ПАРАДОКС БЕРТРАНА

Жозеф Бертран, французский математик и экономист конца XIX в., подверг критике модель Курно и предложил свой вариант, в котором в качестве стратегических переменных рассматривал цены. Он считал, что изменение стратегических переменных в модели Курно (от объема производства к ценам) ведет к совершен­но другим результатам. В модели Бертрана фирмы конкурируют путем установления цен и их поведение на рынке носит симмет­ричный характер.

Представим анализ дуополии, предложенный Бертраном. Когда фирма выбирает свою цену, она должна предвидеть (предопределить) цену, которую зафиксирует вторая фирма на рынке. Пусть две фирмы предлагают на рынке соответственно цены Р { и Р т

Ниже перечислены предпосылки модели.

1. Спрос зависит от уровня цены, которую решит установить вторая фирма. Если фирма определит свою цену выше цены кон­курента, спрос на ее продукт будет нулевым; если она зафиксирует цену ниже цены конкурента, то весь рыночный спрос перейдет к ней. Если обе фирмы установят одинаковые цены на продукт, то они поделят рыночный спрос пополам.

Пусть 1-я фирма устанавливает свою цену продажи на уровне Р г функция общего спроса на рынке - 0(Р). Тогда спрос у фирмы] будет таким:

ЩР) - 0{Р), если Р. < Р. (/-я фирма захватывает весь рынок);

1/2ЩР), если Р { =Р ] =Р (/-я иУ-я фирмы делят спрос поровну);

Л (Р.) = 0, если PJ > Р ((спросу-й фирмы равен нулю).

В итоге функция спроса является прерывистой (как и функция прибыли).

2. Предполагается, что все фирмы обладают достаточным объ­емом мощностей для удовлетворения всего рыночного спроса.

3. Стратегическими переменными каждой фирмы на рынке являются цены,

4. Фирмы выпускают однородный товар (имеющий близкие субституты).

5. Каждая фирма стремится максимизировать прибыль, кото­рую она может реализовать в условиях, создаваемых дуополис­том.

Важной предпосылкой модели Бертрана является то, что если две фирмы продают однородный продукт, то потребители будут покупать у той фирмы, которая устанавливает более низкую цену. Как следствие, фирмы устанавливают цены и позволяют рынку определить объемы продукции.

Допустим, что фирмы имеют одинаковую структуру издержек и обе продают товар по цене выше предельных издержек. В таком случае они имеют положительные прибыли. Если фирма 1 немно­го уменьшит свою цену, а фирма 2 оставит свою цену неизменной, все покупатели будут предпочитать покупать товар по цене фир­мы 1: она может так переманить к себе всех клиентов фирмы 2. Таким образом, фирма 1 всегда имеет склонность к практике Небольшого понижения цены по сравнению с ценой конкурента. Но такое поведение может иметь аналогичные последствия в смыс­ле небольшого снижения цены фирмой 2 относительно цены фир­мы 1. Отсюда следует, что установление цены выше предельны! издержек не является стабильным и равновесным значением для данного рынка, а единственно возможное равновесие - это кон-; курентное равновесие, когда цена равна предельным издержкам" при нулевом значении прибылей.

Сформулируем теорему Бертрана (1883), которая заключается в следующем: при предпосылках, обозначенных выше, существует только единственное равновесие на таком рынке: Р* = Р* ~ МС, т.е. результатом является достижение конкурентного равновесия. Прибыль каждой фирмы можно в данном случае представить сле­дующим образом:

П; = РЩ(Р) ~ Щ(ЩР,)) при /=1,2.

Если Р { > Р 2 > МС, фирма 1 не будет продавать товар и, соот­ветственно, ее прибыль будет нулевой. Устанавливая Р { - Р г - е, фирма 1 может захватить весь рынок и получить положительную прибыль. То же самое относится и к фирме 2, если она ответит на это снижением своей цены еще немного. Как следствие, подобная ситуация не может быть равновесием, так как обе фирмы будут продолжать практиковать снижение цены до тех пор, пока цена не станет равной МС.

Если Р 1 = Р 2 > МС, то две фирмы поделят рынок, однако такая рыночная ситуация нестабильна, поскольку, если одна фирма сни­зит цену, весь рыночный спрос перейдет к ней и ее прибыли еще больше увеличатся. Это, следовательно, также не является равно­весной ситуацией.

При условии Р х > Р 2 - МС фирма 2 не будет извлекать прибыль (так как цена равна предельным издержкам), а фирма 1 не получит никакой прибыли (так как ее цена слишком высока и покупатели уйдут от нее). Однако фирма 2 заинтересована в получении при­были и, соответственно, в увеличении своей цены и удержании ее на уровне чуть ниже Р { с целью захвата всего рынка. Такая ситуа­ция тоже не является равновесной.

