Пример

Подсчет средних характеристик

Одноканальные СМО с ожиданием

Такие системы при условии, что нет ограничений на длину очереди, имеют бесчисленное множество состояний:

Е 0 , Е 1 , Е 2 , Е 3 , ...

Е 0 – в системе 0 требований (система свободна);

Е 1 – в системе 1 требование (система занята);

Е 2 – в системе 1 требование, и одно требование ожидает в очереди;

Е 3 – в системе 1 требование, и два требования ожидают в очереди и т. д.

P 0 = 1-φ, φ = λ/μ.

Следовательно,

P k = (1-φ)φ k , k = 1, 2, ….

Условие φ > 0 является необходимым и достаточным для наличия стационарного режима работы системы.

Интересно знать, почему стационарный режим существует только при этом условии?

Это условие означает, что среднее число требований, поступивших в СМО, меньше, чем интенсивность самого обслуживания; поэтому система успевает ритмично работать. Теперь ясно, почему система не может работать при условии, когда коэффициент загрузки больше 1. Но почему нет установившегося режима, когда коэффициент загрузки равен 1? Ведь в этом случае, сколько в среднем требований поступает в СМО, столько в среднем и обслуживается. Однако требования поступают в систему неравномерно, и время их обслуживания тоже колеблется, так что могут быть и простои, и перегрузки. Вот поэтому при таком условии не поддерживается стационарный режим.

При изучении СМО важнейшими являются средние значения (математические ожидания) таких случайных величин:

n – количество требований, находящихся в системе;

v – длина очереди;

w – время ожидания в очереди.

Ниже их формулы:

v = φ 2 /(1-φ);

w = [φ/(1-φ)]*.

Интенсивность потока автомобилей, поступающих на моечную станцию (одноканальная СМО) – 4 автомобиля в час, а интенсивность обслуживания – 5 автомобилей в час. Предполагая, что станция работает в стационарном режиме, найти среднее число автомобилей, находящихся на станции, среднюю длину очереди и среднее время ожидания обслуживания.

Решение

Определяем коэффициент загрузки системы:

n = 0,8/(1-0,8) = 4;

v = 4*0,8 = 3,2;

Сделаем следующие предположения относительно таких систем:

· входной поток пуассоновский;

· время обслуживания распределено по экспоненциальному закону;

· время обслуживания не зависит от входного потока;

· все линии обслуживания работают независимо.

Будем считать, что система содержит некоторое количество линий обслуживания s. Она может находиться в состояниях Е 0 , Е 1 , Е 2 , Е 3 , ... Е S . Расчёт переходных вероятностей показывает, что из каждого из свободных состояний система может переходить в соседнее состояние, либо в такое же, в каком была.

Для нахождения вероятностей используется следующая формула:

P k = φ k /k!*P 0 , φ = λ/μ, где k = 1, 2, ...

Так как сумма всех вероятностей составляет 1, то

Отсюда следуют формулы:

Увеличение коэффициента загрузки системы ведет к увеличению вероятности отказа системы. Это не устраивает потребителей. Уменьшение вероятности отказа системы может быть достигнуто за счёт увеличения количества линий обслуживания.

Однако резкое увеличение количества линий не устраивает организатора, потому что ведёт к дополнительным затратам на приобретение новых линий обслуживания, и увеличивает вероятность простоя линий. Расчет показывает, что среднее число свободных линий обслуживания

ρ = s-φ(1-P s).

Теперь ясно, что при сильном увеличении количества линий обслуживания, увеличится среднее число простаивающих линий.

Таким образом, мы имеем дело с двумя противоположными тенденциями. Задача сводится к выбору оптимального варианта. С этой целью будем минимизировать функцию стоимости СМО – С(s). Если через с 1 мы обозначим стоимость одного отказа (организатор системы платит штраф за каждый отказ), а через с 2 – стоимость простоя одной линии за единицу времени, то функция стоимости будет иметь следующий вид:

C(s) = c 1 λP s +c 2 ρ.

Или в развернутом виде:

Сначала с увеличением s она убывает, а затем растёт. Наша задача состоит в том, чтобы найти её минимум.

Рассмотрим -канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

Все каналы свободны,

Занят ровно один канал, остальные свободны,

Заняты ровно k каналов, остальные свободны,

Заняты все каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис. 5.3. Разметим граф, т. е. проставим у стрелок интенсивности соответствующих потоков событий.

По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток - ноток заявок с интенсивностью к. Если система находится в состоянии (занято k каналов) и пришла новая заявка, система переходит (перескакивает) в состояние

Определим интенсивности потоков событий, переводящих систему по стрелкам справа налево.

Пусть система находится в состоянии 5, (занят один канал). Тогда, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в значит, поток событий, переводящий систему по стрелке имеет интенсивность Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживание переводящий систему но стрелке будет вдвое интенсивнее если занято k каналов в k раз интенсивнее Проставим соответствующие интенсивности у стрелок, ведущих справа налево.

Из рис. 5.3 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса гибели и размножения, рассмотренного нами в § 8 гл. 4.

Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Уравнения (4.1) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются:

(в начальный момент система свободна).

Интегрирование системы уравнений (4.1) в аналитическом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно, на АВМ или ЭЦВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний

как функции времени.

Естественно, нас больше всего будут интересовать предел -ные вероятности состояний характеризующие установившийся режим работы СМО (при ). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся уже готовым решением задачи, полученным для схемы гибели и размножения в § 8 гл. 4. Согласно этому решению,

В этих формулах интенсивность потока заявок и интенсивность потока обслуживаний (для одного канала) не фигурируют по отдельности, а входят только своим отношением Обозначим это отношение

и будем называть величину р «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл ее таков: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

С учетом этого обозначения, формулы (4.2) примут вид:

Формулы (4.3) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметров ( - интенсивность потока чаявок, - интенсивность обслуживания, п - число каналов СМО).

Зная все вероятности состояний

можно найти характеристики эффективности СМО: относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А и вероятность отказа .

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты. Вероятность этого равна

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же относительная пропускная способность q) дополняет Яотк до единицы:

Абсолютная пропускная способность:

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число

Величину k можно вычислить непосредственно через вероятности по формуле:

как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значения с вероятностями Однако значительно проще выразить среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А, которую мы уже знаем. Действительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени-, один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени заявок; среднее число занятых каналов получится делением А на

операции или эффективности системы массового обслуживания являются следующие.

Для СМО с отказами :

Для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способности теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными показателями являются:

Для СМО смешанного типа используются обе группы показателей: как относительная и абсолютная пропускная способности , так и характеристики ожидания.

В зависимости от цели операции массового обслуживания любой из приведенных показателей (или совокупность показателей) может быть выбран в качестве критерия эффективности.

Аналитической моделью СМО является совокупность уравнений или формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования и рассчитывать показатели эффективности по известным характеристикам входящего потока и каналов обслуживания.

Всеобщей аналитической модели для произвольной СМО не существует . Аналитические модели разработаны для ограниченного числа частных случаев СМО. Аналитические модели, более или менее точно отображающие реальные системы, как правило, сложны и труднообозримы.

Аналитическое моделирование СМО существенно облегчается, если процессы, протекающие в СМО, марковские (потоки заявок простейшие, времена обслуживания распределены экспоненциально). В этом случае все процессы в СМО можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в предельном случае, для стационарных состояний - линейными алгебраическими уравнениями и, решив их, определить выбранные показатели эффективности.

Рассмотрим примеры некоторых СМО.

2.5.1. Многоканальная СМО с отказами

Пример 2.5 . Три автоинспектора проверяют путевые листы у водителей грузовых автомобилей. Если хотя бы один инспектор свободен, проезжающий грузовик останавливают. Если все инспекторы заняты, грузовик, не задерживаясь, проезжает мимо. Поток грузовиков простейший, время проверки случайное с экспоненциальным распределением.

Такую ситуацию можно моделировать трехканальной СМО с отказами (без очереди). Система разомкнутая, с однородными заявками, однофазная, с абсолютно надежными каналами.

Описание состояний:

Все инспекторы свободны;

Занят один инспектор;

Заняты два инспектора;

Заняты три инспектора.

Граф состояний системы приведен на рис. 2.11 .

Рис. 2.11.

На графе: - интенсивность потока грузовых автомобилей; - интенсивность проверок документов одним автоинспектором.

Моделирование проводится с целью определения части автомобилей, которые не будут проверены.

Решение

Искомая часть вероятности - вероятности занятости всех трех инспекторов. Поскольку граф состояний представляет типовую схему "гибели и размножения", то найдем , используя зависимости (2.2).

Пропускную способность этого поста автоинспекторов можно характеризовать относительной пропускной способностью :

Пример 2.6 . Для приема и обработки донесений от разведгруппы в разведотделе объединения назначена группа в составе трех офицеров. Ожидаемая интенсивность потока донесений - 15 донесений в час. Среднее время обработки одного донесения одним офицером - . Каждый офицер может принимать донесения от любой разведгруппы. Освободившийся офицер обрабатывает последнее из поступивших донесений. Поступающие донесения должны обрабатываться с вероятностью не менее 95 %.

Определить, достаточно ли назначенной группы из трех офицеров для выполнения поставленной задачи.

Решение

Группа офицеров работает как СМО с отказами, состоящая из трех каналов.

Поток донесений с интенсивностью можно считать простейшим, так как он суммарный от нескольких разведгрупп. Интенсивность обслуживания . Закон распределения неизвестен, но это несущественно, так как показано, что для систем с отказами он может быть произвольным.

Описание состояний и граф состояний СМО будут аналогичны приведенным в примере 2.5.

Поскольку граф состояний - это схема "гибели и размножения", то для нее имеются готовые выражения для предельных вероятностей состояния:

Отношение называют приведенной интенсивностью потока заявок . Физический смысл ее следующий: величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.

В примере .

