В задаче Джонсона общее время производственного цикла зависит от порядка запуска деталей в обработку. Пусть имеется n деталей, каждая из которых должна последовательно пройти обработку сначала на первом, затем на втором станке. Предполагается заданным время t ij обработки i -й детали на j -м станке (i=1,2,...,n; j=1,2). Требуется определить такой порядок запуска деталей, при котором общая длительность их обработки на обоих станках будет минимальной.

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора можно решить задачу Джонсона для частного варианта ее постановки, когда число станков n=2 . При этом рассчитывается длительность совокупного производственного цикла для найденной оптимальной очередности запуска деталей в обработку. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (Пример оформления).

ИНСТРУКЦИЯ . Для решения задачи необходимо задать количество деталей (строк).

Количество строк

Вставьте данные из Excel (A - первый столбец,B - второй столбец), нажмите Далее.

Правило Джонсона

Вначале детали, подлежащие обработке, условно делят на две группы. В первую группу относят детали, для которых время обработки на первом станке не превышает времени обработки на втором станке. Остальные детали образуют вторую группу. Вначале следует обрабатывать детали первой группы в порядке возрастания длительности их обработки на первом станке. Затем должны обрабатываться детали второй группы в порядке убывания времени их обработки на втором станке.

Алгоритм Джонсона

1. В обработку сначала запускают детали, требующие минимальное время обработки на первом станке в порядке возрастания этого времени.
2. В обработку запускаются сначала детали, требующие максимальное время обработки на последнем станке в порядке убывания этого времени.
3. В обработку запускаются сначала детали, у которых “узкое место” находится дальше от начала процесса обработки (“узким местом” для данной детали называется станок, на котором обработка этой деталей занимает наибольшее время).
4. Обрабатываются вначале детали, у которых суммарное время обработки на всех станках максимальное в порядке убывания этого времени.

Исходные данные и искомые величины при составлении расписаний. Понятие регулярного критерия.

Постановка задачи в ТР начинается с описания система устройств и множества работ. Для простого процесса обслуживания система обслуживающих устройств(ОУ) описывается их числом, то есть есть m устройств, n работ. F[i] – работа, а i номер работы в расписании. Исходные данные:

ti – длительность выполнения операции, то есть длина интервала времени, требуемого iым устройством для выполнения работы(аргумент)

Регулярные критерии позволяют сравнивать расписания
3. Упорядочение работ для одной машины. Искусственные простои и прерывания. Перестановочные расписания.

Система состоит из 1 обслуживающего устройства. На входе стоят n работ. Время выполнения каждой работы известно. Надо составить расписание, минимизирующее среднее время пребывания работы в системе, под которым будем понимать величину, состоящую из:

Время ожидания

Время обслуживания

3. Минимизация среднего времени пребывания работ в системе n|1.

Соотношение между длительностью прохождения и средним числом работ в системе.

5. Составление расписаний в случае критерия с учетом веса в системе n|1.

Составление расписаний в соответствии с плановым сроком. Теорема Джексона.

7. Расписания с упорядочением работ в виде цепочек, которые не могут разрываться в системах n|1.

Пусть есть n работ, которые объединены в k цепочек. Цепочки разрывать нельзя при составлении расписаний, то есть, если началась выполняться первая работа из цепочки, то должны выполняться остальные работы в цепочке. Надо составить расписание, минимизирующее время пребываний работ.

ti – время выполнения цепочки

Fi – время пребывания в системе цепочки

hj – расстояние между последней работой в цепочке и jой

Fij = Fi – hij

Нужно минимизировать:

Так как hij не зависит от расписания, то сумма по hij тоже не зависит. Чтобы (*) минимизировать надо минимизировать:

В расписании, минимизирующем среднее время пребывания в том случае, когда цепочки сгруппированы и их разрывать нельзя:

8. Составление расписаний в системах n|1 при заданном отношении предшествования (цепочки, которые можно разрывать).

9. Расписания для систем конвейерного типа. Теорема о порядке выполнения на двух первых машинах. Теорема о порядке выполнения на двух первых и двух последних машинах в системе n|m|F|F max .

Задача Джонсона. Теорема Джонсона. Алгоритм, основанный на теореме Джонсона.

