Ну, не длин хорд, количество хорд, немного не правильно выразился

Блин, не люблю я подробно описывать, ну ладно, распишу все по точнее. Покажем какое решение верно, и как мы получаем неверные

Прежде всего вспомним, что хорда это прямая соединяющая две точки на окружности (вроде так=)))
Вариант 2. Возьмем точку с вершины треугольника. Рассмотрим множество искомых точек. Выше показано, что длина такой дуги = 1/3, т.е. это 1/3 от общего количества точек. Вообщем вероятность = 1/3, здесь все понятно.
Вообще далекие от математики люди могут возразить, что типа не верно, потому что мы фиксируем точку и не рассматриваем другие. Объясню для них просто. Зафиксируйте одну точку, постройте удовл хорды, а затем умножите количество таких хорд, на количество точек на длине окружности 2пиR. Теперь постройте неуд хорды, так же умножите их количество. Берем отношение данных множеств, умножение на 2пиR сокращается, и получаем что и было

Вариант 3. "Точка на радиусе". Введем сразу обозначения. Треугольник А А1 А2 (А верх), О - центр окружности. ОВ - радиус перпендикулярный основанию А1А2. О1 -середина данного радиуса.
Тогда мы имеем что хорды ниже О1 неуд искомым, выше О1 - удовлетворяют. Проведем диаметр параллельный А1А2, пусть он С1С. В итоге имеем, что удов. хорды лежат одним концом (второй тоже самое, рассматривать не будем) на секторе С1А1 (30 град), а неуд - А1В (60 град). Сравнивая длины данных сектор мы получаем, что искомые есть 1/3.
В данном же решение мы рассматриваем, по построению, пересечение хорд с радиусами. Фактически мы отображаем не равные множества С1А1 и А1В на прямую и получаем равные множества ОО1 и О1В. Отсюда и получаем ошибку и ответ 1/2

Вариант 1. Сохраним обозначение и добавим вписанный круг. Очевидно что введенное ранее ОО1 есть его радиус r.
Здесь ошибка заключается в неправильно построении множества хорд. Как и в варианте 2 зафиксируем начало хорды в вершине. Далее будем вращать, засекая середины получившихся хорд. Рассмотрим половину окружности (в другой так же). Мы получим траекторию имеющую начало в А и конец в О. Нетрудно догадаться, что это будет полуокружность с радиусом r. Рассмотрим ее пересечение с вписанным кругом - точка D (после нее будем иметь удовл хорды), и пересечение круга с ОА - D1.
Имеем: ОD1 = r, DD1 = r , ОD = r, т.е. угол DOD1 = 60 град. Сектор полуокружности ОD1 тоже = 60 град. Середины удовл хорд лежат на данном секторе. Вся полуокружность = 180 град => искомое множество 1/3.
Как мы получаем здесь ошибку с 1/4. Принцип тот же самый что и в варианте. По сути мы строим хорды так же на радиусе (здесь важно четко понимать, что мы делать и не спутаться с вар. 1). Фактически происходит тоже самое выпрямление множеств, их проецирование на радиус. Спроецируем сектор ОD на радиус OD1 - ОК, он делит его пополам. Т.е. мы имеем ОК есть 1/4 от ОА

Да, длинновато получилось, а я предупреждал))

Вроде не сложная же задачка. Очевидно же все. Прочитал на вики, кто там задрачивался че то в 1973 году, какие-то интегральные уравнения, инварианты разные, доказал, что верен способ 1. Круг там бросал какой-то еще. Может логика у него и есть, но она лишь доказывает, что построение по способу 1, по идее, дает равновероятные хорды и мы получаем равномерное закрашивание)))
Все же проще значительно=)))) Лучше бы трахал блондинок, а не мозги свои))))

Рассмотрим простейшую модель некооперативного взаимодействия крупных фирм.

