1. Построим уравнения степенной нелинейной регрессии вида для пар переменных y, x.
Нахождение модели парной регрессии сводится к оценке уравнения в целом и по параметрам (b0, b1). Для оценки параметров однофакторной модели используют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК получается, что сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от теоретических ух минимальна
Сущность нелинейных уравнений заключается в приведении их к линейному виду и как при линейных уравнениях решается система относительно коэффициентов b0 и b1.
Рисунок 3 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(Производительность труда), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)
Рисунок 4 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(степ.функция), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)
Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:
Полученное значение между 20% и 50%, что свидетельствует о существенности удовлетворительного отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.
Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение критерия находится по формуле:
Для парного уравнения p = 1.
Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости б и двум числам степеней свободы k1 = p = 1 и k2 = n - p - 1 = 51.
Если Fрасч то гипотеза принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).Для уравнения Fрасч = 0,01609). Неравенство выполняется. Уравнение в целом статистически незначимо. Теснота нелинейной корреляционной связи определяется с помощью корреляционных отношений (индекс корреляции). Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии в целом является завершающим этапом эконометрического моделирования на основе совокупности исходных данных. В данном случае экономическая интерпретация - это объяснение смысла, содержания полученных коэффициентов регрессии. На экономическую интерпретацию коэффициентов регрессии оказывают влияние такие факторы, как сфера экономики, для которой строится эконометрическая модель, количество исходных данных (объем совокупности) для анализа изучаемого явления и т.п. Одним из важнейших факторов интерпретации коэффициентов регрессии является вид полученной модели. Линейное уравнение регрессии
имеет вид y = bx + a + ε Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Коэффициент множественной регрессии bj
показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y
, если переменную Xj
увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот. В линейной множественной регрессии коэффициенты при хi характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне. При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления Сt имеет вид Сt = b0 + b1* Rt + b2* Rt-1 +epsilont, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода Rt и от дохода предшествующего периода Rt-1. Соответственно, коэффициент b1 характеризует эффект от единичного возрастания дохода Rt при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b1 обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b1+b2. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению. Уравнение парной степенной модели имеет вид: у = а х^b В уравнении парной степенной регрессии параметр b показывает: на сколько процентов изменится результативный показатель, при изменении фактора на /%, то есть является коэффициентом эластичности. Знак при коэффициенте регрессии указывает направление связи между фактором и результативным показателем: если Ь>0, следовательно, связь прямая и с увеличением значения фактора (х) возрастает и значение результативного показателя (у); если Ь<0, следовательно, связь обратная и с увеличением значения фактора (х) снижается значение результативного показателя.Таким образом, при увеличении расходов на конечное потребление на 1 %, в среднем доля расходов на питание снижается на 0,5. Таким образом, получили, что показатели степени при переменных в мультипликативной степенной модели являются соответствующими коэффициентами эластичности. Это важное свойство степенных моделей. Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики. Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает: Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях. Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем: Количество уволившихся Зарплата 30000 рублей 35000 рублей 40000 рублей 45000 рублей 50000 рублей 55000 рублей 60000 рублей Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов. Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X. Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно: Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка. Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого: В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных. В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид: Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным. Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели. Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется. Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида: y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные). Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже) Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой Отсюда получаем: где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе. МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение: в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1. Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi. Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т. номер месяца название месяца цена товара N 1750 рублей за тонну 1755 рублей за тонну 1767 рублей за тонну 1760 рублей за тонну 1770 рублей за тонну 1790 рублей за тонну 1810 рублей за тонну 1840 рублей за тонну Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии. Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде: Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54. или в алгебраических обозначениях y = 11,714 x + 1727,54 Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно. КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным. Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР. F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании. (критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается. В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%. Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно. Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу. Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как: Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов. Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид: Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok». Получают анализ регрессии для данной задачи. «Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии: СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844. В более привычном математическом виде его можно записать, как: y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844 Данные для АО «MMM» представлены в таблице: Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена. Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки. Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики. Инструкция
. Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word
. Также автоматически создается шаблон решения в Excel
.