Алгоритм:

1) Выбрать работу с мин длительностью прохождения на устройстве А

2) Выбрать работу с мин длительностью прохождения на устройстве В

3) Если А

4) Вынесенную в итоговое расписание работуиз списка доступных вычеркнуть

5) Повторять 1-4 до тех пор, пока все работы не выйдут из списка доступных(то есть будет готовое расписание)

11. Оптимальные расписания для системы n|m|F|F max .

Но если m>3, то составление расписания сложно. Схемы:

Полный перебор(из-за факториального роста вычислительной сложности не применяется)

Динамическое программирование(путём разбиения сложных задач на более простые подзадачи)

Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ – метод решения задач дискретной оптимизации, основанный на вычислении оценок и ветвлений. Это пошаговая процедура конструирования расписаний:

в любой момент времени есть набор претендентов на оптимальное расписание, из которых постоянно выбираем лучшее, используя оценки.

Иначе говоря, метод ветвей и границ за счет оценок существенно уменьшает полный перебор за счет того, что поиск «лучшего» расписания ведется в группе тех расписаний, которые не хуже остальных. То есть в результате такого перебора найдется расписание, которое не хуже любого другого. В самом плохом случае метод ветвей и границ может привести к полному перебору.

13. Параллельные приборы. Система заданий с древовидной структурой.

Есть система задач, причем:

В этой системе определено отношение предшествования(работа может выполняться только если выполнена предшествующая)

Время выполнения каждой работы одинаково и равно единичке

В определенный момент времени: одни работы готовы(предшественники выполнены) и не готовы(иначе).

Для решения целесообразно использовать уровневую стратегию:

На освободившееся устройство назначается задача, готовая к выполнению и дальше всего находящаяся от корня дерева.

Готовое расписание

Ссылки

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 2-е изд. - М .: Издательский дом «Вильямс» , 2007. - С. 726. - ISBN 5-8459-0857-4.
• Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. - 1-е изд. - М .: МЦНМО , 2004. - С. 523. - ISBN 5-900916-37-5.

