетевые графики можно рассчитывать с помощью компьютерной техники и вручную. В настоящее время известно несколько методов расчета сетевых графиков вручную: табличный метод; расчет на графике - четырехсекторный метод; метод дроби; метод потенциалов и др.
Классическим методом, положившим начало теории расчета сетевых графиков, является табличный метод , или, как говорят, алгоритм расчета сетевого графика по таблице.
Пример графика для расчета табличным методом приведен на рис. 18.13. В этом случае определение параметров сетевого графика выполняется в таблице.
Рис. 18.13 Пример графика для расчета табличным методом и методом потенциалов
Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.
1) В первые три графы заносят исходные данные по каждой работе. Необходимо последовательно записывать все работы, выходящие из первого события (по часовой стрелке), затем - все работы, выходящие из второго события:, и т.д.
2) Производят расчет ранних параметров работ построчно сверху вниз.
3) Определяют продолжительность критического пути, равная максимальному из ранних окончаний завершающих работ.
4) Рассчитывают поздние параметры работ. Расчет ведется построчно снизу вверх, от завершающих работ до исходных.
5) Определяют общие и частные резервы времени (их можно определить по каждой работе вразбивку).
Определяют перечень работ, составляющих критический путь, т.е. работ, не имеющих резервов времени.
При расчете сетевых графиков табличным методом заполняют следующую таблицу (табл. 18.1).
В графу 3 заносят шифр (код) каждой работы, запись ведут последовательно, начиная с первого события. Когда из события выходят несколько работ, запись ведут в порядке возрастания номеров их конечных событий. После этой процедуры в графу 2 записывают номера событий, предшествующих каждой работе.
Следующей заполняют графу 4. Против каждой работы, записанной в графе 3 из сетевого графика, проставляют её продолжительность t.
Графы 5 (раннее начало работы ТРН) и 6 (раннее окончание работы ТРН заполняются одновременно. У работ 1-2 и 1-3 предшествующих событий нет; следовательно, их раннее начало равно нулю. Раннее окончание работы равно сумме его раннего начала и продолжительности . Таким образом, в графу 6 вносят сумму цифр граф 4 и 5. Для работы 2-4 раннее начало равно раннему окончанию предшествующей работы, т.е. работы 1-2 (в графе 2 записано предшествующее событие 1); следовательно, раннее начало работ, начинающихся с события 2 (2-3, 2-4), также равно 5 дням. Прибавляя к ранним началам работ их продолжительности, получим их раннее окончание. Если у работы есть два и более предшествующих события (например, работа 4-6), то в этом случае выбирают максимальное значение раннего окончания этих работ и заносят в графу 5, и на ее основе определяют ранее окончание.
Максимальное раннее окончание последней работы равно величине критического пути.
Критический путь, а следовательно, и позднее окончание завершающей работы, равен 16 дням. Вносим эту цифру в строку 8 графы 8. Позднее начало работы равно разности его позднего окончания и продолжительности.
Общий резерв R (графа 9) определяют как разность между числами в графах 8 и 6 или 7 и 5.
Частный резерв r (графа 10) подсчитывают как разность между ранним началом последующей работы и ранним началом данной. При заполнении данной графы необходимо учитывать следующее, если в конечное событие данной работы входит только одна стрелка, то частный резерв ее равен нулю. Для работ, не лежащих на критическом пути, но входящих в события, лежащие на нем, общие и частные резервы численно равны. Частные и общие резервы работ, лежащих на критическом пути, равны нулю.
Правильность расчета сетевого графика подтверждают проверкой:
Ранние параметры никогда не превосходят по численному значению поздние параметры;
Критический путь должен представлять собой непрерывную последовательность работ от исходного события до завершающего;
Величина частного резерва времени работы не должна превосходить величину общего резерва времени;
Позднее начало одной из исходных работ обязательно должно быть нулевым.
Расчет сетевых графиков методом потенциалов
Потенциалом i-го события (ТjП) называют величину наиболее продолжительного пути от данного события до завершающего:
Потенциал события (рис. 18.14) показывает, сколько дней осталось от данного события до завершения всех работ планируемой программы. Потенциал определяют последовательно, начиная от завершающего события сети.
В качестве примера рассмотрим тот же график, размещенный на рис. 18.13. Расчет (рис. 18.15) начинают с завершающего события 6, потенциал которого равен О. В верхний сектор ставим прочерк, в правый записываем О и переходим к последующему событию.