Уравнению регрессии первого порядка
- это уравнение парной линейной регрессии . Уравнение регрессии второго порядка
это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .
Уравнение регрессии третьего порядка
соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .
Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания): Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии
. Получим таблицу следующего вида.
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b x + ε
Экспоненциальная
регрессия
имеет вид ŷ
= е
aх
+ b
(или ŷ
=
ba
х
);
(24) степенная
регрессия
имеет вид ŷ
= bх
а
;
(25) Для нахождения коэффициентов а
иb
предварительно проводят процедуру
линеаризации выражений (24) и (25): lnŷ
=lnb+
x
lnа,
(26) lnŷ
=lnb
+а
lnx
,
(27) а
затем уже строят линейную регрессию
между lnŷ
и х
для экспоненциальной регрессии,
и между lnŷ
и lnх
для степенной регрессии.
Наибольшее
распространение степенной функции в
эконометрике связано с тем, что параметр
а
имеет четкое экономическое истолкование,
– он является коэффициентом эластичности.
Это значит, что коэффициент b
показывает, на сколько % в среднем
изменится результат, если фактор
изменится на 1%. Для
вычисления параметров экспоненциальной
регрессии (24) на компьютере
используется
встроенная статистическая функция
ЛГРФПРИБЛ
.
Порядок вычисления аналогичен применению
функции ЛИНЕЙН
. Для
вычисления параметров степенной
регрессии
после преобразования исходных данных
в соответствие с (27), можно воспользоваться
функцией ЛИНЕЙН.
Для
получения графиков однофакторных
регрессий можно применить Мастер
диаграмм
,
строя предварительно непрерывный или
точечный график исходных данных
(диаграмму рассеяния), а затем использовать
режим Добавить
линию тренда
,
причем в этом режиме Excel
предоставляет
возможность выбора шести функций –
линейной, логарифмической, полиномиальной,
степенной, экспоненциальной и скользящей
средней. После выбора функции в режиме
Параметры
задайте флажок Показывать
уравнение на диаграмме
и Поместить
на диаграмму величину достоверности
аппроксимации(
R
^2)
. Методы
математической статистики широко
применяются для анализа экономических
временных рядов
. В общем случае
временной ряд содержит детерминированную
и случайную составляющие: у
t =f(t,х
t)+ t ,
t=1,…,Т, гдеу
t
– значения
временного ряда; f(t,х
t)
– детерминированная составляющая; х
t
– значения факторов, влияющих на
детерминированную составляющую в момент
t; t
– случайная составляющая; Т – длина
ряда. Получив оценки
детерминированной и случайной
составляющих, решают задачи прогноза
будущих значений, как самого временного
ряда, так и его составляющих. Если
детерминированная составляющая зависит
только от времени и линейна относительно
своих параметров, то задача сводится к
задаче множественной линейной регрессии,
рассмотренной выше. Действительно, в
этом случае у
t = 0 + 1
1 (t) + 2
2 (t) +…+ m
m (t)+ t ,
t=1,…,Т. (28) В частном случае, у
t = 0 + 1 t 1
+ 2 t 2
+…+ m t m
+ t ,
t=1,…,Т. (29) Детерминированная
составляющая в свою очередь представляется
тремя составляющими. Долговременная
эволюторно изменяющаяся составляющая
является результатом действия факторов,
приводящих к постепенному изменению
экономического показателя. Так, в
результате научно-технического прогресса,
совершенствования системы управления
производством показатели эффективности
производства растут, а удельные расходы
на единицу полезного эффекта снижаются. Долговременная
циклическая составляющая
проявляется
на протяжении длительного времени в
результате действия факторов, обладающих
большим последействием или циклически
изменяющихся во времени. Например,
кризисы перепроизводства или периодичность
