Временной ряд является нестационарным , если он содержит такие систематические составляющие как тренд и цикличность.
Нестационарные временные ряды характеризуются тем, что значения каждого последующего уровня временного ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.
Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.
Лагом l называется величина сдвига между рядами наблюдений.
Лаг временного ряда определяет порядок коэффициента автокорреляции. Например, если уровни временного ряда x t и x t–1 корреляционно зависимы, то величина временного лага равна единице. Следовательно, данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x 1 …x n–1 и x 2 …x n . . Если лаг между рядами наблюдений равен двум, то данная корреляционная зависимость определяется коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д.
При увеличении величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому максимальный порядок коэффициента автокорреляции рекомендуется брать равным n/4 , где n – количество уровней временного ряда.
Автокорреляция между уровнями временного ряда оценивается с помощью выборочного коэффициента автокорреляции, который рассчитывается по формуле:
где x t *x t-l – среднее арифметическое произведения двух рядов наблюдений, взятых с лагом l :
x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n :
x t-l – значение среднего уровня ряда x 1 ,x 2 ,…,x n–l :
G(x t), G(x t–l) – средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов наблюдений x 1+l ,x 2+l ,…,x n и x 1 ,x 2 ,…,x n–l соответственно.
Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. В результате данных вычислений можно выявить лаг l , для которого значение выборочного коэффициента автокорреляции r l является наибольшим.
Анализ структуры временного ряда с помощью коэффициентов автокорреляции стоится на следующих правилах:
1) исследуемый временной ряд содержит только трендовую компоненту, если наибольшим является значение коэффициента автокорреляции первого порядка r l–1 ;
2) исследуемый временной ряд содержит трендовую компоненту и колебания периодом l, если наибольшим является коэффициент автокорреляции порядка l. Эти колебания могут быть как циклическими, так и сезонными;
3) если ни один из коэффициентов автокорреляции r l (l =1,L ) не окажется значимым, то делается один из двух возможных выводов:
а) данный временной ряд не содержит трендовой и циклической компонент, а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. ряд представляет собой модель случайного тренда;
б) данный временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести его дополнительный анализ.
Графическим способом анализа структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций.
Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами.
Графиком автокорреляционной функции является коррелограмма.
Частная автокорреляционная функция отличается от автокорреляционной функции тем, что при её построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.
Проверка показателя и факторов на автокорреляцию установила, что все включенные в анализ переменные имели высокий (надежный) коэффициент автокорреляции (+ г > г табл = 0,299, - г > г табл = 0,399 при а = 5 % и /V= 20) . Однако известно, что фактор времени, введенный в модель, снимает автокорреляцию (основанием к такому утверждению являются теоремы Фриша и Роу ), поэтому для получения динамических моделей нами использовались и простейшие формы связи типа (23), (24).
Распространены следующие способы вычисления коэффициента автокорреляции.
Если полученное по одной из этих формул значение коэффициента автокорреляции окажется меньше табличного, то это свидетельствует об отсутствии во временном ряде существенной автокорреляции.
Рекомендуется исчислять ряд коэффициентов автокорреляции в зависимости от временного лага (напомним, что коэффициент автокорреляции исчисляется между двумя векторами данных, один из которых - исходный динамический ряд, а другой - такой же, но сдвинутый на 1,2, 3 и т.д. моментов наблюдения). Формула коэффициента автокорреляции
Рассмотрим коэффициенты автокорреляции валютного курса рубля к доллару США
Приведем рассчитанные нами значения коэффициента автокорреляции для упомянутых факторов (лаг = 1-3 мес.) ВВП 0,86 -0,52
Автокорреляция - это корреляция между уровнями ряда или отклонениями от тренда, взятыми со сдвигом во времени на 1 период (год), на 2, на 3 и т. д., поэтому говорят о коэффициентах автокорреляции разных порядков первого, второго и т. д. Рассмотрим сначала коэффициент автокорреляции отклонений от тренда первого порядка.
Автокорреляцию измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который может рассчитываться не только между соседними уровнями, т.е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (I). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции. Различают коэффициенты автокорреляции первого порядка (при L- 1), второго порядка (при L = 2) и т.д. Однако наибольший интерес для исследования представляет вычисление нециклического коэффициента первого порядка, так как наиболее
Тогда формулу коэффициента автокорреляции можно записать следующим образом
Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда фактическое значение больше табличного, можно сделать вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.
Следовательно, прежде чем коррелировать ряды динамики (по уровням), необходимо проверить каждый ряд на наличие или отсутствие в них автокорреляции (при помощи коэффициента автокорреляции, описанного в предыдущем параграфе). В случае наличия автокорреляции между уровнями ряда она должна быть устранена. Рассмотрим способы ее исключения в рядах динамики.
Так как коэффициент р(т) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость р(т) - автокорреляционной функцией . В силу стационарности временного ряда у, (t= 1,2,..., ri) автокорреляционная функция р(т) зависит только от лага т, причем
Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда у, найти среднее значение , среднее квадратическое отклонение , коэффициенты автокорреляции (для лагов т=1 2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.