Рис. 18.14 Запись в секторах при расчете методом потенциалов
Рис. 18.15. Пример расчета методом потенциалов
(номера событий соответствуют рис. 18.1 З)
Потенциал события 5 (продолжительность работы 5-6) равен 5 дням. Цифру 5 записываем в правый сектор события 5, цифру 6 - в его верхний сектор.
Потенциал события 4 Т4П = 0 + 4 = 4. Для события 2 потенциал определяют следующим образом: от события 3 - Т2П = 11 + О = 11 и от события 4 - Т2П = 4
3 = 7; выбирают наибольшее значение 11. Аналогичным образом рассчитывают остальные события. Потенциал исходного события составляет 16 дней, т.е. равен величине критического пути.
Зная потенциал события, позднее окончание работ можно определить по формуле
Поскольку ранние начала работ записаны в левых секторах, а на графике показаны продолжительности работ, по уже приведенным формулам частного и общего резерва времени можно определить их значение.
Изменения, возникающие в ходе выполнения работ, не влияют на потенциалы последующих событий; поэтому оперативный пересчет графика занимает мало времени. В этом заключается главное преимущество расчета методом потенциалов.
Четырехсекторпый,метод расчета сетевых графиков
При этом методе каждое событие (рис. 18.16) графиком делится на 4 сектора, в которых указываются необходимые расчетные данные.
Рис. 18.16 Условные обозначения при четырехсекторном методе расчета
Исходным графиком для расчета четырехсекторным методом служит график, приведенный на рис. 18.17.
Рис. 18.17 Исходный график для расчета четырехсекторным методом
Вначале от исходного события до завершающего определяют все ранние начала работ.
Для завершающего события графика значения в левом и правом секторах равны, поскольку максимальное из ранних окончаний завершающей работы равно позднему окончанию этой работы.
Затем рассчитывают поздние окончания работ от завершающего к начальному событию. Рассчитанный график будет иметь вид показанный на рис. 18.18.
Дополнительным требованием к критическим работам является требование по соблюдению условия
20-12 = 8; 25-5 = 20; 25-11 = 12; следовательно, работы нижнего пути- некритические.
Рис. 18.18 График, рассчитанный четырехсекторным методом
Резервы времени работ графика можно отметить на самом графике в виде Rr, а рассчитать их следует по формулам:
Четырехсекторный способ расчета сетевых графиков позволяет быстрее осуществить расчет и определить продолжительность критического пути (иногда требуется прикидочный расчет), но при повторном расчете требуется перебирать данные на графике. Этого не требуется при табличном способе, где пересчитывается сама таблица. Кроме того, в таблице наглядно прослеживаются все без исключения параметры сетевого графика (включая резервы времени).
Построение сетевых графиков «вершины-работы»
В последнее время построение сетевых графиков всё чаще выполняют по принципу «вершины-работы», а не по принципу «вершины-события», как это было в предыдущих примерах (рис.18.19).
Для расчета сетевого графика «вершины-работы>> прямоугольник, изображающий работу, делят на 7 частей (рис. 18.20). В верхних трех частях прямоугольника записывают раннее начало, продолжительность и раннее окончание работы, в трех нижних - позднее начало, резервы времени и позднее окончание. Центральная часть содержит код (номер) и наименование работы.
Расчет сетевого графика начинают с определения ранних сроков. Раннее начало и окончание вычисляют последовательно от исходной до завершающей работы, раннее начало исходной работы равно О, раннее окончание - сумме раннего начала работы и ее продолжительности.
Раннее начало последующей работы равно раннему окончанию предыдущей работы. Если работе непосредственно предшествует несколько работ, то ее раннее начало будет равно максимальному значению из ранних окончаний предшествующих работ.
Рис. 18.19 График типа "вершины-работы"
Рис. 18.20 Изображение работы в сетевом графике "вершины-работы"
Раннее окончание завершающей работы определяет продолжительность критического пути.
Расчет поздних сроков ведут в обратном порядке, от завершающей работы до исходной. Позднее окончание завершающей работы равно ее раннему окончанию, т.е. продолжительности критического пути.
Позднее начало определяют как разность позднего окончания и продолжительности работы.
Полный (общий) резерв времени, равный разности поздних и ранних сроков, заносят в числитель середины нижней части.
Частный резерв времени, равный разности между минимальным ранним началом последующих работ и ранним окончанием данной работы, записывают в знаменатель середины нижней части.
Частный резерв всегда меньше полного резерва работы или равен ему. Последовательность работ с нулевыми резервами времени является критическим путем сетевого графика.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения параметров сетевой модели :- ранний срок свершения события , поздний срок свершения события, ранний срок начала работы, ранний срок окончания работы, поздний срок начала работы, поздний срок окончания работы;
- резерв времени на свершение события, полный резерв времени, свободный резерв времени;
- продолжительность критического пути;
Инструкция . Решение в онлайн режиме осуществляется аналитически и графически. Оформляется в формате Word (см. пример). Ниже представлена видеоинструкция.