Условие Р\ = Р 2 ~ МС ~ ЭТ0 единственно возможный путь достижения равновесия на рынке (равновесие по Бертрану). В такой ситуации фирмы не извлекают прибыль, но будут занимать безразличную позицию по отношению к решению остаться на рынке или уйти с него.

Парадокс Бертрана сформулирован следующим образом: две фирмы действуют на рынке аналогично поведению большого (неограниченного) числа предприятий, т.е. в соответствии с пове­дением фирм на рынке совершенной конкуренции.

Модель Бертрана, изменяя стратегическую переменную, при­водит к фундаментально другому результату на рынке дуополии в сравнении с моделью Курно. Следует отметить необычность ситу­ации, когда на рынке действуют только две фирмы и итогом их поведения является установление конкурентного равновесия.

Представим парадокс Бертрана в виде теории игр.

Стратегия «измена» является доминирующей стратегией для двух фирм: равновесие наступает при совпадении (И, И), когда прибыль равна нулю (*0, О*). В условиях равновесия по Бертрану цены на рынке снижаются до предельных издержек, т.е. до уровня значительно ниже ценовых значений в модели Курно или модели Штакельберга. Равновесие по Бертрану, так же как и равновесие по Курно, является равновесием по Нэшу. Этот результат образу­ется при угрозе со стороны потенциальных конкурентов. Однако трудно представить, что фирмы не будут пытаться влиять на цену, договариваясь об этом. Другой парадокс модели касается входа на рынок: возникает вопрос, почему фирмы берут на себя труд прий­ти на рынок, на котором не получают никакой прибыли. При таком равновесии благосостояние общества является максималь­ным: два производителя получают наибольший остаток (77? - УС), так же как и потребители, поскольку цены находятся на минималь­ном уровне. Одним из путей определения равновесного состояния рынка дуополии, на котором возможно получение прибыли, и соответствующих оптимальных объемов выпуска и цен является предположение об ограниченности мощности.

В некоторых задачах по теории вероятности требуется геометрический подход (например, попадание пуль в мишень). В задачах такого типа предполагается, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. Вероятность попадания в произвольную часть этой области пропорциональна ее площади (длине или объему). Такие вероятности приводят к возникновению ряда парадоксов. Например, шанс попасть в центр мишени (или в любую другую заданную точку) равен нулю. С другой стороны, попасть в эту точку можно. Таким образом, необходимо различать невозможные события и события, происходящие с вероятностью 0 (вероятность невозможного события равна 0, но обратное неверно). Может показаться странным следующий факт: вероятность попадания по крайней мере в одну точку из конечного множества точек и вероятность попадания лишь в одну точку совпадают (обе вероятности равны 0. см. парадокс о нулевой вероятности). Другая странность: взаимно однозначное преобразование может совершенно изменить шансы. Например, если мы случайно выбираем точку из интервала (0, 1), то шансы выбрать число меньшее 1/2, равны 50%. Но если все числа из (0,1) возвести в квадрат и равномерно выбирать из квадратов, то шансы увеличатся до 65,6%. Конечно, ответ 50% более естественен, но в других задачах выбор между естественностью и неестественностью может оказаться невозможным только на основе логических рассуждений.

Суть парадокса

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Парадокс утверждает, что такая вероятность определяется неоднозначно, т.е. различные методы приводят к разным результатам.

Объяснение парадокса

Казалось бы, во всех трех случаях рассуждения верны, но все-таки вероятность одного и того же события оказалась разной. Однако на самом деле мы решали три различные задачи (т.е. за меру выбирались различные множества).

В первом случае за меру множества точек избрали площадь, в которой эти точки расположены, и вычисляли отношение двух площадей.

Во втором случае за меру множества точек, попадающих в определенный угол, приняли величину соответствующего угла и вычисляли отношение двух углов(т. е. угла π/3 и развернутого угла π).

Ну а в третьем случае мы "катили" хорду по диаметру и, принимая длину отрезка за меру множества точек на нем, вычисляли отношение длины отрезков.

8 ученик Парадокс 4

Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом усиливается проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Математическая логика в сущности является формальной логикой, которая использует математические методы. Формальная логика изучает акты мышления (понятия, суждения, умозаключения, доказательства) с точки зрения их формы, логической структуры, абстрагируясь от конкретного содержания.

Каково же соотношение математической и диалектической логики? Попытаемся проследить это на примере. На рубеже 19 20 вв. были открыты парадоксы, связанные с основными понятиями теории множеств, как составляющей математической логики. Наиболее известным стал парадокс, открытый известным английским философом Бертраном Расселом. В наиболее общей форме парадокс Рассела выглядит так: Пусть К множество всех множеств, которое не содержит себя в качестве своего элемента.

Вопрос: содержит ли К само себя в качестве элемента?