солнечной активности, влияющая на
урожайность. Сезонная
циклическая составляющая
легко просматривается в колебаниях
продуктивности сельскохозяйственных
животных, а также в колебаниях розничного
товарооборота в зависимости от времени
года. Многие
исследователи первую составляющую
называют трендом
,
другие трендом называют все три
составляющие. Эволюторно
изменяющуюся долговременную составляющую
во многих практических случаях
представляют в виде некоторой аналитической
функции (см. ниже), тогда как долговременная
и сезонная циклические составляющие
представляются тригонометрическими
трендами
. Для построения
эволюторных трендов (моделирования
тенденции) чаще всего применяются те
же функции, которые мы рассматривали
выше: линейный
тренд: ŷ
t =b
+
at
; гипербола:
ŷ
t =
b+a
/t
; экспоненциальный
тренд: ŷ
t =
е
b+
a
t
(или ŷ
t =ba
t
); тренд
в форме степенной функции ŷ
t =
b
t
a
; полином
порядка m:
ŷ
t =
b +
a
1 t
+ a
2 t
2
+…+ a
m
t
m . Параметры
каждого из перечисленных выше трендов
можно определить обычным МНК, используя
в качестве независимой переменной время
t. Для нелинейных трендов предварительно
проводят процедуру их линеаризации. Пример
6
. Имеются
помесячные данные о темпах роста
заработной платы в РФ за 10 месяцев 2004
г. в процентах к уровню декабря 2003г.
(табл. 10). Требуется выбрать наилучший
тип тренда и определить его параметры. Таблица
10 Определим параметры
основных видов тренда. Результаты этих
расчетов представлены в табл. 11. Таблица
11 Наилучшей
является степенная форма тренда, которая
в исходном виде (после потенцирования)
примет следующий вид ŷ
t =
е
4.39
t
0,193 или
ŷ
t =
80,32t
0,193 . Наиболее простую экономическую
интерпретацию имеют параметры линейного
и экспоненциального трендов. Параметры линейного тренда можно
интерпретировать так: b
– начальный
уровень временного ряда при t
=0; a
– средний за период абсолютный прирост
ряда. Применительно
к примеру 6 можно сказать, что темпы
роста месячной заработной платы за 10
месяцев 2004г. изменялись от 82,66% со средним
за месяц абсолютным приростом 4,72%. Параметры экспоненциального тренда
имеют следующую интерпретацию: b
– начальный уровень временного ряда
при t
=0; е
a
–
средний за период коэффициент роста
ряда. В примере 6 уравнение
экспоненциального тренда в исходной
форме имеет вид ŷ
t =
е
4.43
е
0,045 t
или
ŷ
t =
83,96е
0,045 t
. Следовательно,
можно сказать, что темпы роста месячной
заработной платы за 10 месяцев 2004г.
изменялись от 83,96% со средним за месяц
темпом роста, равным е
0,045 =
1,046. Моделирование
сезонных и циклических колебаний.
Общий вид модели (аддитивной) следующий: где
Т – трендовая, S
– сезонная и Е – случайная компонента. S может моделироваться
с помощью тригонометрических функций,
однако можно обойтись и более простым
способом, суть которого разберем на
простом примере. Пример
7.
Пусть
известны объемы потребления электроэнергии
жителями района за четыре года (табл.12). Таблица 12 № квартала Потребление
электроэнергии Итого за 4 квартала Скользящая
средняя за 4 квартала Центрированная
скользящая средняя Оценка сезонной
компоненты Данный временной ряд содержит сезонные
колебания периодичностью 4 (объемы
потребления электроэнергии в осенне-зимний
период выше, чем весной и летом). Шаг
1.
Проведем
выравнивание исходных данных методом
скользящей средней. Для этого: а)
просуммируем у
t
последовательно за каждые 4 квартала
со сдвигом на один (гр.3 табл. 12); б) разделив эти
суммы на 4, найдем скользящие средние
(гр.4 табл. 12); в) приведем эти
значения к соответствующим кварталам,
для чего найдем средние значения из
двух последовательных скользящих
средних – центрированные скользящие
средние (гр. 5 табл.12). Шаг
2.