Просмотр этого шаблона Алгоритмы поиска на графах Неинформированные методы Информированные методы – Ваше святейшество, Вы прекрасно владеете латынью... В таком случае Вы должны знать, что слово «HАERESIS» по латыни означает ВЫБОР или АЛЬТЕРНАТИВА? Как же Вам удаётся совмещать два столь несовместимых понятия?.. Что-то не видно чтобы Вы оставляли кому-то право свободного выбора! Или хотя бы уж малейшую альтернативу?.. – горько воскликнула я. – Человек ДОЛЖЕН иметь право верить в то, к чему тянется его душа. Вы не можете ЗАСТАВИТЬ человека верить, так как вера идёт от сердца, а не от палача!.. Караффа минуту удивлённо разглядывал меня, как будто перед ним стояло какое-то невиданное животное... Потом, стряхнув с себя оцепенение, тихо сказал: – Вы намного опаснее, чем я думал, мадонна. Вы не только слишком красивы, Вы также слишком умны. Вы не должны существовать за пределами этих стен... Или не должны существовать вообще, – и уже обернувшись к палачу, – Продолжай! Крики Джироламо проникали в самые глубокие уголки моей умирающей души и, взрываясь там ужасающей болью, рвали её на части... Я не знала, сколько Караффа намеревался мучить его, перед тем, как уничтожить. Время ползло нескончаемо медленно, заставляя меня тысячу раз умирать... Но почему-то, несмотря ни на что, я всё ещё оставалась живой. И всё ещё наблюдала... Страшные пытки заменялись пытками пострашней. Этому не было конца... От прижиганий огнём перешли к дроблению костей... А когда закончили и это, начали уродовать плоть. Джироламо медленно умирал. И никто не объяснил ему – за что, никто не счёл нужным хотя бы что-то сказать. Его просто-напросто методично медленно убивали на моих глазах, чтобы заставить меня делать то, что желал от меня новоизбранный глава святой христианской церкви... Я пыталась мысленно говорить с Джироламо, зная, что уже не удастся что-то по-другому ему сказать. Я хотела проститься... Но он не слышал. Он был далеко, спасая свою душу от нечеловеческой боли, и никакие мои старания не помогали... Я посылала ему свою любовь, стараясь окутать ею его истерзанное тело и хоть как-то уменьшить эти нечеловеческие страдания. Но Джироламо лишь смотрел на меня помутневшими от боли глазами, будто цеплялся за единственную тончайшую ниточку, связывающую его с этим жестоким, но таким дорогим ему, и уже ускользавшим от него миром... Караффа бесился. Он никак не мог понять, почему я оставалась спокойной, так как прекрасно знал, что своего мужа я очень и очень любила. «Святейший» Папа горел желанием меня уничтожить... Но не физически. Он хотел всего лишь растоптать мою душу, чтобы полностью подчинить моё сердце и ум своим странным и необъяснимым желаниям. Видя, что мы с Джироламо не спускаем друг с друга глаз, Караффа не выдержал – он заорал на палача, приказывая выжечь моему мужу его чудесные глаза... Мы со Стеллой застыли... Это было слишком ужасно, чтобы наши детские сердца, какими бы закалёнными они не являлись, смогли это принять... Бесчеловечность и ужас происходящего пригвоздили нас на месте, не позволяя дышать. Этого не могло происходить на Земле!!! Просто не могло! Но бесконечная тоска в золотых глазах Изидоры нам кричала – могло!!! Ещё как могло!.. И мы лишь бессильно наблюдали дальше, не решаясь вмешиваться, задавая какие-нибудь глупые вопросы. На какое-то мгновение, моя душа упала на колени, прося пощады... Караффа, сразу же это почувствовав, удивлённо впился в меня горящими глазами, не веря в свою победу. Но тут же понял, что слишком быстро обрадовался... Сделав над собой невероятное усилие и собрав всю свою ненависть, я взглянула прямо ему в глаза... Караффа отшатнулся, получив сильнейший мысленный удар. На секунду в его чёрных глазах промелькнул испуг. Но так же быстро исчез, как и появился... Он был на редкость сильным и волевым человеком, который восхитил бы, если бы не был до такой степени ужасным... Моё сердце сжалось в дурном предчувствии... И тут же, получив одобрительный кивок от Караффы, палач, как мясник, спокойно нанёс прямо в сердце беспомощной жертвы точный удар... Мой любимый муж, мой нежный Джироламо перестал существовать... Его добрая душа улетела туда, где не было боли, где было всегда спокойно и светло... Но я знала, что он будет ждать меня и там, когда бы я не пришла.

Рассмотрим задачу последовательной обработки на двух машинах N различных деталей, если известно время A i и B i обработки i -й детали на соответствующих машинах. Очевидно, что первая машина будет загружена полностью, но вторая может периодически оказываться в состоянии простоя. Попытаемся найти порядок обработки, минимизирующий время простоя второй машины и тем самым сокращающий общее время обработки деталей.
Если обозначить через X i - время простоя в ожидании i -й детали, то:
A 1
X 1 + X 2 = max(A 1 + A 2 - B 1 , A 1)
X 1 + X 2 + X 3 = max(A 1 + A 2 +A 3 - B 1 - B 2 , A 1 + A 2 - B 1 , A 1)
∑X i = max(∑A i - ∑B i)
Если обозначить через F(t, A k , B k /k=1..N) - суммарное время обработки N деталей при условии, что вторая машина включается с задержкой t и используется оптимальный порядок обработки, то c учетом принципа оптимальности (независимо от выбора начальной детали порядок выбора последующих должен быть оптимальным) имеем:
F(t, A k , B k /k = 1..N) = min(A i + F(B i + max(t-A i ,0),A k ,B k =1..N,k≠i))
Если после i -й детали при оптимальном порядке обрабатывается j -я, то:
F(t, A k , B k /k=1..N) = A i + A j + F(t ij , A k , B k /k=1..N; k≠i,j)
где
t ij = B i + max = B i + B j - A i - A j + max
Если max(A i + A j - B i ,A i) < max(A j + A i - B j , A j), то сначала разумнее обрабатывать j -ю деталь.
Можно показать, что указанное условие необходимости перестановки эквивалентно условию:
min(A j , B i) < min(A i , B j)
Соответственно ищем среди всех значений A i и B i наименьшее. Если найденное значение совпадает с некоторым A i , то i -ю деталь ставим на обработку первой; если оно совпадает с некоторым Bi , то последней. Эту процедуру повторяем для всех остальных деталей.