Если ответ «да», то, по определению К, оно не должно быть элементом К и мы получили противоречие. Если ответ «нет» то, по определению К, оно должно быть элементом К вновь противоречие… В полушутливой форме Рассел представляет этот парадокс через однотипный, так называемый парадокс «Брадобрея» во «Введении в философию математики» (1919). Деревенский брадобрей должен брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? Если он будет брить себя, значит, он бреется сам и не имеет права брить себя. Но если он не будет брить себя, он имеет права себя брить. . Таким образом можно продемонстрировать и парадоксальность «множества всех множеств, не являющихся собственными элементами».

Общепризнанного решения этого парадокса сегодня не существует, существуют только различные способы удаления (элиминации) из теории множеств объектов, подобных множеству Рассела. Например, теория множеств Э. Цермело аксиоматически ограничивает построение множеств только «допустимыми» множествами.

Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин. Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным.

Подобные математические и формально-логические парадоксы свидетельствуют о неполноте и недостаточности строгих познавательных систем. Диалектическая логика легко разрешает ситуации, подобные приведенной Расселом. Так брадобрей в реальной жизни мог бы сделать для себя исключение как побрив себя сам, так и обратившись к другому мастеру. В математике подобные парадоксы являются стимулом для развития самого математического языка, понятийного аппарата, а также – системы доказательств и опровержений.

Вопросы, рассматриваемые Бертраном Расселом актуальны, они не имеют полного и однозначного решения и на сегодняшний день.

Ну, не длин хорд, количество хорд, немного не правильно выразился

Блин, не люблю я подробно описывать, ну ладно, распишу все по точнее. Покажем какое решение верно, и как мы получаем неверные

Прежде всего вспомним, что хорда это прямая соединяющая две точки на окружности (вроде так=)))
Вариант 2. Возьмем точку с вершины треугольника. Рассмотрим множество искомых точек. Выше показано, что длина такой дуги = 1/3, т.е. это 1/3 от общего количества точек. Вообщем вероятность = 1/3, здесь все понятно.
Вообще далекие от математики люди могут возразить, что типа не верно, потому что мы фиксируем точку и не рассматриваем другие. Объясню для них просто. Зафиксируйте одну точку, постройте удовл хорды, а затем умножите количество таких хорд, на количество точек на длине окружности 2пиR. Теперь постройте неуд хорды, так же умножите их количество. Берем отношение данных множеств, умножение на 2пиR сокращается, и получаем что и было

Вариант 3. "Точка на радиусе". Введем сразу обозначения. Треугольник А А1 А2 (А верх), О - центр окружности. ОВ - радиус перпендикулярный основанию А1А2. О1 -середина данного радиуса.
Тогда мы имеем что хорды ниже О1 неуд искомым, выше О1 - удовлетворяют. Проведем диаметр параллельный А1А2, пусть он С1С. В итоге имеем, что удов. хорды лежат одним концом (второй тоже самое, рассматривать не будем) на секторе С1А1 (30 град), а неуд - А1В (60 град). Сравнивая длины данных сектор мы получаем, что искомые есть 1/3.
В данном же решение мы рассматриваем, по построению, пересечение хорд с радиусами. Фактически мы отображаем не равные множества С1А1 и А1В на прямую и получаем равные множества ОО1 и О1В. Отсюда и получаем ошибку и ответ 1/2

Вариант 1. Сохраним обозначение и добавим вписанный круг. Очевидно что введенное ранее ОО1 есть его радиус r.
Здесь ошибка заключается в неправильно построении множества хорд. Как и в варианте 2 зафиксируем начало хорды в вершине. Далее будем вращать, засекая середины получившихся хорд. Рассмотрим половину окружности (в другой так же). Мы получим траекторию имеющую начало в А и конец в О. Нетрудно догадаться, что это будет полуокружность с радиусом r. Рассмотрим ее пересечение с вписанным кругом - точка D (после нее будем иметь удовл хорды), и пересечение круга с ОА - D1.
Имеем: ОD1 = r, DD1 = r , ОD = r, т.е. угол DOD1 = 60 град. Сектор полуокружности ОD1 тоже = 60 град. Середины удовл хорд лежат на данном секторе. Вся полуокружность = 180 град => искомое множество 1/3.
Как мы получаем здесь ошибку с 1/4. Принцип тот же самый что и в варианте. По сути мы строим хорды так же на радиусе (здесь важно четко понимать, что мы делать и не спутаться с вар. 1). Фактически происходит тоже самое выпрямление множеств, их проецирование на радиус. Спроецируем сектор ОD на радиус OD1 - ОК, он делит его пополам. Т.е. мы имеем ОК есть 1/4 от ОА

Да, длинновато получилось, а я предупреждал))

Вроде не сложная же задачка. Очевидно же все. Прочитал на вики, кто там задрачивался че то в 1973 году, какие-то интегральные уравнения, инварианты разные, доказал, что верен способ 1. Круг там бросал какой-то еще. Может логика у него и есть, но она лишь доказывает, что построение по способу 1, по идее, дает равновероятные хорды и мы получаем равномерное закрашивание)))
Все же проще значительно=)))) Лучше бы трахал блондинок, а не мозги свои))))