Найдем коэффициент автокорреляции г(т) временного ряда (для лага т = 1), т. е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений yt и у/ч-i (t= 1,2,...,7)
Л =213 171+171 291+... +351 361=642 583.
Коэффициент автокорреляции г(2) для лага т = 2 между членами ряда yt и yt+2 (1,2 -. 6) по шести парам наблюдений вычисляем аналогично г(2)=0,842.
Эту величину называют еще коэффициентом автокорреляции первого порядка. Так как согласно допущениям МНК математическое ожидание ошибки равно нулю, то формулу можно упростить
Мы можем считать, что автокорреляция отсутствует, если выборочный коэффициент автокорреляции незначимо отличается от нуля, то есть в данном случае мы должны проверить гипотезу
На практике проверяется не независимость, а некоррелированность ошибок, которая является необходимым, но недостаточным условием независимости. Для этого нужно рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка
Для рассматриваемого здесь случая эта величина равна Pk k+i = 0.987. Очевидно, что коэффициент автокорреляции
Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле
Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При п = 18 месяцев и т = 2 (число факторов) нижнее значение d равно 1,05, а верхнее - 1,53. Так как фактическое значение d близко к 4, можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину
По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда хг были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней П = 0,63 г2 = 0,38 гг = 0,72 г4 = 0,97 г5 = О,55 г6 = 0,40 г7 = 0,65 г - коэффициенты автокорреляции t-го порядка.
Так как значения всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокие, ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции 4-го порядка г4, ряд содержит периодические колебания, цикл этих колебаний равен 4.
Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.
Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации , линейный коэффициент автокорреляции отклонений.
Для определения типа колебаний применяются графическое изображение, метод поворотных точек М. Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда. Эти методы будут рассмотрены далее.
Теперь обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все произведения в числителе будут отрицательными величинами, и коэффициент автокорреляции первого порядка будет близок к -1. При долгопериодических циклах будут преобладать положительные произведения соседних отклонений, а смена знака происходит лишь дважды за цикл. Чем длиннее цикл, тем больше перевес положительных произведений в числителе, и коэффициент автокорреляции первого порядка ближе к +1. При случайно распределенной во времени колеблемости знаки отклонений чередуются хаотически, число положительных произведений близко к числу отрицательных , ввиду чего коэффициент автокорреляции близок к нулю. Полученное значение говорит о наличии как случайно распределенных во времени колебаний, так и циклических. Коэффициенты автокорреляции следующих порядков II = - 0,577 III = -0,611 IV = -0,095 V = +0,376 VI = +0,404 VII = +0,044. Следовательно, противофаза цикла ближе всего к 3 годам (наибольший отрицательный коэффициент при сдвиге на 3 года), а совпадающие фазы ближе к 6 годам, что и дает длину цикла колебаний. Эти максимальные по абсолютной величине коэффициенты не близки к единице. Это означает, что циклическая колеблемость смешана со значительной случайной колеблемостью. Таким образом, подробный автокорреляционный анализ в целом дал те же результаты, что и выводы по автокорреляции первого порядка.
Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициентов автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда , а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррело-граммой.
Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением
При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии , при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Автокорреляция – явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.
Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
где
Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени называютвременным лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Коэффициент корреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Пример 3.
Пусть имеются некоторые условные данные (таблица 11) об общем количестве поступившей товарной продукции на склад предприятия.
Таблица 11 – Общее количество поступившей товарной продукции на склад.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Где 
Эту величину
называют коэффициентом автокорреляции
уровней ряда первого порядка, так как
он измеряет зависимость между соседними
уровнями ряда
и
.
Аналогично можно
определить коэффициенты автокорреляции
второго и более высоких порядков. Так,
коэффициент автокорреляции второго
порядка характеризует тесноту связи
между уровнями
и
и определяется по формуле:
(4.2)
где 
(7.1.)
где
,
а
.
Число периодов
,
по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, называют лагом
.
С увеличением лага число пар значений,
по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается. Считается
целесообразным для обеспечения
статистической достоверности коэффициентов
автокорреляции использовать правило
– максимальный лаг должен быть не больше
.
Свойства коэффициента автокорреляции.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее
высоким оказался коэффициент автокорреляции
первого порядка, исследуемый ряд содержит
только тенденцию
.
Если наиболее
высоким
оказался коэффициент автокорреляции
порядка
,
то ряд содержит циклические
колебания
с периодичностью в
моментов времени. Если ни один из
коэффициентов автокорреляции не является
значимым, можно сделать одно из двух
предположений относительно структуры
этого ряда: либо ряд не содержит тенденции
и циклических колебаний, либо ряд
содержит сильную нелинейную тенденцию,
для выявления которой нужно провести
дополнительный анализ. Поэтому коэффициент
автокорреляции уровней и автокорреляционную
функцию целесообразно использовать
для выявления во временном ряде наличия
или отсутствия трендовой компоненты и
циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).