Найдем
оценки сезонной компоненты (гр.6 табл.
12). Найдем средние за каждый квартал
оценки сезонной компоненты Š 1 =(0,575+0,55+0,675)/3=0,6; Š 2 =(–2,075
– 2,025 – 1,775)/3= –1,958; Š 3 =(–1,25
– 1,1 – 1,475)/3= –1,275; Š 4 =(2,55+2,7+2,875)/3=2,708. Сумма
значений сезонной компоненты по всем
кварталам должна быть равна нулю, а у
нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075,
поэтому определяем корректирующий
коэффициент k=0,075/4=0,01875.
Окончательно определяем сезонную
компоненту S i
= Š i
– k. Таким образом,
получаем S 1
=0,581; S 2
= –1,979; S 3
= –1,294; S 4
=2,69. Занесем полученные
значения в табл.13 для соответствующих
кварталов (гр.3). Таблица
13 T+E=
y
t
– S t Шаг
3
. Вычисляем
T+E=
y
t
– S t
(гр.4 табл.13). Шаг
4.
По данным
графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 +
0,186t
.
Подставляя в это уравнение t
=1,2,…16,
находим Т (гр. 5 табл.13). Шаг
5
. Находим
теоретические значения T+S
(гр. 6 табл. 13). Шаг
6.
Вычисляются
ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8
табл.13).Виды регрессии
Пример 1
Использование возможностей табличного процессора «Эксель»
в Excel
Анализ результатов регрессии для R-квадрата
Анализ коэффициентов
Множественная регрессия
Оценка параметров
Задача с использованием уравнения линейной регрессии
Анализ результатов
Задача о целесообразности покупки пакета акций
Решение средствами табличного процессора Excel
Изучение результатов и выводы
Ограничить однородную совокупность единиц, устранив аномальные объекты наблюдения можно через метод Ирвина или по правилу трех сигм (устранить те единицы, для которых значение объясняющего фактора отклоняется от среднего более, чем на утроенное среднеквадратичное отклонение).
Виды нелинейной регрессии
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.
Пример
. По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
y = f(x)
Преобразование
Метод линеаризации
y = b x a
Y = ln(y); X = ln(x)
Логарифмирование
y = b e ax
Y = ln(y); X = x
Комбинированный
y = 1/(ax+b)
Y = 1/y; X = x
Замена переменных
y = x/(ax+b)
Y = x/y; X = x
Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b
Y = y; X = ln(x)
Комбинированный
y = a + bx + cx 2
x 1 = x; x 2 = x 2
Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3
x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3
Замена переменных
y = a + b/x
x 1 = 1/x
Замена переменных
y = a + sqrt(x)b
x 1 = sqrt(x)
Замена переменных
Год
Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. - трлн. руб.), y
Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. - тыс. руб.), х
1995
872
515,9
2000
3813
2281,1
2001
5014
3062
2002
6400
3947,2
2003
7708
5170,4
2004
9848
6410,3
2005
12455
8111,9
2006
15284
10196
2007
18928
12602,7
2008
23695
14940,6
2009
25151
16856,9
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) - 49694.9535
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
y = e 7.8132 *e 0.000162x = 2473.06858*1.00016 xx
y
1/x
ln(x)
ln(y)
515.9
872
0.00194
6.25
6.77
2281.1
3813
0.000438
7.73
8.25
3062
5014
0.000327
8.03
8.52
3947.2
6400
0.000253
8.28
8.76
5170.4
7708
0.000193
8.55
8.95
6410.3
9848
0.000156
8.77
9.2
8111.9
12455
0.000123
9
9.43
10196
15284
9.8E-5
9.23
9.63
12602.7
18928
7.9E-5
9.44
9.85
14940.6
23695
6.7E-5
9.61
10.07
16856.9
25151
5.9E-5
9.73
10.13
4. Временные ряды.
4.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей.