Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, они должны быть несмещенные, эффективные и состоятельные.

Несмещенной называется статистическая оценка параметра, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называется статистическая оценка
параметра, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называется статистическая оценка
параметра, которая при заданном объеме выборкиимеет наименьшую дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка
параметра, которая при
стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

т.е.для любого

.

Для выборок различного объема получаются различные значения среднего арифметического и статистической дисперсии. Поэтому среднее арифметическое и статистическая дисперсия являются случайными величинами, для которых существуют математическое ожидание и дисперсия.

Вычислим математическое ожидание среднего арифметического и дисперсии. Обозначим через математическое ожидание случайной величины

Здесь в качестве случайных величин рассматриваются: – С.В., значения которой равны первым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности,
–С.В., значения которой равны вторым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности, …,
– С.В., значения которой равны-м значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности. Все эти случайные величины распределены по одному и тому же закону и имеют одно и то же математическое ожидание.

Из формулы (1) следует, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, так как математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию случайной величины. Эта оценка является также состоятельной. Эффективность данной оценки зависит от вида распределения случайной величины
. Если, например,
распределена нормально, оценка математического ожидания с помощью среднего арифметического будет эффективной.

Найдем теперь статистическую оценку дисперсии.

Выражение для статистической дисперсии можно преобразовать следующим образом

(2)

Найдем теперь математическое ожидание статистической дисперсии

. (3)

Учитывая, что
(4)

получим из (3)-

Из формулы (6) видно, что математическое ожидание статистической дисперсии отличается множителем от дисперсии, т.е. является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это связано с тем, что вместо истинного значения
, которое неизвестно, в оценке дисперсии используется статистическое среднее.

Поэтому введем исправленную статистическую дисперсию

(7)

Тогда математическое ожидание исправленной статистической дисперсии равно

т.е. исправленная статистическая дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Полученная оценка является также состоятельной.

Несмещенная статистическая оценка, дисперсия которой совпадает с нижней гранью в неравенстве Крамера-Рао .

Определение

Оценка $\backslash widehat\{\backslash theta\_1\}\; \backslash in\; \backslash Kappa$ параметра $\backslash theta$ называется эффективной оценкой в классе $\backslash Kappa$ , если для любой другой оценки $\backslash widehat\{\backslash theta\_2\}\; \backslash in\; \backslash Kappa$ выполняется неравенство $M\_\{\backslash theta\}(\backslash widehat\{\backslash theta\_1\}-\backslash theta)^2\backslash leqslant\; M\_\{\backslash theta\}(\backslash widehat\{\backslash theta\_2\}-\backslash theta)^2$ для любого $\backslash theta$.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки . Если несмещенная оценка $\backslash widehat\{\backslash theta\_1\}$ является эффективной оценкой в классе несмещенных, то такую статистику принято называть просто эффективной .

Единственность

Эффективная оценка $\backslash widehat\{\backslash theta\}$ в классе $\backslash Kappa\_b\; =\; \backslash \{\; E(\backslash widehat\{\backslash theta\})\; =\; c(\backslash theta)\backslash \}$, где $c(\backslash theta)$ - некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве $A$, вероятность попасть в которое равна нулю ($P(x\; \backslash in\; A)=0$).

Асимптотическая эффективность

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремится к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) $\backslash sqrt\{n\}\backslash hat\{\backslash theta\}$. В частности, асимптотически нормальная оценка

$\backslash sqrt\{n\}(\backslash hat\{\backslash theta\}-\backslash theta)\backslash xrightarrow\; d\; N(0,V)$

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также

Напишите отзыв о статье "Эффективная оценка"

Отрывок, характеризующий Эффективная оценка

– Очень рад встретить вас здесь, граф, – сказал он ему громко и не стесняясь присутствием посторонних, с особенной решительностью и торжественностью. – Накануне дня, в который бог знает кому из нас суждено остаться в живых, я рад случаю сказать вам, что я жалею о тех недоразумениях, которые были между нами, и желал бы, чтобы вы не имели против меня ничего. Прошу вас простить меня.
Пьер, улыбаясь, глядел на Долохова, не зная, что сказать ему. Долохов со слезами, выступившими ему на глаза, обнял и поцеловал Пьера.
Борис что то сказал своему генералу, и граф Бенигсен обратился к Пьеру и предложил ехать с собою вместе по линии.
– Вам это будет интересно, – сказал он.
– Да, очень интересно, – сказал Пьер.
Через полчаса Кутузов уехал в Татаринову, и Бенигсен со свитой, в числе которой был и Пьер, поехал по линии.