Предположим, что на рынке действуют две фирмы, производящие однородный продукт. При этом вход на рынок других фирм эффективно закрыт, поэтому основные коллизии разворачиваются только во взаимодействии этих двух фирм. Целью каждой фирмы является максимизация прибыли. Отсутствуют соглашения фирм друг с другом. Исследуем, каким образом фирмы устанавливают цену, а рынок определяет объем, который может быть продан по этой цене. Данная ситуация представлена в модели Бертрана. Мы исходим из того, что фирмы назначают цены одновременно, так что каждая не может прогнозировать реакцию конкурента на сделанный ею самой выбор. Предположим, что средние издержки фирм постоянны (мы находимся в долгосрочном периоде) и равны между собой.

Пусть фирма 1 назначает цену первой. Ее цена может быть любой. Но как только фирма 1 назначила цену, ее цена оказывается фиксированной при принятии решения фирмой 2. Каким образом фирма 2 назначает цену? Если фирма 2 назначит цену выше цены фирмы 1, она не продаст ничего (согласно предпосылкам, они продают однородный товар, спрос переключится на товар той фирмы, которая назначает более низкую цену). Поэтому фирма 2 может назначить цену на уровне цены фирмы 1 или чуть-чуть ниже. Во втором случае фирма 2 захватывает весь рынок.

Однако подобные рассуждения и подобную стратегию может проводить фирма 1 по отношению к фирме 2. В результате на рынке возникает ценовая конкуренция, и, как следствие, цена падает до минимально возможного уровня. Если фирмы идентичны, и их предельные издержки равны, равновесная цена установится на уровне предельных издержек. Любая цена выше предельных издержек не сможет стабилизировать рынок. Если же предельные издержки фирм не равны, фирма с более низкими предельными издержками получит конкурентное преимущество путем назначения цены ниже того уровня, при котором другая фирма еще сможет осуществлять свою деятельность на рынке, в результате фирма с более высокими издержками вынуждена будет уйти из отрасли.

Таким образом, олигопольное взаимодействие в его простейшей форме при равенстве предельных издержек конкурирующих фирм оказывается нестабильным и приводит к ценовой войне, истощающей силы обеих сторон, а следовательно, и к конкурентному результату - нулевой прибыли в долгосрочном периоде, что ликвидирует стимулы крупных фирм к производству и сбыту данного вида товара. Этот результат взаимодействия олигополистов известен как парадокс Бертрана (по имени французского ученого, первым обратившего на него внимание). В рамках теории игр парадокс Бертрана известен как «дилемма заключенного»: если виновные в совершении преступления стоят перед выбором стратегии «сознаваться» или «не сознаваться», причем делают выбор одновременно и независимо друг от друга, для каждого из них доминирующей стратегией - такой, которая приносит наибольший выигрыш при любой стратегии другого игрока, - служит стратегия «сознаваться». Рациональный выбор заключенных будет состоять в том, чтобы сознаться, несмотря на возможность улучшения положения обоих в случае выбора ими стратегии «не сознаваться».

Если бы парадокс Бертрана имел место в действительности, то, не получая прибылей и истощив свои ресурсы в длительных ценовых войнах, крупные фирмы перестали бы заниматься производством, и рынок олигополии прекратил бы свое существование. Однако в реальности это не так. Мы знаем, что крупные фирмы не только не прекращают производство, но представляют собой едва ли не господствующую структуру современной развитой рыночной экономики, получая существенные положительные прибыли в долгосрочном периоде. Каким же образом парадокс Бертрана разрешается на практике?

ПАРАДОКС БЕРТРАНА

Жозеф Бертран, французский математик и экономист конца XIX в., подверг критике модель Курно и предложил свой вариант, в котором в качестве стратегических переменных рассматривал цены. Он считал, что изменение стратегических переменных в модели Курно (от объема производства к ценам) ведет к совершен­но другим результатам. В модели Бертрана фирмы конкурируют путем установления цен и их поведение на рынке носит симмет­ричный характер.