В рассматриваемой СМО отказ наступает при занятости всех трех каналов, то есть . Тогда:

Так как вероятность отказа в обработке донесений составляет более 34 % (), то необходимо увеличить личный состав группы. Увеличим состав группы в два раза, то есть СМО будет иметь теперь шесть каналов, и рассчитаем :

Таким образом, только группа из шести офицеров сможет обрабатывать поступающие донесения с вероятностью 95 %.

2.5.2. Многоканальная СМО с ожиданием

Пример 2.7 . На участке форсирования реки имеются 15 однотипных переправочных средств. Поток поступления техники на переправу в среднем составляет 1 ед./мин, среднее время переправы одной единицы техники - 10 мин (с учетом возвращения назад переправочного средства).

Оценить основные характеристики переправы, в том числе вероятность в немедленной переправе сразу по прибытии единицы техники.

Решение

Абсолютная пропускная способность , т. е. все, что подходит к переправе, тут же практически переправляется.

Среднее число работающих переправочных средств:

Коэффициенты использования и простоя переправы:

Для решения примера была также разработана программа. Интервалы времени поступления техники на переправу, время переправы приняты распределенными по экспоненциальному закону.

Коэффициенты использования переправы после 50 прогонов практически совпадают: .

Классификация СМО и их основные характеристики

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью . В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: «теория очередей».

СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь-ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» - заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается так называемое обслуживание с приоритетом - некоторые заявки обслуживаются вне очереди. Приоритет может быть как абсолютным - когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим (например, пришедший в парикмахерскую клиент высокого ранга прогоняет с кресла обыкновенного клиента), так и относительным - когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.

Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз» (например, покупатель, пришедший в магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, затем получить на контроле).

Кроме этих признаков, СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые». В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО - зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже неисправно и ждет наладки. Это - пример замкнутой СMO.

В зависимости от типа СМО при оценке её эффективности могут применяться те или иные величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик её продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени. Наряду с абсолютной, часто рассматривается относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу поступающих заявок за это время). Помимо этого при анализе СМО с отказами могут интересовать ещё среднее число занятых каналов, среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала и т.д.

Характеристики СМО с ожиданиями. Для СМО с неограниченным ожиданием абсолютные и относительные пропускные способности теряют смысл. Зато важными являются: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием), среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и другие. Для СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы: число каналов n , интенсивность потока заявок l, производительность каждого канала (среднее число заявок , обслуживаемых непрерывно занятым каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).

Условимся все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, считать пуассоновскими.

Простейшая задача. Пусть СМО состоит только из одного канала (n=1 ) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью l, зависящей в общем случае от времени l=l(t) (9.1). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Т об, распределенного по показательному закону с параметром m f(t)= me - m t (t>0) (9.2).

Из этого следует, что «поток обслуживаний» - простейший, с интенсивностью m. Требуется найти: абсолютную (А) и относительную (q ) пропускные способности.

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний: S 0 – свободен, S 1 – занят. Обозначим вероятности состояний p 0 (t) и p 1 (t) . Очевидно:

"t p 0 (t)+p 1 (t)=1 (9.3).

Граф состояний системы

По графу состояний системы составим дифференциальные уравнения Колмогорова:

(9.4)

В соответствии с (9.3) одно уравнение в (9.4) лишнее. Отбросим второе уравнение, а первое перепишем с учетом (9.3):

или (9.5).

Это уравнение естественно решать при начальных условиях p 0 (0)=1; p 1 (0)=0. Уравнение (9.5) легко может быть решено не только для простейшего потока заявок (l=const), но и для случая l=l(t). Приведем решение (9.5) только для случая l=const: .

Для нашего случая вероятность p 0 есть не что иное, как q .

Действительно, p 0 есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t , будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее число обслуженных заявок к числу поступивших также равно p 0: q= p 0 .

В пределе, при t®¥, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение q будет равно .

Легко найти и А, зная q . Они связаны очевидным соотношением:. В пределе, при t®¥, А тоже установится и будет равна .

Зная q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена) легко найти вероятность отказа: P отк =1-q. P отк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при t®¥ .

Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

Одноканальная смо с отказами

Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях:S 0 – канал свободен;S 1 – канал занят. Переход изS 0 вS 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход изS 1 вS 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.4).

Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками -);

–интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и.

Пример . Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа. Среднее время изготовления одной детали равно. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

.

Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.

N – канальная смо с отказами (задача Эрланга)

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано : в системе имеетсяn – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение . Состояние системыS (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

S n – в СМО находитсяn – заявок (всеn – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 5

Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояниеS 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью(как только приходит заявка, система переходит изS 0 вS 1). Если система находилась в состоянииS 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояниеS 2 и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производитобслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состоянияS 1 в состояниеS 0 нагружена интенсивностью. Пусть теперь система находится в состоянииS 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти вS 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равнаи т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность :

где n – количество каналов СМО;

–вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);

Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

S 1 , когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 2 , т.е. когда два канала заняты:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S n , т.е. когда все каналы заняты.

Теперь для n – канальной СМО с отказами

Относительная пропускная способность:

Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом

Вероятность отказа :

Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Очевидно, что .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):