Пример 1. Пусть информация о времени обработки задана таблицей:

Шаг № 2.
Минимальное из значений равно 3 и соответствует B 2: 2-ая деталь обрабатывается последней.

Шаг № 4.
Минимальное из значений равно 5 и соответствует B 4: 4-ая деталь обрабатывается последней.

Шаг № 6.
Минимальное из значений равно 7 и соответствует B 6: 6-ая деталь обрабатывается последней.

В итоге упорядоченная информация принимает вид:

Время простоя второй машины при первичном порядке равно:
max(2 , 2 + 8 - 3 , 2 + 8 + 4 - 3 - 3 , 2 + 8 + 4 + 9 - 3 - 3 - 6 , 2 + 8 + 4 + 9 + 6 - 3 - 3 - 6 - 5 , 2 + 8 + 4 + 9 + 6 + 9 - 3 - 3 - 6 - 5 - 8) = max(2, 7, 8, 11, 12, 13) = 13
Время простоя при оптимальной перестановке равно:
max(2 , 2 + 4 - 3 , 2 + 4 + 6 - 3 - 6 , 2 + 4 + 6 + 9 - 3 - 6 - 8 , 2 + 4 + 6 + 9 + 9 - 3 - 6 - 8 - 7 , 2 + 4 + 6 + 9 + 9 + 8 - 3 - 6 - 8 - 7 - 5) = max(2, 3, 3, 4, 6, 9) = 9

Пример 2. Пусть информация о времени обработки задана таблицей:

Шаг № 2.
Минимальное из значений равно 3 и соответствует B 1: 1-ая деталь обрабатывается последней.

Шаг № 4.
Минимальное из значений равно 4 и соответствует B 6: 6-ая деталь обрабатывается последней.

«Эталонной» задачей теории расписаний является проблема составления расписания работы технологической линии, известная в литературе под названием задачи Джонсона, по имени С.М.Джонсона, получившего основные аналитические результаты для простейших ситуаций (вариантов) – частных постановок этой задачи .

Проблемы теории расписаний с вычислительной точки зрения отличаются большой сложностью. Для того чтобы разобраться в возникающих трудностях и наметить возможные общие подходы, целесообразно первоначально рассмотреть некоторые простейшие задачи, не лишенные вместе с тем прикладного значения.

8.1.1 Постановка детерминированной задачи упорядочения,

построение и исследование математической модели

Начнем с рассмотрения простейших формализованных ситуаций и математических моделей, постепенно учитывая те особенности, которые характерны для решения реальных практических задач теории расписаний.

Сложность проблем теории расписаний продемонстрируем на примере решения задачи о составлении расписания работы технологической линии (задача Джонсона).

Традиционная постановка задачи Джонсона состоит в следующем: требуется выбрать порядок обработки деталей (изделий), сформировать (составить) расписание работы технологической линии, обеспечивающее минимальное суммарное время выполнения всего задания, а именно за минимальное время осуществить обработку группы из т деталей, каждая из которых должна последовательно пройти обработку на каждом из п станков, образующих технологическую линию. Предполагается заданным t ij - время обработки i -ой детали (i = 1,…, m ) на j -ом станке (j =1,…,n ).

Основными ограничениями задачи являются:

1) время перехода (передачи) деталей от одного станка к другому (с одной технологической операции на другую) незначительно, и им можно пренебречь;

2) каждая деталь обрабатывается в строго определенном технологическом порядке;

3) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) не может начинаться до тех пор, пока соответствующий станок (требуемый для обслуживания) еще занят обработкой предыдущей детали, то есть занят выполнением технологической операции над деталью предыдущей в очереди подач (запуска в обработку);

4) каждое обслуживание (обработка каждой детали на каждом станке) должно быть полностью завершено прежде, чем начнется следующее (обработка соответствующей детали – выполнение технологической операции на следующем станке технологической линии), то есть строгое соблюдение последовательного вида движения каждого предмета труда.

Рассматриваемая задача – одна из типичных задач оперативно-календарного планирования для машиностроительных предприятий мелкосерийного и единичного производства.

Если в группе детали различны, то, очевидно, общее время обработки всех деталей данной группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку.

По математической постановке она представляет собой комбинаторную задачу на перестановки и поэтому возможно построение оптимального графика в результате полного перебора всех вариантов. Следовательно, для выявления оптимальной последовательности запуска деталей на обработку, вообще говоря, требуется полный перебор всех возможных вариантов. Однако получение решения путем прямого перебора всех возможных вариантов и с помощью компьютера становится невозможным даже при сравнительно малом числе данных (деталей, операций, станков). Это обусловлено тем, что даже если ограничиться ситуациями, когда порядок запуска на первый станок сохраняется и в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, общее число вариантов будет равно m !.

Неоспоримое и неоценимое значение метода полного перебора заключается в том, что он принципиально всегда «под рукой». Для конечных множеств допустимых решений, в частности, для задачи Джонсона, это означает, следовательно, что существует конечный алгоритм решения задачи, т. е. задача разрешима за конечное время. Проблема, правда, заключается в том, что для метода полного перебора это «конечное» время оказывается неприемлемо большим уже даже в простых ситуациях.

Так, если предположить, что в задаче поиска оптимальной очередности, в случае всего 10 деталей затрачивается всего лишь одна минута, на построение каждого варианта расписания и вычисление соответствующего ему значения функции-критерия (критерия оптимальности). Тогда нетрудно подсчитать, что при использовании метода полного перебора (число вариантов равно 10!, то есть 3 628 800 вариантов) и даже при двадцатичетырехчасовом рабочем дне эту задачу пришлось бы решать... почти семь лет. В случае же 20 деталей (число вариантов равно 20!, то есть 2,433*1018 вариантов) даже с помощью современных, быстродействующих компьютеров такая задача методом полного перебора решалась бы более 77 тысяч лет!

Если же детали различны и порядок запуска на первый станок может не сохраняется в дальнейшем, при поступлении деталей на последующие станки, то, очевидно, общее время обработки всех деталей рассматриваемой группы зависит от порядка, в котором детали запускаются на обработку на каждый станок. Следовательно, общее число возможных вариантов возрастет до огромного числа (m !) n .

Решение подобных комбинаторных задач «в лоб» при большом числе различных деталей (для реальных практических задач) оказывается недоступным даже для самых мощных компьютеров.

Следовательно, чтобы разработать метод точного решения такого рода задач, необходимо предложить что-то лучшее, чем примитивный перебор всех возможных вариантов порядка (очередности) запуска.

С.Джонсоном (S.Joynson) данная задача была решена для двух и трех станков (операций) и произвольного числа деталей, обрабатываемых строго последовательно на этих станках (то есть каждая деталь сначала проходит обработку на первом станке, затем на втором и на третьем). Уже в случае трех станков решение получается сложным, а распространение этого метода (алгоритма Джонсона) на случай четырех и более станков невозможно.

Рассматриваемую задачу, безусловно, можно свести к задаче линейного программирования, но число переменных и число ограничений настолько велико, что решение задачи этим методом невозможно даже с помощью современных компьютеров. Поэтому для решения практических задач оперативно-календарного планирования предлагаются эвристические методы.

Оставив пока в стороне вопрос об общих приемах сокращения объема перебора вариантов порядка (очередности) запуска, рассмотрим частный вариант постановки задачи Джонсона, когда число станковn =2. В этом частном случае удается установить простые приемы нахождения порядка запуска деталей, обеспечивающего наименьшую продолжительность выполнения задания (наименьшую длительность расписания), то есть минимальное суммарное время обработки группы из m деталей (m =6), каждая из которых должна последовательно пройти обработку на каждом из двух станков (сначала на первом, а затем на втором станках), образующих технологическую линию. Время обработки i -ой детали (i =1,…,m ) на j -ом станке (j =1,2) t ij предполагается заданным, и, как правило, для
. В таблице 8.1 представлены исходные данные рассматриваемого примера.

Таблица 8.1 - Исходные данные для задачи Джонсона и ее решение

детали, i	Время обработки i -ой детали на j -ом станке,(мин.)		очереди, k

Изобразим графически процесс обработки деталей на двух станках для следующей произвольно выбранной очередности запуска деталей в обработку: А→Б→В→Г→Д→Е (рисунок 8.1) (нумерация деталей и последовательность их обработки совпадают).

Рисунок 8.1 – График процесса обработки группы деталей на двух станках

На рисунке 8.1
- суммарное время обработки группы изт деталей (т =6), то есть длительность совокупного производственного цикла – время, которое пройдет от момента начала обработки первой детали (i =А) на первом станке (j =1) до момента окончания обработки последней детали (i =Е) на втором станке (j =2) рассчитывается по формуле (8.1.1) и в рассматриваемом примере равно 41 мин.

где - время обработкиi -ой детали на втором станке,i = 1,…, m ;

- суммарное время обработки всех деталей на втором станке;

- суммарное время простоя второго станка (оборудования на второй операции);

- время простоя второго станка между окончанием выполнения работы по обработке (i -1)-ой детали на этом станке и началом обработкиi -ой детали на том же самом станке (для детали первой очереди запуска
);

- время обработки деталиk k = 1,…, m ;

- время обработки деталиk -ой очереди запуска на втором станке,k = 1,…, m -1;

Критерием оптимальности в данной постановке задачи и соответственно в экономико-математической модели является минимизация длительности совокупного производственного цикла

Так как суммарное время обработки всех деталей на втором станке, то есть сумма известна и в формуле (8.1.2) для любой очередности запуска деталей является константой, то для того, чтобы обеспечить наименьшее значение длительности совокупного производственного цикла необходимо минимизировать суммарное время простоя оборудования на второй операции (время простоя второго станка):

В нашем примере время простоя второго станка:

Если для решения рассматриваемой задачи использовать метод полного перебора, то при наличии m деталей и двух станков и при условии, что все детали обрабатываются сначала на первом, а затем на втором станке в одинаковом порядке на каждом из них, как было показано выше, существуетm ! возможных вариантов (последовательностей), то есть для нашего примера имеется 6!=720 вариантов.

Известен весьма простой алгоритм для нахождения оптимальной последовательности (порядка) обработки т деталей на двух станках – алгоритм Джонсона.

Указанный алгоритм включает следующие основные шаги:

1) выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на первой итерации это деталь Б ;

2) выбранная деталь помещается в начало очереди, если наименьшая продолжительность обработки соответствует первому станку, или в конец очереди, если – второму станку; в нашем примере деталь Б помещается в конец очереди (k =6);

3) строка(и) таблицы 8.1, соответствующая(ие) выбранной(ым) детали(ям) исключается(ются) из дальнейшего рассмотрения (вычеркивается(ются));

4) выбирается деталь среди оставшихся со следующей наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере на второй итерации это деталь В , на третьей итерации это детальЕ , на четвертой итерации это деталиА иГ , на последней итерации это детальД ;

5) выбранная деталь помещается ближе к началу или к концу очереди по указанному в шаге 2 правилу; в нашем примере на второй итерации деталь В помещается ближе к концу очереди (k =5), перед детальюБ , на третьей итерации детальЕ помещается в начало очереди (k =1), на четвертой итерации детальА k =4), а детальГ помещается в начало очереди (k =2), на последней итерации детальД помещается ближе к концу очереди (k =3);

6) если определена очередность запуска для всех деталей, то решение получено, иначе переходим к шагу 3.

В итоге реализации данного алгоритма можно получить оптимальное расписание работы двух станков (рисунок 8.2). В нашем примере (см. таблицу 8.1) найдена оптимальная очередность запуска деталей в обработку - Е→Г→Д→А→В→Б . В последней графе таблицы 8.1 показан номер очереди запуска (k ) соответствующей детали в обработку на каждом станке технологической линии.

№ операции

Рисунок 8.2 – График оптимального расписания работы двух станков

После выбора оптимальной очередности запуска деталей в обработку по формуле 5 определяется суммарное время простоя второго станка
, которое является минимальным из всех возможных.

(8.1.5)

Затем рассчитывается длительность совокупного производственного цикла по следующей формуле:

Полученная таким образом величина длительности совокупного производственного цикла, также является минимальной из всех возможных для заданных условий.