Представим анализ дуополии, предложенный Бертраном. Когда фирма выбирает свою цену, она должна предвидеть (предопределить) цену, которую зафиксирует вторая фирма на рынке. Пусть две фирмы предлагают на рынке соответственно цены Р { и Р т

Ниже перечислены предпосылки модели.

1. Спрос зависит от уровня цены, которую решит установить вторая фирма. Если фирма определит свою цену выше цены кон­курента, спрос на ее продукт будет нулевым; если она зафиксирует цену ниже цены конкурента, то весь рыночный спрос перейдет к ней. Если обе фирмы установят одинаковые цены на продукт, то они поделят рыночный спрос пополам.

Пусть 1-я фирма устанавливает свою цену продажи на уровне Р г функция общего спроса на рынке - 0(Р). Тогда спрос у фирмы] будет таким:

ЩР) - 0{Р), если Р. < Р. (/-я фирма захватывает весь рынок);

1/2ЩР), если Р { =Р ] =Р (/-я иУ-я фирмы делят спрос поровну);

Л (Р.) = 0, если PJ > Р ((спросу-й фирмы равен нулю).

В итоге функция спроса является прерывистой (как и функция прибыли).

2. Предполагается, что все фирмы обладают достаточным объ­емом мощностей для удовлетворения всего рыночного спроса.

3. Стратегическими переменными каждой фирмы на рынке являются цены,

4. Фирмы выпускают однородный товар (имеющий близкие субституты).

5. Каждая фирма стремится максимизировать прибыль, кото­рую она может реализовать в условиях, создаваемых дуополис­том.

Важной предпосылкой модели Бертрана является то, что если две фирмы продают однородный продукт, то потребители будут покупать у той фирмы, которая устанавливает более низкую цену. Как следствие, фирмы устанавливают цены и позволяют рынку определить объемы продукции.

Допустим, что фирмы имеют одинаковую структуру издержек и обе продают товар по цене выше предельных издержек. В таком случае они имеют положительные прибыли. Если фирма 1 немно­го уменьшит свою цену, а фирма 2 оставит свою цену неизменной, все покупатели будут предпочитать покупать товар по цене фир­мы 1: она может так переманить к себе всех клиентов фирмы 2. Таким образом, фирма 1 всегда имеет склонность к практике Небольшого понижения цены по сравнению с ценой конкурента. Но такое поведение может иметь аналогичные последствия в смыс­ле небольшого снижения цены фирмой 2 относительно цены фир­мы 1. Отсюда следует, что установление цены выше предельны! издержек не является стабильным и равновесным значением для данного рынка, а единственно возможное равновесие - это кон-; курентное равновесие, когда цена равна предельным издержкам" при нулевом значении прибылей.

Сформулируем теорему Бертрана (1883), которая заключается в следующем: при предпосылках, обозначенных выше, существует только единственное равновесие на таком рынке: Р* = Р* ~ МС, т.е. результатом является достижение конкурентного равновесия. Прибыль каждой фирмы можно в данном случае представить сле­дующим образом:

П; = РЩ(Р) ~ Щ(ЩР,)) при /=1,2.

Если Р { > Р 2 > МС, фирма 1 не будет продавать товар и, соот­ветственно, ее прибыль будет нулевой. Устанавливая Р { - Р г - е, фирма 1 может захватить весь рынок и получить положительную прибыль. То же самое относится и к фирме 2, если она ответит на это снижением своей цены еще немного. Как следствие, подобная ситуация не может быть равновесием, так как обе фирмы будут продолжать практиковать снижение цены до тех пор, пока цена не станет равной МС.

Если Р 1 = Р 2 > МС, то две фирмы поделят рынок, однако такая рыночная ситуация нестабильна, поскольку, если одна фирма сни­зит цену, весь рыночный спрос перейдет к ней и ее прибыли еще больше увеличатся. Это, следовательно, также не является равно­весной ситуацией.