Пример . Описание проекта в виде перечня выполняемых операций с указанием их взаимосвязи приведено в таблице. Построить сетевой график, определить критический путь, построить календарный график.
Работа (i,j) | Количество предшествующих работ | Продолжительность t ij | Ранние сроки: начало t ij Р.Н. | Ранние сроки: окончание t ij Р.О. | Поздние сроки: начало t ij П.Н. | Поздние сроки: окончание t ij П.О. | Резервы времени: полный t ij П | Резервы времени: свободный t ij С.В. | Резервы времени: событий R j |
(0,1) | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 |
(0,2) | 0 | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 |
(1,3) | 1 | 1 | 8 | 9 | 8 | 9 | 0 | 0 | 0 |
(2,3) | 1 | 5 | 3 | 8 | 4 | 9 | 1 | 1 | 0 |
(2,4) | 1 | 2 | 3 | 5 | 13 | 15 | 10 | 10 | 0 |
(3,4) | 2 | 6 | 9 | 15 | 9 | 15 | 0 | 0 | 0 |
Критический путь: (0,1)(1,3)(3,4) . Продолжительность критического пути: 15.
Независимый резерв времени работы
R ij Н - часть полного резерва времени, если все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать, если окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если R ij Н ≥0, то такая возможность имеется. Если R ij Н <0 (величина отрицательна), то такая возможность отсутствует, так как предыдущая работа ещё не оканчивается, а последующая уже должна начаться (показывает время, которого не хватит у данной работы для выполнения ее к самому раннему сроку совершения ее (работы) конечного события при условии, что эта работа будет начата в самый поздний срок ее начального события). Фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.
Расчетные параметры СГ:
i - j – код данной работы;
i – код начального события данной работы;
j – код конечного события данной работы;
h – i - код работ, предшествующих данной работе;
h – код событий, предшествующих начальному событию данной работы;
j - k – код работ, последующих за конечным событием данной работы;
k – код событий, последующих конечному событию данной работы;
L – путь;
L кр – критический путь;
t L – продолжительность пути;
T L кр – продолжительность критического пути и критический срок;
t i - j – продолжительность работы;
T р.н i - j –раннее начало работы;
T р.о i - j –раннее окончание работы;
T i p – ранний срок свершения события I ;
T п.н i - j – позднее начало работы i - j ;
T п.о i - j – позднее окончание работы i - j ;
T n j – поздний срок свершения события j ;
R i - j – общий (полный) резерв времени работы i - j ;
r i - j – частный (свободный) резерв времени работы i - j ;
Общая схема кодирования работ и события показана на рис.3.18.
Рис. 3.18. Общая схема кодирования работ и событий
Расчет сетевого графика аналитическим путем. Расчет временных параметров СГ может выполняться по работам или по событиям, как это будет показано ниже.
Рис. 3.19. Сетевой график
Расчет ранних сроков. Ранние сроки начала и окончания работ и свершения событий СГ рассчитывают, начиная от исходного события последовательно по всем путям СГ прямым ходом расчета. В результате этого расчета кроме ранних сроков устанавливают также общую продолжительность работы по графику в целом и по отдельным его участкам (рис. 3.19).
Расчет по работам. Раннее начало работы T р.н i - j – самое раннее из возможных время начала работы - определяют продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начального события данной работы:
T р . н i-j =max t h-i (3.1)
Например, для работы 6-8 (рис. 3.19) раннее начало:
Так как продолжительность наибольшего пути 1-2, 2-5, 5-6 составляет 16, то работу 6-8 можно начать на 17-й день. Раннее окончание работы T р.о i - j – время окончания работы (она начата в самый ранний из возможных сроков) – определяют суммой раннего начала и продолжительности данной работы:
T р . о i-j = T р . н i-j + t h-i . (3.2)
Например, для работы 6-8 раннее окончание:
T р.о 6-8 = T р.н 6-8 + t 6-8 =16+6=22.
Расчет по событиям. Ранний срок свершения начального события Т p i определяют максимальной величиной суммы ранних сроков свершения предшествующих событий и продолжительности работ, входящих в данное событие:
T p i = max { T p h + t h -1 }. (3.3)
Например,
Естественно, что расчет раннего срока свершения конечного со бытия работы выполняют по той же формуле.
Расчет поздних сроков. Расчет поздних сроков окончания и начала работ сетевого графика и свершения событий производят после того, как определены все ранние сроки и общая продолжительность. Расчет ведут обратным ходом от завершающего события к исходному последовательно по всем путям СГ.
Расчет по работам. Позднее окончание работы – самый поздний из допустимых сроков окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ сетевого графика.
Позднее окончание рассматриваемой работы равно минимальному из сроков поздних начал последующих работ:
T п . о i- j = minT п . н . j-k (3.4)
Определение позднего начала через позднее окончание основано на том, что расчет ведут от завершающего события, у которого ранние и поздние сроки совпадают, т. е. T р k = T n k . , поэтому, рассчитав ранние сроки работ, мы установили тем самым и поздний срок завершающего события:
T п.о j - k = T кр = max T p .о j - k . (3.5)
Например, для работы 2-5 позднее окончание:
Позднее начало работы T п.н i - j – самый поздний из допустимых сро ков начала работы, при котором не увеличивается общая продолжитель ность работ. Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности:
T п.н 2-5 = T п. o i - j – t i - j . (3.6)
Например, для работы 2-5 позднее начало:
T п.н 2-5 = T 2-5 – t 2-5 =15 – 12 = 3.
Расчет по событиям. Поздний срок Т n j свершения события j опре деляется минимальной величиной из значений разности поздних сроков свершения конечных событий k и продолжительности работ, выходящих из данного события j :
T n i = min {T n k – t j-k }. (3.7)
Например, для события 5:
Сопоставление ранних и поздних сроков работ и событий позволяет рассчитать резерв времени, критический путь и провести анализ параметров графика.
Если ранние и поздние характеристики работ совпадают, то ра боты лежат на критическом пути. Критическими являются те события, на которых совпадают ранние и поздние сроки свершений.
Для критических работ соблюдаются следующие условия:
ранние и поздние сроки начала работы и соответственно их окончания равны, т. е.
T р.н i - j = T п.н. i - j = T н i - j ; T р.о. i - j = T п.о. i - j = T o i - j (3.8)
или при расчете по событиям ранние и поздние сроки свершения событий, ограничивающих данную работу, соответственно равны, т. е.
T р i = T п i ; T р j = T п j ; (3.9)
2) разность между возможными сроками окончания и начала работы равна ее продолжительности, т. е.
T o i-j – T H i-j = t i-j , (3.10)
или разность между сроками свершения конечного и начального событий равна продолжительности данной работы, т. е.
T j – T i = T i - j (3.11)
Например, для критической работы 3-7 первое условие T p.н 3-7 = T п.н 3-7 =10 , а также T p.о 3-7 = T п.о 3-7 =15 соблюдено. Второе условие:
Общий (полный) и частный резервы времени для работ критиче ского пути равны нулю. Для остальных работ определяют различные виды резервов времени.
Общий (полный) резерв времени работы – это максимальное вре мя, за которое можно задержать начало работы или увеличить ее про должительность без изменения общего срока строительства. Величина Ri - j определяется разностью поздних и ранних сроков начала или окончания работы:
R i - j = T п.н i - j - T p.н i - j = T п.о i - j - T p.о i - j , (3.12)
R i - j = T п.о i - j - T p.н i - j – t i - j . (3.13)
Например, общий резерв времени для работы 4-6 составляет
или то же самое по событиям:
R i-j = T n j – T р i – t i-j ,
R 4-6 = T n 6 – T p 4 – t 4-6 = 19 – 2 - 4 = 13 (3.14)
Частный (свободный) резерв времени работы r i - j – максимальное количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала последующих работ. Оно имеет место, когда в событие входят две работы и больше, и определяется разностью значений раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.
Например, для работы 4-6 частный резерв
r i - j = T p .н j - k – T p . o i - j ,
r 4-6 = T p .н 6-8 - T p . o 4-6 = 16 – 6 = 10 , (3.15)
или в терминах событий
r i-j =T p j – T p i – t i-j (3.16)
Например, частный резерв времени для той же работы 4-6 составляет
R 4-6 = T p 6 - T p 6 – t 4-6 = 16 - 2 – 4 = 10.
Расчет сети непосредственно на графике. Расчет непосредственно на графике является самым простым и быстрым из ручных способов. При этом способе расчета строгое соблюдение правила кодирования событий не обязательно. Для записи результатов расчета принимают одну из форм, показанных на рис. 3.20.
Рис. 3.20. Варианты формы записи результатов расчета: а – по секторам; б – в виде дроби; 1 – раннее начало работы Б; 2 – позднее окончание работы А
Расчет на сети требует проведения только чисто механических операций без обращения к формулам (рис. 3.21). Порядок расчета:
1. У исходного события под чертой (в знаменателе) ставят нуль.
2. Для каждого следующего события в знаменателе записывают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы. Так, для события 2 записывают 2 (0+2=2), для события 4 – 8 (2+6=8) и т. д.
3. Если в событие входит две работы или больше, то рассчитывают значение каждой из них, записывая над стрелкой, но в знаменатель переносят только максимальное значение из всех полученных. Например, в событие 5 входят работы 2-5 и 2-3 (через зависимость). Первый путь дает значение 2+3=5, второй – 2 + 5=7. Принимают максимальное 7 и записывают в знаменатель. В событие 11 входит четыре работы, из них записывают максимальное значение 39.
4. В завершающем событии значение, записанное в знаменатель, определяющее длину критического пути, переносят над чертой (в числитель) (рис. 3.22).
5. Значение числителей определяют, ведя расчет от завершающего события к исходному, вычитая из значения поздних сроков свершения конечного события продолжительность предшествующих им работ. В отличие от расчета ранних сроков (знаменатель), если из события выходят две работы или более, принимают не максимальное, а минимальное значение. Например, из события 7 выходят две работы со значениями 17 и 32; принимают минимальное 17.
6. Критический путь проходит через события, в которых значения в числителе и знаменателе совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю. На рис. 3.23 дан сетевой график с расчетными параметрами и показан критический путь.
7. Общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения числителя (конечного события данной работы) суммы значений знаменателя (начального события данной работы) и ее продолжительности. Так, для работы 9-10 полный резерв равен 34 (числитель конечного события) - 21 (знаменатель начального события) - 4 (продолжительность работы) = 9. Резерв времени события равен разности значений числителя и знаменателя. Соответственно для события 10 полный резерв равен 34 (числитель) - 25 (знаменатель) =9.
8. Частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения знаменателя конечного события данной работы суммы значений знаменателя начального события и продолжительности данной работы. Для работы 4-8 частный резерв равен 17- (8+8) = 1.
Рис. 3.21. Расчет ранних начал работ сетевого графика
Рис. 3.22. Расчет поздних окончаний работ сетевого графика
Рис. 3.23. Сетевой график
Расчет сетевого графика табличным методом. При расчете СГ события кодируются в порядке возрастания (табл. 3). Сверху вниз заполняют три первые колонки. По порядку номеров рассматривают каждое событие. Из первого события выходит работа 1-2, записывают ее код в гр. 2, продолжительность, равную 2, – в гр. 3, а так как предшествующих ей работ нет, в гр. 1 ставим прочерк.
Из события 2 выходят три работы: 2-3 с продолжительностью 5 дн; 2-4 с продолжительностью 6 дн; 2-5 с продолжительностью 3 дн. Записывают коды работ и их продолжительность в гр. 2 и 3, затем рассматривают работы, входящие в событие 2. Такой оказывается работа 1-2, так как только эта работа в гр. 2 оканчивается цифрой 2. Начальным событием этой работы является событие 1. Номер 1 записывают в гр. 1 для всех трех работ и т. д. Зависимость вносят в таблицу с нулевой продолжительностью (3-5, 7-8).
Если работа имеет несколько предшествующих событий, то записывают все их коды. Работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5, имеющие начальные события 2 и 3, их коды 2 и 3 записывают в гр. 1.
В гр. 4, 5 записывают расчет ранних параметров работы – раннее начало и раннее окончание. Расчет ведут от исходного события до завершающего. Для простых событий, в которые входит только одна работа, раннее начало этой работы равно раннему окончанию предшествующей работы. Раннее окончание работы равно сумме ее раннего начала плюс продолжительность данной работы, т. е. данные гр. 4 плюс данные гр. 3 заносят в гр. 5.
Раннее начало исходной работы 1 -2 равно 0 (гр. 4); раннее окончание работы 1-2 равно 2(0+2). Работе 2-3 предшествует работа 1-2, для которой раннее окончание равно 2 (гр. 5). А так как раннее окончание предшествующей работы равно раннему началу последующей, число 2 записывают в гр. 4 рассматриваемой работы 2-3. Прибавив к 2 продолжительность работы 5 записывают в гр. 5 число 7.
Таблица 3.
Расчет параметров сетевого графика
Резервы работ | |||||||||||||
Код начальных событий предшествую-щи работ h |
Код работы |
Прдолжительность работы t i-j |
начало работ |
окончание работ (гр. 3 + гр. 4) |
окончания работ |
общие (гр. 6 - гр. 4) (гр. 7 - гр. 5) |
Отметка критических работ |
||||||
Ранние начала работ 2-4 и 2-5 также равны 2, так как им предшествует то же самое событие 2. В гр. 4 против кода этих работ записывают 2, а в гр. 5 заносят соответственно 8(2+6) и 5(2+3). Работам 3-5 и 3-6 также предшествует только одна работа 2 -3 с цифрой 7 в гр. 5. Переносят 7 в гр.4 и т. д.
При рассмотрении сложного события, т. е. когда ему предшествуют две работы и более, раннее начало последующей работы будет равно наибольшему значению их ранних окончаний предшествующих работ. В настоящей таблице работы 5-7, 7-8, 7-11 и 8-9 имеют по две предшествующие работы (см. гр. 1). Например, работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5 с начальными событиями 2 и 3.
Так как ранние характеристики работ, в том числе и работ 2-5 и 3-5, рассчитаны, остается только сравнить их величины. Раннее окончание работы 2-5 равно 5, а работы 3-5 равно 7. Большее из этих чисел 7 переносим в гр. 4 строки работы 5-7, после чего определяют раннее окончание этой работы: 7+5=12.
В гр. 6, 7 записывают расчеты поздних параметров работ – позднее начало и позднее окончание. Расчет ведут в обратном порядке, т. е. от завершающих работ до исходной снизу вверх. Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между ее поздним окончанием и продолжительностью.
Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. Так, для завершающей работы 10-11, как и для других работ, оканчивающихся завершающим событием сети (событие 11), позднее окончание работ равно наибольшей величине из всех ранних окончаний работ, т. е. работе 9-11 (гр. 5). Это число записывают в гр. 7 работ 10-11 и 9-11. Из гр. 7 вычитают продолжительность работы (гр. 3) и получают позднее начало для работы (гр. 6) 10-11, равное 39-5=34, и для работы 9-11, равное 39-18=21.
Работа 9-10 кончается событием 10; таким событием начинается работа 10-11, ее значение 34 из гр. 5 переносят в гр. 7 нашей работы. Вычтя из гр. 7 значение гр. 3, записывают в гр. 6 число 30. В этом же порядке продолжают расчет снизу вверх. При расчете сложных событий отличие заключается в необходимости выбора минимального значения из нескольких возможных. Позднее начало исходной работы должно быть равно нулю.
Гр. 8 – общий резерв времени определяют как разность между значениями гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Так, для работы 1-2 полный резерв R| 1-2 =0(0-0=0) или 2-2=0; для работы 2-4 R 2 - 4 = 1(3-2=1) или 9-8=1 и т. д. до конца.
В гр. 9 записывают частный резерв времени, который определяют как разность между ранним началом последующей работы по гр. 4 и ранним окончанием данной работы по гр. 5.
Работы, не имеющие общего резерва, естественно, не имеют и частного резерва, поэтому в гр. 9 ставят 0 всюду, где 0 имеется в гр. 8. Первой работой, имеющей резерв, будет работа 2-4. Для определения раннего начала последующей работы надо найти в гр. 2 любую работу, начинающуюся с последней цифры кода нашей работы, т. е. с цифры 4. Такой будет работа 4-8, имеющая по гр. 4 раннее начало 8. Раннее окончание нашей работы по гр. 5 тоже равно 8, значит, частный резерв равен
r 2-4 = t p.н 4-8 – t p.o 2-4 = 8-8=0.
Последующей по отношению к работе 2-5 будет работа 5-7 со значением раннего начала 7. Раннее окончание работы 2-5 равно 5. Отсюда частный резерв r 2-5 = 7-5 = 2.
Гр. 10 – критический путь при табличном методе расчета лежит на работах, общий резерв времени которых равен 0. Отмечаем знаком "+" работы, лежащие на критическом пути. К таким работам относятся все, имеющие 0 в гр. 8. На графике критический путь должен представлять собой непрерывную последовательность работ от начального события до конечного.
Анализируя таблицу, мы получаем сведения о длине критического пути, ранних и поздних началах и окончаниях каждой из работ, общих и частных резервах времени.
При составлении сетевого графика оценку времени ведут, исходя из предположения, что все наличные ресурсы могут быть применены для завершения каждой работы на основании проектов производства работ и технологических карт. Затем эта оценка времени уточняется за счет совмещения отдельных работ, исходя из принципов оптимального использования наличной рабочей силы и прочих ресурсов. В связи с тем, что трудоемкость работ обычно выражается в чел.-днях, данные, заимствованные из технологических карт или нормативных справочников, достаточно разделить на количество рабочих, имеющихся в распоряжении руководства стройкой для того, чтобы определить общую продолжительность работы, выраженной в днях. Единица времени, используемая в сетевых графиках, должна быть единой для всех видов работ, включенных в сеть.
По продолжительности каждого вида работ определяется общий срок строительства, который после привязки к календарю представляет собой календарный план строительства. Принимая продолжительность выполнения отдельных работ по данным, приведенным на рис. 121, можно найти критический путь по сетке с тем,чтобы определить самый ранний и самый поздний сроки окончания по каждой работе.
Рис. 121. Схема сетевого графика с критическим путем.
Критический путь начинается с первоначального события и идет по сети слева направо до конечного события. При этом самые ранние сроки начала и окончания работ определяются путем суммирования продолжительности всех работ, от которых зависит данная работа, начиная от начального события. Эти данные проставляются в квадратиках, располагаемых возле кружков событий.
Таким образом, расчет сетевого графика сводится к определению резервов времени отдельных работ и по ним - общей продолжительности критического пути.
При небольшом количестве событий указанный расчет не представляет собой сложности. Однако, если учесть, что сетевые графики пусковых комплексов промышленных предприятий обычно охватывают сотни и даже тысячи событий, то для их подсчета требуется значительное время. В таких случаях расчет сетевого графика ведется последовательно с использованием соответствующих формул и таблиц вручную при количестве событий до 500 или с помощью ЭВМ при большем их количестве. Для уяснения методики указанных расчетов можно использовать данные, приведенные на рис. 121.
Если принять буквенные обозначения начального события какой-либо из работ - т, конечного п и конечного события следующей за ней работы - к, то эти работы можно обозначить индексами m - n и n - к.
Ранее было сказано, что все работы, не лежащие на критическом пути, обладают запасами времени, и для них могут быть определены по два срока начала и окончания, соответственно наиболее ранние и наиболее поздние.
Приняв обозначения:
Расчет начинается с определения ранних сроков работ, т. е. с
Раннее начало первых работ 1-2 и 1-3, выходящих из начального события 1, равно нулю, или
т. е. если событие m является начальным, то раннее начало работы m - n будет
Самое раннее начало работы
определяется продолжительностью самого длинного пути от начального события до предшествующего события данной работы.
Например, для работы 7 - 8 раннее начало по цепи 1 - 2 - 7 равно:
Однако по технологической зависимости производства работ следует, что начать работу 7 - 8 до окончания работы 2 - 7 нельзя, поэтому раннее начало работы 7 - 8 следует принять через 9 дней, т. е. работу можно начать на 10-й день.
По аналогии определяем раннее начало для остальных работ:
Раннее начало работы 5 - 9:
Так как работа 5 - 9 не может быть начата дож окончания 7 - 8, следует принять ее начало по расчету цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е. через 14 дней после начала строительства. По этим же причинам раннее начало работы 8 - 9 следует принять по цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е.
Раннее начало работы 9 - 10:
Следует принять
18 дней, так как эта работа не может быть выполнена до окончания работы 7 - 8.
Ранние сроки окончания работ определяются путем добавления к раннему сроку начала работы ее заданной продолжительности по формуле:
Очевидно, что раннее начало последующей работы определяется ранним окончанием предыдущих работ, т. е.
Если данной работе предшествует несколько работ, то ее Тр.н будет максимальной из величин ранних окончаний предыдущих работ:
Равенство является прямым следствием того, что нельзя начать какую-либо работу, если не выполнена предыдущая работа или не выполнен ряд работ, сходящихся в одном событии и имеющих разные сроки их окончания.
Раннее окончание работы
определяется по формуле:
В рассматриваемом примере эти сроки будут:
Как видно из приведенного расчета, раннее начало и окончание определяются для всех работ графика последовательно от начального события. Расчет определения ранних сроков окончания работ все время идет по наибольшим величинам продолжительности работ.
Максимальная величина суммы ранних окончаний технологически связанной цепи работ, завершающаяся конечным событием всего графика (в нашем случае цепи 1 - 2 - 7 - 8 - 9 - 10), определяет продолжительность критического пути и срок строительства. В рассматриваемом примере Пкр = 23 дня.
Самое позднее начало работы, которое не вызовет задержки окончания строительства всего объекта, определяется разностью продолжительности критического пути и самого длинного пути от предшествующего события данной работы до конечного события. ^
Например, для работы 7 - 8 (рис. 121) позднее начало будет равно:
Несколько сложнее определить позднее начало работы 2 - 7 или самое позднее свершение события 2, от которого зависит начало последующих работ 2 - 7, 2 - 8, 2 - 9 и др. К работе 2 - 7 от конечного события 10 до рассматриваемого 2 можно подойти несколькими путями:
путь 1 (10 - 9 - 2) продолжительностью L1 = 5+ 10 = 15 дней;
путь 2 (10 - 9 - 8 - 2) продолжительностью L2 = 5 + 4 + 8 = 17 дней;
путь 3 (10 - 9 - 8 - 7 - 2) продолжительностью L3 = 5 + 4 + 5 + 6 = 20 дней.
Соответственно этим путям поздние сроки начала работы
будут равны:
Очевидно, чтобы не вызвать задержки в выполнении последующей работы и других работ, следует принять минимальное значение
т. е. начать работу 2 - 7 не позднее чем через 3 дня после начала строительства. Если взять больший срок позднего начала работы 2 -- 7, то все последующие работы будут также выполняться позднее, что вызовет в целом задержку в окончании строительства.
Самым поздним окончанием последней работы 9-10 в рассматриваемом сетевом графике явится свершение события 10, срок которого определяется продолжительностью критического пути, т. е. ранним сроком завершения работ, лежащих на пути 1 - 2 - 7 - 8 - 9 -- 10. В нашем случае Пкр = 23 дням и
23 дням, поэтому
или в общем виде
Позднее окончание других работ в рассматриваемой цепи определяют суммой позднего начала и продолжительности данной работы.
Для работы 7 - 8:
Для работы 2 - 7:
В общем виде определить поздний срок выполнения работы можно следующим образом. Позднее начало работ
равно разности позднего окончания
и продолжительности работы m - n, т. е.
Дальнейший анализ сетевого графика ведется путем сопоставления ранних и поздних характерных работ для выявления критического пути и определения резервов времени. Те работы, у которых ранние начала и окончания равны поздним началам и окончаниям, не имеют запаса времени, а следовательно, они лежат на критическом пути. Если это совпадение не установлено, то у рассматриваемых работ имеется определенный резерв времени.
Как указывалось ранее, различают полный резерв времени рассматриваемого пути (цепи), частный и общий резервы времени работы.
Полным резервом времени для данной цепи работ называют разницу во времени между суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути, и продолжительностью работ рассматриваемой цепи (пути), т. е.
где Пкр -суммарная продолжительность работ, лежащих на критическом пути;
Пц - то же, лежащая на рассматриваемой цепи.
В нашем примере величина полного резерва между критическим путем 1-2-7-8-9-10, равным 23 дням, и цепью 1-3-4-5-9-10, равной 2+4+3 + 3+5= 17 дням, будет Рпол = 23-17 = 6 дням.
Таким образом, полный резерв Рпол данной цепи (пути) равен сумме частных (свободных) резервов работ, лежащих на ней
В нашем примере:
Полный или общий резерв времени Р° работы m - n определяется как резерв времени у максимального из путей, проходящего через эту работу.
Величина
показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность отдельной работы т п, чтобы при этом длина максимального из путей, проходящего через эту работу не превышала длины критического пути.
Общий запас времени определяют разностью позднего и раннего начала времени или позднего и раннего окончания работы.
Например, общий запас времени для работы 7 - 8 составляет
Сводный или частный резерв времени определяет то количество времени, на которое можно перевести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала следующих за ней работ.
Такой запас может выявиться в том случае, когда событие является результатом двух или более работ. Он определяется разностью раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.
Например, частный запас времени для работы 2 - 8 составляет:
В общем виде частный запас времени Рч определяют по формуле:
После окончания расчета сетевого графика легко определить критический путь по видам работ, у которых Р°=0; критический путь включает все работы (стрелки), расположенные последовательно одна за другой, т. е. он обозначает работы, на выполнение которых требуются наибольшие затраты времени.
Понятие критическая работа охватывает как основные строительно-монтажные, так и вспомогательные работы. Например, критической работой может оказаться доставка строительных деталей или технологического оборудования на строительную площадку.
Помимо критического пути, представляет интерес так называемая критическая зона, обусловливающая совокупность работ, имеющих малые резервы времени. Работы критической зоны, не лежащие на критическом пути, могут оказаться в нем даже при небольшом изменении продолжительности некоторых работ. Такие работы называются подкритическими. Различают также резервную зону, совокупность работ которой имеет значительные резервы времени.
Суммируя время, необходимое для выполнения всех работ, расположенных на критическом пути, определяют продолжительность строительства объекта