Пусть векторное поле образовано вектором .

Для наглядности будем считать - вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находиться в этом потоке и пропускает жидкость. Требуется вычислить, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S.

Потоком вектора через поверхность S называется интеграл П=- (этот интеграл ещё называют поверхностным интегралом II-го рода).(- скалярное произведение)

Поток П вектора есть скалярная величина. Величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В общем случае, поток поля вектора пропорционален числу векторных линий, пронизывающих поверхность.

Т.О. если мы рассматриваем графическое изображение векторного поля, то можно судить о величине потока через одинаковые площадки по густоте векторных линий – там, где линии расположены ближе друг к другу, там больше и величина потока.

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объём V . Тогда поток вектора записывается в виде

Если векторное поле - поле скоростей текущей жидкости, то величина потока П через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в неё за единицу времени.

Если П>0 , то из области V вытекает больше жидкости, чем в неё втекает. Это значит, что внутри области имеются дополнительные источники. Если П<0 , то в нутрии области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии кончаются. Так в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком отрицательный заряд магнита.

Если П=0 , то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в неё втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Дивергенция - численная характеристика плотности источника или стока поля в данной точке.

- предел отношения потока поля через некоторую замкнутую поверхность к объёму, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность S стягивается в точку М , называется дивергенцией поля в точке М .

Если то в точке М иметься источник поля плотности

Если то в точке М сток плотности

Если то в точке М нет источников и нет стоков.

Дивергенция характеризирует мощность (интенсивность) источника или стока.

Формула для вычисления дивергенции:

Пример: вычислить дивергенцию вектора в т. М(1;2;3)

Поток векторного поля.
Поток через замкнутую поверхность

Просто чтобы не запутаться.

В основе этого перехода лежит известная формула скалярного произведения , и тут будет полезно проанализировать её содержательный смысл. Пусть – это единичный вектор нормали «комнатой» стороны нашего «сигма-окна» и пусть в рассматриваемых ниже ситуациях дует ветер некоторой постоянной скорости.

Теперь ответим на вопрос: когда поток будут максимальным? Математически максимум достигается при , то есть когда углы между «полевыми» и нормальным вектором равны нулю. Что это значит? Это значит, что ветер дует «прямо в окно» – строго по направлению нормалей. Логично, что именно в этом случае в комнату и попадёт максимальное количество воздуха.

Если «угол задува» увеличивать от 0 до 90 градусов, то косинус (а значит, и поток) будет уменьшаться до нуля. Тоже логично. В частности, если ветер (такой же силы!) дует в окно под углом в 60 градусов, то поток воздуха по абсолютной величине будет уже в два раза меньше .Случаю соответствует «невероятная ситуация», когда воздух перемещается в «плоскости окна». И, наконец, отрицательным значениям косинуса (углы от 90 до 180 градусов) соответствуют случаи, когда ветер дует против вектора нормали (т.е. из окна).

Ещё раз призываю научиться решать поверхностные интегралы тех, кто не успел этого сделать, поскольку сейчас мы фактически продолжаем тему:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Наверное, все интуитивно понимают, что это за поверхность. К простейшим замкнутым поверхностям можно отнести сферу и треугольную пирамиду .

Вычисление потока через замкнутую поверхность имеет свои особенности, с которыми мы познакомимся в ходе решения следующего каноничного примера:

Пример 1

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную плоскостью и координатными плоскостями, в направлении внешней нормали

Решение , как повелось, начинаем с чертежа. Перепишем уравнение плоскости в отрезках и изобразим предложенную поверхность, которая представляет собой треугольную пирамиду:

По условию, поверхность ориентирована в направлении внешней нормали, и поэтому к обозначению пирамиды я добавлю условную стрелочку: .

Поток векторного поля вычислим с помощью того же поверхностного интеграла 2-го рода , и так как поверхность замкнута, то к его обозначению обычно добавляют символический кружочек:

Если совсем тяжко, используйте привычную «сигму»:
, подразумевая под чёрточкой внешнее направление. Заметьте также, что здесь крайне нежелательно ставить «плюсик»: – по той причине, что три грани пирамиды «смотрят» против координатных осей!

Несмотря на «страшный вид», смысл задачи опять же прост: представьте, что пирамида ограничивает фрагмент нЕкоего водного русла. Требуется выяснить, сколько жидкости туда поступило/вытекло в единицу времени.

И, очевидно, что здесь придётся воспользоваться свойством аддитивности поверхностного интеграла, а конкретнее, представить его в виде суммы четырёх поверхностных интегралов по ориентированным граням пирамиды :

Здесь можно тоже использовать короткие обозначения , но чтобы всё было понятнее, я предпочёл пусть громоздкие, но зато «говорящие» названия поверхностей.

…что-то не вижу энтузиазма в ваших глазах:)) …и напрасно – с каждым экраном будет всё интереснее и интереснее;)

1) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник в направлении нормального вектора . По сути дела, это Пример 5 урока Поверхностные интегралы .

Поскольку внешняя нормаль образует с полуосью острый угол, то для нахождения единичного нормального вектора используем формулу:

Запишем функцию плоскости :

и найдём частные производные 1-го порядка :

Таким образом:

Убедимся, что его длина действительно равна единице:
, ч.т.п. На чертеже он выглядит коротеньким, но что поделать – такой уж наклон плоскости.

Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода :

Теперь используем формулу , где – проекция поверхности «сигма» на плоскость . Напоминаю, что интеграл 1-го рода можно вычислить ещё двумя способами, но во избежание путаницы (опять же) лучше пойти привычным путём:

Осталось разрулить двойной интеграл . Найдём прямую, по которой по пересекаются плоскости и :

и изобразим проекцию на двумерном чертеже (не ленимся!!!):

Очевидно, что с порядком обхода я уже определился чуть ранее:

Продолжаем:

Повторные интегралы удобнее вычислить по порядку. Сначала внутренний:

затем внешний:

Готово. Обратите внимание на рациональную технику вычисления и оформления.

Для лучшего понимания задачи продолжим вкладывать в решение гидродинамический смысл. Что означает полученный результат ? Он означает, что за единицу времени через треугольник в направлении вектора прошло 26 единиц жидкости. Кстати, это не значит, что она движется ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО в данном направлении. Вполне возможно, что здесь «водоворот»: попробуйте поподставлять в функцию различные точки треугольника , и если окажется, что векторы поля торчат из него в разные стороны, то дело обстоит именно так.

Оставшиеся три интеграла, благо, проще:

2) Найдём поток векторного поля через ориентированный треугольник . Единичный вектор нормали тут очевиден: или . Вычислим скалярное произведение:

и перейдём к поверхностному интегралу 1-го рода

Так как поверхность лежит непосредственно в плоскости , то формула
сильно упрощается – ведь «зет» и её производные равны нулю. Двойной интеграл возьмём по тем же пределам интегрирования:

Отрицательное значение означает, что за единицу времени через треугольник по итогу прошло 9 единиц жидкости против вектора (то есть, поступило внутрь пирамиды). Любопытные читатели могут снова поподставлять точки треугольника в функцию и проанализировать характер течения.

3) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник . Внешняя нормаль здесь тоже как на ладони: или . Скалярное произведение:

и стандартный переход:

Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла , который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле

и поверхность σ , в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора - непрерывные функции координат x , y , z точки M .

Определение потока векторного поля . Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл

Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода

Учитывая, что

поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода

.

Направление и интенсивность потока векторного поля

Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ . Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.

Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля - это число векторных линий, пересекающих поверхность σ . Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.

Если поток векторного поля - поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ , то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ . Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ . В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ . Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ . В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ . Если k - коэффициент теплопроводности, а u (M ) - температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .

Вычисление потока векторного поля: примеры

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy - треугольник AOB .

Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:

Длина вектора нормали:

.

Единичный вектор нормали:

.

Таким образом,

Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .

Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:

Выразим переменную "зет":

Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64.

2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем

.

Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:

Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:

Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:

Осталось только сложить все три интеграла:

Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.

Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.

Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.

1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле - поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку ΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS :

где - проекция вектора на нормаль к площадке ; - единичный вектор, перпендикулярный площадке .

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности сквозь поверхность в общем случае равен:

,

где . (Выбор нормали условен, но в случае замкнутых поверхностей принято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока - В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

.

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , т. е.:

.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянии от него (рис. 1.8),

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (- плечо диполя),

,

где - электрический момент диполя, - угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

где - напряженность электрического поля; - угол между векторами и .

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

где производная берется по направлению вектора . Направление вектора в общем случае не совпадает с направлением вектора , ни с направлением вектора . Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора , взятого в направлении .

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

где - расстояние точки от нити (оси цилиндра), - линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO " - ось симметрии цилиндра

где - поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и (поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

Потенциал. Разность потенциалов

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии

.

Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и равен отношению потенциальной энергии положительного пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

где - потенциальная энергия заряда , помещенного в данную точку электрического поля. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю. Единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.

Работа, совершенная силами поля по перемещению положительного заряда из точки 1 в точку 2:

или ,

где - проекция вектора напряженности на направление ; при этом интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 1.11).

Интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Теперь предположим, что заряд q 0 перемещается из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля , откуда получим:

Данное выражение позволяет сформулировать еще одно определение потенциала. Потенциал - это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки пространства в бесконечность (потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю).

Рис. 1.11. Работа сил поля при малом перемещении заряда q

Разность потенциалов и модуль напряженности электрического поля

где производная берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т. е. вдоль силовой линии (рис. 1.12).

Для однородного поля ()

где - расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.

Рис. 1.12. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r 1 и r 2

Потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него

Потенциал поля сферической поверхности (шара) радиуса , по которой равномерно распределен заряд :

1. - для точек, лежащих вне сферы (шара) на расстоянии от ее центра;

2. - для точек, лежащих на поверхности сферы (шара) или внутри нее.

Потенциал электрического поля внутри непроводящего шара, равномерно заряженного по объему,

где - диэлектрическая проницаемость материала шара; - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.

Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля . Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

где - потенциал электрического поля, созданного -м зарядом.

Для графического изображения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - это поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. В любой точке эквипотенциальной поверхности силовая линия ей перпендикулярна, следовательно, перпендикулярен и вектор (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии простых электрических полей: точечный заряд; электрический диполь; два равных положительных заряда

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Различают три типа диэлектриков:

1) Неполярные диэлектрики. Это диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (например, N 2 , H 2 , O 2 , CO 2).

2) Полярные диэлектрики. Это диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например, H 2 O, NH 3 , SO 2 , CO).

3) Ионные диэлектрики (например NaCl, KCl). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков.

Если диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то в его объеме возникает собственное макроскопическое поле, которое всегда противоположно ориентировано по отношению к внешнему полю. Такое явление называется поляризацией диэлектрика , и оно объясняется тем, что в его объеме возникает суммарный дипольный электрический момент молекул. Различают три основных вида поляризации:

1) Электронная или деформационная поляризациядиэлектрика с неполярными молекулами - за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов или молекул диэлектрика (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Деформационная поляризация неполярного диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная поляризациядиэлектрика с полярными молекулами - ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и чем ниже температура) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Поляризация полярного диэлектрика

3) Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими решетками - смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью вещества (вектор поляризации)

,

где - физически малый объем вещества; - концентрация молекул; - средний дипольный момент одной молекулы. Таким образом вектор поляризации измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика.

Для изотропного диэлектрика вектор пропорционален напряженности поля внутри него

где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле).

Поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

Напряженность поля внутри диэлектрика равна:

где - диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле и показывающая во сколько раз поле ослабляется диэлектриком. Таким образом, диэлектрическая проницаемость среды

где - напряженность поля в вакууме; - напряженность поля в среде. Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной и характеризует способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле, а также показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком

Для характеристики поля в диэлектрике вводится вектор электрического смещения (электрической индукции ), который для изотропного диэлектрика записывается так

Единица электрического смещения - Кл/м 2 . Вектор описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Введение в рассмотрение векторов поляризации и электрического смещения позволяет изменить запись и формулировку теоремы Гаусса.