При условии Р х > Р 2 - МС фирма 2 не будет извлекать прибыль (так как цена равна предельным издержкам), а фирма 1 не получит никакой прибыли (так как ее цена слишком высока и покупатели уйдут от нее). Однако фирма 2 заинтересована в получении при­были и, соответственно, в увеличении своей цены и удержании ее на уровне чуть ниже Р { с целью захвата всего рынка. Такая ситуа­ция тоже не является равновесной.

Условие Р\ = Р 2 ~ МС ~ ЭТ0 единственно возможный путь достижения равновесия на рынке (равновесие по Бертрану). В такой ситуации фирмы не извлекают прибыль, но будут занимать безразличную позицию по отношению к решению остаться на рынке или уйти с него.

Парадокс Бертрана сформулирован следующим образом: две фирмы действуют на рынке аналогично поведению большого (неограниченного) числа предприятий, т.е. в соответствии с пове­дением фирм на рынке совершенной конкуренции.

Модель Бертрана, изменяя стратегическую переменную, при­водит к фундаментально другому результату на рынке дуополии в сравнении с моделью Курно. Следует отметить необычность ситу­ации, когда на рынке действуют только две фирмы и итогом их поведения является установление конкурентного равновесия.

Представим парадокс Бертрана в виде теории игр.

Стратегия «измена» является доминирующей стратегией для двух фирм: равновесие наступает при совпадении (И, И), когда прибыль равна нулю (*0, О*). В условиях равновесия по Бертрану цены на рынке снижаются до предельных издержек, т.е. до уровня значительно ниже ценовых значений в модели Курно или модели Штакельберга. Равновесие по Бертрану, так же как и равновесие по Курно, является равновесием по Нэшу. Этот результат образу­ется при угрозе со стороны потенциальных конкурентов. Однако трудно представить, что фирмы не будут пытаться влиять на цену, договариваясь об этом. Другой парадокс модели касается входа на рынок: возникает вопрос, почему фирмы берут на себя труд прий­ти на рынок, на котором не получают никакой прибыли. При таком равновесии благосостояние общества является максималь­ным: два производителя получают наибольший остаток (77? - УС), так же как и потребители, поскольку цены находятся на минималь­ном уровне. Одним из путей определения равновесного состояния рынка дуополии, на котором возможно получение прибыли, и соответствующих оптимальных объемов выпуска и цен является предположение об ограниченности мощности.

Не того, который Рассел, про брадобрея и диагональный аргумент, а того, который Жозеф Луи Франсуа . Состоит в следующем.
Задача: есть окружность, там случайным образом проводим хорду. Какова вероятность события
А={хорда получилась длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность}?

Ответ зависит от того, как именно мы будем эту хорду выбирать. А именно, есть такие три метода (можно и больше, но хватит и этого пока):

Метод 1 : Хорда - это что? Отрезок, соединяющий две точки на окружности. Не мудрствуя лукаво, возьмем на сей окружности две случайные точки (независимым образом), и проведем хорду между ними. Поскольку всё тут у нас симметрично, БООМС первая точка попадет прямо на северный полюс, а событие А произойдет когда вторая точка попадет на красную дугу на картинке (все хорды в данном посте имеют синий цвет):

Т.е., очевидно, искомая вероятность получается 1/3.

Метод 2 . А вот теперь возьмем, и проведем хорду так. Выберем сначала случайный радиус (т.е., соединим центр со случайной точкой на окружности), потом на нем выберем случайную точку, проведем перпендикуляр, и получим хорду. Опять, БООМС этот радиус ведет на северный полюс (и чего меня так на северный полюс потянуло...), а сторона равностороннего треугольника (который с вершиной на южном полюсе) делит этот радиус строго пополам, и опять же из созерцания картинки

(надо, чтобы случайная точка на радиусе попала на красный отрезок) ясно, что искомая вероятность равна 1/2.

Метод 3 . Вообще просто выберем одну случайную точку внутри круга. Ясно, что строго в центр нам попасть не светит, а значит существует единственная хорда, чья центральная точка совпадает с выбранной. Её и рассмотрим. Вернее, рассмотрим картинку

и со всей очевидностью получим, что искомая вероятность равна 1/4 (радиус внутреннего круга, куда должна попасть выбранная точка, в два раза меньше исходного).

Вот. Одна задача, три разных ответа, 1/3, 1/2, 1/4. И тут на этом месте обычно делается вывод, что задача сформулирована некорректно, требуется обязательно указать, что именно мы понимаем под "выбрать случайную хорду", а иначе нельзя. Так?

А вот не так! Точнее, не совсем так. Здесь такое дело: если мы захотим непременно формулировать все вероятностные задачки абсолютно строгим и точным образом, то вместо, к примеру "из десяти человек выбираем двоих случайным образом" придется писать что-то вроде "из множества всех неупорядоченных пар различных элементов множества {1,...,10} выбираем одну пару с равномерным распределением вероятностей". Ну его нафиг, я считаю, обычно и так понятно, что когда говорят "выберем случайным образом" без дальнейших уточнений, то это означает, что выбор равновероятный, т.е., делается с равномерным распределением.

ОК. Хорошо. Но тут мне возразят в том смысле, что

Понятно, как равновероятно выбрать случайный элемент множества из N элементов (каждый берется с вероятностью 1/N )

Тоже интуитивно понятно, что такое равномерное распределение в какой-либо области, скажем, на плоскости (круг, квадрат, ...).

Но что делать для более сложных объектов?

А мы ответим на это так. Основное, я бы даже сказал, характеристическое свойство равномерного распределения такое. Пусть H - некоторое подмножество множества G , и выберем один объект из G равновероятным образом. Так вот, при условии, что результат попал в H - он имеет там равномерное распределение, такая вот инвариантность получается. Например, если из группы 5 мужчин / 5 женщин случайно выбрать одного человека, и известно, что это - женщина, то тогда любая из тех пяти имеет равные шансы (1/5) оказаться избранницей. Да и к равномерному выбору точки из области все это тоже относится.

Ну и что мы хотим от случайной хорды тогда? В свете вышеизложенного, представляется мне разумным, что хотим мы следующего:

при условии, что случайная хорда АВ пересекает мелкую окружность (порождая там хорду А"В" ), эта хорда А"В" имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто "случайная хорда" (что бы сие не значило, пока) в маленькой окружности.

Так вот, оказывается, что из трех вышеуказанных методов построения случайной хорды, этим свойством обладает лишь метод 2! И никто кроме него; все другие не годятся. Всё это давно известно, см. статью , очень рекомендую.

То, что мы тут уже обсудили, однако же, наводит на такие мысли. Хорошо, мы знаем теперь, что есть случайная хорда окружности. Как
истинные математики, мы желаем это обобщить, с окружностей на эллипсы, квадраты, гиперкубы, и всё-что-угодно. Ну, давайте попробуем.

Значится, повторяя пройденное, хорда - это отрезок, соединяющий две точки на границе нашей области. Вместо того, чтоб сразу выбирать эти две точки, попытаемся сделать иначе: выберем сначала одну точку на границе (каким-нибудь образом), а потом выберем направление (еще каким-нибудь образом), куда пойдет хорда из этой точки. И пойдет она до пересечения с границей, уж куда придет - там второй точке и быть.

Только лишь в качестве простого упражнения на знание школьной планиметрии, докажите, что метод 1 эквивалентен такой процедуре: сначала берем одну точку равномерно на окружности, а потом направление хорды тоже выбирается с равномерным распределением, как-бы все направления равновероятны.

А с нашим драгоценным методом 2 ситуация такая: направление хорды выбирается по закону косинуса, т.е. плотность распределения этого направления пропорциональна косинусу угла между ним и радиусом (докажите!). Что же будет, если подобную процедуру проделать с более-менее произвольной областью (нудные комментарии про достаточную гладкость её границы мы здесь писать не будем), а именно

(а) сначала выберем точку равномерно на границе

(б) выберем направление оттуда по закону косинуса (угол - с нормалью к границе в этой точке), и хорда пошла.