Таблица 4.1
|
|
Количество
возбужденных дел,
|
||
Построим поле корреляции:
Рис. 4.4.
Уже исходя из
графика видно, что значения
образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем
несколько последовательных коэффициентов
автокорреляции. Для этого составляем
первую вспомогательную таблицу.
Таблица 4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Таблица 4.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
Следовательно
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4.4
|
Коэффициент автокорреляции уровней |
|
Коррелограмма:
Рис. 4.5.
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом .
y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n –1), а не по n парам наблюдений.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка , коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 , т.е.
, (9.15)
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n –2) парам наблюдений.
Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n /4.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:
Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r 1 , r 2 , r 3 , … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.
Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции
Для временного ряда, содержащего тренд , коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.
Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в Росиис 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.
Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Пример 9.1. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.
Таблица 9.7
Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):
Таблица 9.8
| t | y t | y t -1 | y t -2 | y t -3 | y t -4 | y t -5 | y t -6 |
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | |
| 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | |
| 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | |
| 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | |
| 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | |
| 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | |
| 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | |
| 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | |
| 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | |
| 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | |
| 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | |
| 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | |
| 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | |
| 10,8 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 |
Определим коэффициент корреляции между рядами y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):
Таблица 9.9
| t | y t | y t -1 |  | ||||
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | -2,987 | -1,067 | 3,186 | 8,920 | 1,138 | |
| 5,0 | 4,4 | -2,387 | -2,667 | 6,364 | 5,696 | 7,111 | |
| 9,0 | 5,0 | 1,613 | -2,067 | -3,334 | 2,603 | 4,271 | |
| 7,2 | 9,0 | -0,187 | 1,933 | -0,361 | 0,035 | 3,738 | |
| 4,8 | 7,2 | -2,587 | 0,133 | -0,345 | 6,691 | 0,018 | |
| 6,0 | 4,8 | -1,387 | -2,267 | 3,143 | 1,923 | 5,138 | |
| 10,0 | 6,0 | 2,613 | -1,067 | -2,788 | 6,830 | 1,138 | |
| 8,0 | 10,0 | 0,613 | 2,933 | 1,799 | 0,376 | 8,604 | |
| 5,6 | 8,0 | -1,787 | 0,933 | -1,668 | 3,192 | 0,871 | |
| 6,4 | 5,6 | -0,987 | -1,467 | 1,447 | 0,974 | 2,151 | |
| 11,0 | 6,4 | 3,613 | -0,667 | -2,409 | 13,056 | 0,444 | |
| 9,0 | 11,0 | 1,613 | 3,933 | 6,346 | 2,603 | 15,471 | |
| 6,6 | 9,0 | -0,787 | 1,933 | -1,521 | 0,619 | 3,738 | |
| 7,0 | 6,6 | -0,387 | -0,467 | 0,180 | 0,150 | 0,218 | |
| 10,8 | 7,0 | 3,413 | -0,067 | -0,228 | 11,651 | 0,004 | |
| Среднее | 110,8 | 9,813 | 65,317 | 54,053 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.14), находим
.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 . Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):
Таблица 9.10
| t | y t | y t -2 |  | ||||
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | – | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 6,0 | -2,600 | -1,071 | 2,786 | 6,760 | 1,148 | |
| 9,0 | 4,4 | 1,400 | -2,671 | -3,740 | 1,960 | 7,137 | |
| 7,2 | 5,0 | -0,400 | -2,071 | 0,829 | 0,160 | 4,291 | |
| 4,8 | 9,0 | -2,800 | 1,929 | -5,400 | 7,840 | 3,719 | |
| 6,0 | 7,2 | -1,600 | 0,129 | -0,206 | 2,560 | 0,017 | |
| 10,0 | 4,8 | 2,400 | -2,271 | -5,451 | 5,760 | 5,159 | |
| 8,0 | 6,0 | 0,400 | -1,071 | -0,429 | 0,160 | 1,148 | |
| 5,6 | 10,0 | -2,000 | 2,929 | -5,857 | 4,000 | 8,577 | |
| 6,4 | 8,0 | -1,200 | 0,929 | -1,114 | 1,440 | 0,862 | |
| 11,0 | 5,6 | 3,400 | -1,471 | -5,003 | 11,560 | 2,165 | |
| 9,0 | 6,4 | 1,400 | -0,671 | -0,940 | 1,960 | 0,451 | |
| 6,6 | 11,0 | -1,000 | 3,929 | -3,929 | 1,000 | 15,434 | |
| 7,0 | 9,0 | -0,600 | 1,929 | -1,157 | 0,360 | 3,719 | |
| 10,8 | 6,6 | 3,200 | -0,471 | -1,509 | 10,240 | 0,222 | |
| Среднее | 106,4 | -31,120 | 55,760 | 54,049 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.15), находим
.
Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.
Таблица 9.11
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).