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов q i , охватываемых этой поверхностью

Тогда как производная скаляра по произвольному направлению однозначно определяется заданием вектора , поведение векторной функции
вблизи некоторой точки пространства описывается тензором, определяемым уравнением

, (3.1)

где составляющие тензора в декартовых координатах выражаются следующим образом:

(3.2)

Иными словами, приращение каждой составляющей векторной функции
имеет форму, аналогичную приращению скалярной функции (2.1):

(3.3)

4. Поток вектора через поверхность. Дивергенция. Теорема Гаусса

Прежде всего введем ряд понятий, которые понадобятся не только в данном разделе, но и в дальнейшем. Рассмотрим поле вектора
. В произвольной точке этого поля выделим бесконечно малую плоскую площадку
, в пределах которой векторостается постоянным по величине и по направлению. С выделенной площадкой связаны направление нормали к ней и направление обхода контура площадки (рис. 4.1).

Б

удем считать, что эти два направления связаны друг с другом таким образом, чтобы положительное направление нормали и направление обхода контура образовывали правовинтовую систему. (Это означает, что при повороте буравчика правой нарезки по направлению обхода контура его острие будет перемещаться вдоль положительной нормали).

Направление нормали будем характеризировать единичным вектором , а саму эту площадку можно обозначить в виде вектора
.

Потоком вектора через бесконечно малую площадку
называется величина

(4.1)

где - значение вектора на площадке
,– проекция вектора на направление нормали.

Чтобы определить поток вектора через поверхность конечных размеров нужно разбить её на бесконечно малые площадки
и просуммировать потоки через все эти площадки (рис.4.2).

Такое суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла по поверхности :

(4.2)

Если вычисляется поток вектора через замкнутую поверхность, то это обстоятельство обозначается кружком у знака интеграла:

(4.3)

Из двух возможных положительных направлений вектора нормали при вычислении потока через замкнутую поверхность будем выбирать в качестве положительного направление внешней нормали к поверхности.

Дивергенция вектора определяется выражением

. (4.4)

В соответствии с этим определением дивергенция векторной функции
в произвольной точке пространства вычисляется следующим образом: точка окружается замкнутой поверхностью, по которой берётся поверхностный интеграл вектора. Затем берётся предельное значение отношения интеграла к объему, ограниченному этой поверхностью, когда замкнутая поверхность стягивается к точке.

Из определения дивергенции (4.4) следует, что данная операция инвариантна по отношению к преобразованию координат. Иными словами значение выражения
не зависит от выбора системы координат. Вместе с тем, само выражение
можно представить в той или другой системе координат.

В декартовой системе координат имеем

. (4.5)

Из определения дивергенции следует, что поток вектора через поверхность элементарного параллелепипеда, объемом
будет

. (4.6)

Формулу, выражающую поток вектора через поверхностьбесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. При этом поверхностный интеграл
можно преобразовать в объёмный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа –теоремы Гаусса.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность . Разобьём ограниченный ею объёмсистемой взаимно перпендикулярных плоскостей на совокупность бесконечно малых кубических элементов.

Вычислим с помощью уравнения (4.6) поток вектора через поверхность каждого кубика, лежащего внутри, и сложим полученные выражения:

(4.7)

Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокупности объём , могут быть разделены на два класса – грани внешние, совпадающие с элементами поверхности, и грани внутренние, ограничивающие смежные кубики друг от друга. Очевидно, что в сумму
поток векторачерез каждуювнутреннюю грань войдёт дважды: при подсчёте потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от неё. Так как нормаль к грани, внешняя по отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба потока через эту грань будут иметь противоположные знаки. Следовательно, все члены суммы
, относящиеся к внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведётся к сумме потоков векторачерез одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие с элементами поверхности. Таким образом,
оказывается равной потоку
векторачерез заданную поверхность:

(4.8)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса : поток вектора, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции этого вектора по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Те точки поля, в которых
, принято называть истоками этого поля, а само значение
характеризует «интенсивность» истоков. Векторные поля, у которых
, называютсясоленоидальными .