Бенигсен от Горок спустился по большой дороге к мосту, на который Пьеру указывал офицер с кургана как на центр позиции и у которого на берегу лежали ряды скошенной, пахнувшей сеном травы. Через мост они проехали в село Бородино, оттуда повернули влево и мимо огромного количества войск и пушек выехали к высокому кургану, на котором копали землю ополченцы. Это был редут, еще не имевший названия, потом получивший название редута Раевского, или курганной батареи.
Пьер не обратил особенного внимания на этот редут. Он не знал, что это место будет для него памятнее всех мест Бородинского поля. Потом они поехали через овраг к Семеновскому, в котором солдаты растаскивали последние бревна изб и овинов. Потом под гору и на гору они проехали вперед через поломанную, выбитую, как градом, рожь, по вновь проложенной артиллерией по колчам пашни дороге на флеши [род укрепления. (Примеч. Л.Н. Толстого.) ], тоже тогда еще копаемые.

Одним из основных требований при построении оценок является получение оценок с минимальной дисперсией или минимальным рассеянием (если они существуют). В связи с этим в математической статистике введено понятие эффективных оценок ,

Применительно к смещенным оценкам параметра сигнала оценка называется эффективной, если среднее значение квадрата отклонения оценки от истинного значения оцениваемого параметра I не превышает среднее значение квадрата отклонения любой другой оценки у, т. е. выполняется неравенство

Для несмещенной оценки рассеяние оценки совпадает с ее дисперсией следовательно, эффективная несмещенная оценка определяется как оценка с минимальной дисперсией.

С. Рао и Крамер независимо друг от друга получили выражения для нижних границ условных дисперсий и рассеяний оценок, которые являются дисперсиями и рассеяниями эффективных оценок при условии, что таковые существуют для данных параметров.

Приведем вывод этого выражения, полагая, что необходимые допущения справедливы.

Оценку параметра у представим в сокращенной записи где X - многомерная выборка из реализации на интервале времени

Усредним выражение

по всевозможным значениям многомерной выборки X, которая описывается условной плотностью вероятности Учитывая известное соотношение для производной натурального логарифма после усреднения получаем

В силу свойства нормировки плотности вероятности последнее слагаемое в (1.3.3) равно нулю. Интеграл от первого слагаемого представляет среднее значение оценки

С учетом последнего усредненное значение можно записать в виде

Левая часть этого выражения представляет собой среднее значение произведения двух случайных величин с конечными значениями первых двух моментов. При этих условиях для случайных величин справедливо известное из математической статистики неравенство Буняковского - Шварца

которое переходит в равенство, если случайные величины связаны детерминированной зависимостью . С учетом (1.3.6) из выражения (1.3.5) можно получить

Для несмещенных оценок и оценок с постоянным смещением дисперсия оценки удовлетворяет неравенству Рао-Крамера

Необходимо отметить, что во всех соотношениях усреднение производится по многомерной выборке наблюдаемых данных X (при непрерывной обработке - по всевозможным реализациям а

произшодные берутся в точке истинного значения оцениваемого параметра.

Знак равенства в выражениях (1,3.7) и (1-3.8) достигается только для эффективных оценок.

Применительно к выражению (1.3.7) рассмотрим условия, при которых неравенство обращается в равенство, т. е. оценка параметра является эффективной смещенной оценкойю Согласно (1.3.6) для этого необходимо, чтобы коэффициент взаимной корреляции между был равен единице, т. е. чтобы эти случайные функции были связаны детерминированной линейной зависимостью.

Действительно, представим производную логарифма функции правдоподобия в виде

где функция, которая не зависит от оценки у и выборки наблюдаемых данных, но может зависеть от оцениваемого параметра При подстановке (1.3.5) и (1.3.9) в неравенство (1.3.7) оно переходит в равенство. Однако представление производной логарифма функции правдоподобия в виде (1.3.9) возможно, если для оценки у выполняется условие достаточности (1.2.9), из которого следует, что

и, следовательно, если производная логарифма отношения правдоподобия линейно зависит от достаточной оценки, то коэффициент пропорциональности не зависит от выборки

Таким образом, для существования смещенной эффективной оценки необходимо выполнение двух условий: оценка должна быть достаточной (1.2.9) и должно выполняться соотношение (1.3.9). Аналогичные ограничения налагаются на существование эффективных несмещенных оценок, при которых в выражении (1.3.8) знак неравенства переходит в равенство.

Полученное выше выражение для нижней границы дисперсии смещенной оценки справедливо и для нижней границы рассеяния смещенной оценки, так как т. е.

Последнее неравенство переходит в равенство, если кроме условия достаточности оценки справедливо соотношение

где имеет тот же смысл, что и в выражении (1.3.9).

Формула (1.3.10) выводится аналогично (1.3.7), если в исходном выражении (1.3.2) вместо рассматривать

Из характера условий (1.2.9) и (1.3.9) видно, что эффективные оценки существуют только в весьма специфических случаях. Также следует отметить, что эффективная оценка обязательно принадлежит к классу достаточных оценок, в то время как достаточная оценка не обязательно будет эффективной.

Анализ выражения для дисперсии эффективной смешенной оценки 1.3.7) показывает, что могут существовать смещенные оценки, которые обеспечивают меньшую дисперсию оценки, чем несмещенные. Для этого необходимо, чтобы производная от смещения имела отрицательное значение и по абсолютной величине в точке истинного значения параметра была близка к единице.

Поскольку в большинстве случаев интерес представляет средний квадрат результирующей ошибки оценки (рассеяние), имеет смысл говорить и о среднем квадрате ошибки оценки, который для любой оценки ограничен снизу:

При этом для эффективных оценок имеет место знак равенства.

Нетрудно показать, что соотношения (1.3.10) и (1.3.12) совпадают, если выполняются соответственно условия (1.3.11) и (1.3.9). Действительно, подставив в числитель и знаменатель (1.3.10) значения, выраженные через функции получим (1.3.12).

Используя рассмотренные выше свойства эффективных оценок уточним их определение. Будем называть оценку у эффективной, если для нее либо выполняются условия (1.2.9) и (1.3.11), либо при заданном смещении она обладает дисперсией

или рассеянием

либо при нулевом смещении эта оценка имеет дисперсию

Отметим, что характеристики эффективной оценки (1.3.13) - (1.3.15) могут быть вычислены и для тех параметров, для которых эффективной оценки не существует. В этом случае величины (1.3.13) -(1.3.15) определяют нижнюю границу (недостижимую) для соответствующих характеристик оценки.

Для сравнения реальных оценок с эффективными в математической статистике введено понятие относительной эффективности оценок, представляющее отношение среднего квадрата отклонения эффективной оценки относительно истинного значения параметра к среднему квадрату отклонения реальной оценки относительно истинного значения параметра:

Здесь у - реальная оценка, эффективность которой равна эффективная оценка.

Из определения дисперсии эффективной оценки (1.3.1) видно, что относительная эффективность оценки изменяется в пределах

Кроме понятия эффективных оценок существует понятие асимптотически эффективных оценок. При этом предполагается, что для достаточно большого времени наблюдения или неограниченного увеличения отношения сигнал/помеха предельное значение относительной эффективности реальной оценки равно единице. Это означает, что при асимптотически эффективной оценке дисперсия оценки для заданного смещения определяется выражением (1.3.13), а при отсутствии смещения - выражением (1.3.15).

) задач математической статистики .

Предположим, что имеется параметрическое семейство распределений вероятностей (для простоты будем рассматривать распределение случайных величин и случай одного параметра). Здесь - числовой параметр, значение которого неизвестно. Требуется оценить его по имеющейся выборке значений, порожденной данным распределением.

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы .

Точечное оценивание

Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом. То есть необходимо указать функцию от выборки (статистику)

,

значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению .

К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия , метод моментов , метод квантилей .

Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки.

Состоятельность

Одно из самых очевидных требований к точечной оценке заключается в том, чтобы можно было ожидать достаточно хорошего приближения к истинному значению параметра при достаточно больших значениях объема выборки . Это означает, что оценка должна сходиться к истинному значению при . Это свойство оценки и называется состоятельностью . Поскольку речь идет о случайных величинах, для которых имеются разные виды сходимости, то и данное свойство может быть точно сформулировано по-разному:

Когда употребляют просто термин состоятельность , то обычно имеется в виду слабая состоятельность, т.е. сходимость по вероятности.

Условие состоятельности является практически обязательным для всех используемых на практике оценок. Несостоятельные оценки используются крайне редко.

Несмещенность и асимптотическая несмещенность

Оценка параметра называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

.

Более слабым условием является асимптотическая несмещенность , которая означает, что математическое ожидание оценки сходится к истинному значению параметра с ростом объема выборки:

.

Несмещенность является рекомендуемым свойством оценок. Однако не следует слишком переоценивать его значимость. Чаще всего несмещенные оценки параметров существуют и тогда стараются рассматривать только их. Однако могут быть такие статистические задачи, в которых несмещенных оценок не существует. Наиболее известным примером является следующий: рассмотрим распределение Пуассона с параметром и поставим задачу оценки параметра . Можно доказать, что для этой задачи не существует несмещенной оценки.

Сравнение оценок и эффективность

Для сравнения между собой различных оценок одного и того же параметра применяют следующий метод: выбирают некоторую функцию риска , которая измеряет отклонение оценки от истинного значения параметра, и лучшей считают ту, для которой эта функция принимает меньшее значение.

Чаще всего в качестве функции риска рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения оценки от истинного значения

Для несмещенных оценок это есть просто дисперсия .

Существует нижняя граница на данную функцию риска, называемая неравенство Крамера-Рао .

(Несмещенные) оценки, для которых достигается эта нижняя граница (т.е. имеющие минимально возможную дисперсию), называются эффективными . Однако существование эффективной оценки есть довольно сильное требование на задачу, которое имеет место далеко не всегда.

Более слабым является условие асимптотической эффективности , которое означает, что отношение дисперсии несмещенной оценки к нижней границе Крамера-Рао стремится к единице при .

Заметим, что при достаточно широких предположениях относительно исследуемого распределения, метод максимального правдоподобия дает асимптотически эффективную оценку параметра, а если существует эффективная оценка - тогда он дает эффективную оценку.

Достаточные статистики

Статистика назвается достаточной для параметра , если условное распределение выборки при условии того, что , не зависит от параметра для всех .

Важность понятия достаточной статистики обуславливается следующим утверждением . Если - достаточная статистика, а - несмещенная оценка параметра , тогда условное математическое ожидание является также несмещенной оценкой параметра , причем ее дисперсия меньше или равна дисперсии исходной оценки .

Напомним, что условное математическое ожидание есть случайная величина, являющаяся функцией от . Таким образом, в классе несмещенных оценок достаточно рассматривать только такие, которые являются функциями от достаточной статистики (при условии, что такая существует для данной задачи).

(Несмещенная) эффективная оценка параметра всегда является достаточной статистикой.

Можно сказать, что достаточная статистика содержит в себе всю информацию об оцениваемом параметре, которая содержится в выборке .

Определение

Оценка параметра называется эффективной оценкой в классе , если для любой другой оценки выполняется неравенство для любого .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Олаф I Трюггвасон
• Кровь и шоколад

Смотреть что такое "Эффективная оценка" в других словарях:

эффективная оценка - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN efficient estimator … Справочник технического переводчика

эффективная оценка - efektyvusis įvertis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. efficient estimate; efficient estimator vok. effiziente Schätzung, f rus. эффективная оценка, f pranc. estimation effective, f … Automatikos terminų žodynas

Эффективная оценка - 2.22. Эффективная оценка Источник: ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - несмещенная статистическая оценка, дисперсия к рой совпадает с нижней гранью в Рао Крамера неравенстве. Э. о. является достаточной статистикой для оцениваемого параметра. Если Э. о. существует, то ее можно получить с помощью метода максимального… … Математическая энциклопедия

АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич. эффективности оценки в подходящим образом выделенном классе оценок. Именно,… … Математическая энциклопедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной. Свойство эффективности должно учитываться в геологии в… … Геологическая энциклопедия

ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА - з в е з д ы (T э) параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол во энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Э. т. связана со светимостью L и радиусом звезды R соотношением L =4pR2sT4 э, где 4pR2 площадь поверхности звезды. Т … Физическая энциклопедия

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ - функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

Эффективная площадь рассеяния - Пример диаграммы моностатической ЭПР (B 26 Инвэйдер) Эффективная площадь рассеяния (ЭПР; англ. Radar Cross Section, RCS; в некоторых источниках эффективная поверхность рассеяния, эффективный поперечник рассеяния, эффективная по … Википедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ - СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Книги

• Оценка конкурентоспособности региональных инновационных продуктов на основе метода анализа иерархий , Р. Р. Харисова. Эффективная деятельность предприятия во многом зависит от того, насколько она адаптирована к внешней среде и в какой мере готова к нововведениям. В настоящее времябольшинством… Купить за 152 руб электронная книга
• 3000 примеров по русскому языку. Все правила орфографии. 1 класс. Как научиться быстро писать. Самая эффективная оценка знаний. Автоматизированность навыка , Узорова О., Нефедова Е.. В этом учебном пособии 3000 упражнений и заданий на повторение и закрепление всех тем, которые предусмотрены действующей программой по русскому языку для 1-го класса. Задания помогут…