Оказывается, это все действительно работает, да еще и в любой размерности к тому же! Можно доказать, что


(почти copy-paste, обратите внимание) при условии , что случайная хорда АВ пересекает внутреннюю область (порождая там хорду А"В" ), эта хорда А"В" имеет то же самое вероятностное распределение, как и просто cлучайная хорда во внутренней областисти (внешняя область тут более-менее произвольная, а вот внутренняя - выпуклая, чтоб "индуцированная" хорда всегда была определена однозначно). Воспользуюсь случаем и порекламирую тут статью , хоть мы там кое-где и изобрели велосипед. Надо было предварительно хотя бы книжку прочесть (и её очень рекомендую, да).

________________________________________ _____________________________________

Jaynes, E.T. (1973). "The Well-Posed Problem" . Found. Phys. 3 (4): 477-492.

F. Comets, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009)
Billiards in a general domain with random reflections.
Archive for Rational Mechanics and Analysis, 193 (3), pp. 737-738,
http://link.springer.com/ article/10.1007%2Fs00205-008- 0120-x?LI=true
См. также Erratum вот здесь: http://link.springer.com/ article/10.1007%2Fs00205-009- 0236-7?LI=true , ибо накосячили.
А лучше всего читать здесь: http://arxiv.org/abs/math/ 0612799 , там уже всё исправлено, и доступ свободный.

Кендалл, Моран. (1972)
Геометрические вероятности.
Думаю, каждый найдет, где скачать:)

Сфера применения математической логики очень широка. С каждым годом усиливается проникновение идей и методов математической логики в информатику, вычислительную математику, лингвистику. Мощным импульсом для развития и расширения области применения математической логики стало появление электронно-вычислительных машин. Оказалось, что в рамках математической логики уже есть готовый аппарат для проектирования вычислительной техники. Математическая логика в сущности является формальной логикой, которая использует математические методы. Формальная логика изучает акты мышления (понятия, суждения, умозаключения, доказательства) с точки зрения их формы, логической структуры, абстрагируясь от конкретного содержания.

Каково же соотношение математической и диалектической логики? Попытаемся проследить это на примере. На рубеже 19 20 вв. были открыты парадоксы, связанные с основными понятиями теории множеств, как составляющей математической логики. Наиболее известным стал парадокс, открытый известным английским философом Бертраном Расселом. В наиболее общей форме парадокс Рассела выглядит так: Пусть К множество всех множеств, которое не содержит себя в качестве своего элемента.

Вопрос: содержит ли К само себя в качестве элемента?

Если ответ «да», то, по определению К, оно не должно быть элементом К и мы получили противоречие. Если ответ «нет» то, по определению К, оно должно быть элементом К вновь противоречие… В полушутливой форме Рассел представляет этот парадокс через однотипный, так называемый парадокс «Брадобрея» во «Введении в философию математики» (1919). Деревенский брадобрей должен брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? Если он будет брить себя, значит, он бреется сам и не имеет права брить себя. Но если он не будет брить себя, он имеет права себя брить. . Таким образом можно продемонстрировать и парадоксальность «множества всех множеств, не являющихся собственными элементами».

Общепризнанного решения этого парадокса сегодня не существует, существуют только различные способы удаления (элиминации) из теории множеств объектов, подобных множеству Рассела. Например, теория множеств Э. Цермело аксиоматически ограничивает построение множеств только «допустимыми» множествами.

Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин. Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным.

Подобные математические и формально-логические парадоксы свидетельствуют о неполноте и недостаточности строгих познавательных систем. Диалектическая логика легко разрешает ситуации, подобные приведенной Расселом. Так брадобрей в реальной жизни мог бы сделать для себя исключение как побрив себя сам, так и обратившись к другому мастеру. В математике подобные парадоксы являются стимулом для развития самого математического языка, понятийного аппарата, а также – системы доказательств и опровержений.

Вопросы, рассматриваемые Бертраном Расселом актуальны, они не имеют полного и однозначного решения и на сегодняшний день.