Изучим работу n-канальной (n > 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П вх с интенсивностью. Поток обслуживании каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью µ. На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожидания каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т ож со средним значением, после которого заявка покидает систему необслуженной. Временной интервал Т ож является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой.

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет Марковским.

Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с «нетерпеливыми» заявками.

Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, как под обслуживанием, так и стоящих в очереди: S k (k = 0,1,…n) - k заявок под обслуживанием (k каналов заняты, очереди нет), S n+r (r = 1,2,…) - п заявок под обслуживанием (все п каналов заняты) и r заявок в очереди.

Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний.

Размеченный граф состояний указан на рис. 1.

Рис. 1.

Из состояния в состояние слева направо СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П вх с интенсивностью. Следовательно, плотности вероятностей этих переходов

k-1,k = , k = 1,2,… (1)

Переход СМО из состояния без очереди S k , k = 1,…,n , в соседнее слева состояние S k-1 , (k = 1,…,n) (в котором также не будет очереди) происходит под действием суммарного потока, слагающегося из к потоков обслуживания занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сумму интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна kµ . Поэтому под стрелками налево от состояния s n до состояния s 0 проставлены плотности вероятностей переходов

k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

На систему в состоянии с очередью S n+r , r = 1,2,… , действует суммарный поток - результат наложения n потоков обслуживании и r потоков уходов. Поэтому интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков nµ+rщ . Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния S n+r ,(r = 1,2,…) в среднее S n+r-1 ,(r = 1,2,…) и, таким образом,

k,k-1 =nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)

Итак, плотности вероятностей переходов системы справа налево, учитывая (2) и (3), можно записать в объединённой форме

Структура графа говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения.

Подставим (1) и (4) для k=1,…,n+m в формулу

Введем в рассмотрение величину, которую можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов, и которая показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки. Подставляя в (5) и получим:

Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то заявка, поступившая во входящем потоке, будет принят; в систему, т.е. отказ со стороны системы заявка не получает. Поэтому для СМО с «нетерпеливыми» заявками вероятность принятия в систему p сист =1, а вероятность отказа принятия в систему p отк =0 . Понятие «отказа принятия в систему» не следует смешивать с понятием «отказа в обслуживании», поскольку, в силу «нетерпеливости», не каждая поступившая (принятая) в систему заявка, будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p ху и вероятности того, что заявка будет обслужена, p об . При этом, вероятность p об представляет собой относительную пропускную способность Q и p ху =1- p об .

Подсчитаем среднее число заявок в очереди. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N оч представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величина N оч может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид

N оч
		p n+1	p n+2		p n+r

где p= p 0 + p 1 +…+ p n . Следовательно,

или подставляя сюда (7), получим

На каждую заявку в очереди действует поток «уходов» Пух с интенсивностью щ. На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков «уходов», и имеющий интенсивность. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Следовательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО

Тогда по определению относительной пропускной способности,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/),

где щ/ = показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П вх .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала µ. Воспользовавшись равенством (11), будем иметь:

Среднее число занятых каналов можно подсчитать и независимо от среднего числа заявок в очереди, а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, закон распределения которой имеет вид

	p 0	p 1	p 2		p n-1

где p = p n + p n+1 +…+ p n+1 + …. Но так как событие, состоящее в том, что все n каналов заняты, противоположно событию, состоящему в том, что не все n каналов заняты, а вероятность последнего события равна

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1 , то p = 1 - (p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1) .

Но тогда из (11) получим:

Используя формулы (11) и (13), получим формулу для среднего числа заявок, находящихся в системе:

Выведем формулу для среднего времени ожидания заявки в очереди. Оно будет зависеть от данного среднего времени ограничивающего продолжительность пребывания заявки в очереди, для которого либо

либо найдется натуральное число i > 2 такое, что

Умножая неравенства (14) и (15) на, получим соответственно неравенства

Рассмотрим случай (14) и несовместные гипотезы состоящие в том, что система находится в состоянии. Вероятности этих гипотез

Если заявка поступит в СМО при гипотезет.е. когда система пребывает в одном из состояний в каждом из которых не все каналы заняты, то заявке не придется ожидать в очереди -она сейчас же попадет под обслуживание свободного канала. Поэтому условное математическое ожиданиеслучайной величинывремени ожидания заявки в очереди при гипотезе, представляющее собой среднее время ожидания заявки в очереди при гипотезеравно нулю:

Если заявка поступит в систему при гипотезет.е. когда СМО находится в одном из состоянийв котором все п к-п заявок (при к = п в очереди заявок нет), то среднее время освобождения одного из п занятых каналов равно, а среднее время обслуживания к-п заявок, стоящих в очереди перед поступившей в систему заявкой, равно Поэтому среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь на обслуживание поступившей заявки, равно.Так как, то в силу правого неравенства (14),

Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы поступившая в систему заявка была принята к обслуживанию, больше времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка задержится в очереди на среднее времяи покинет систему не обслуженной. Следовательно, условное математическое ожидание величиныпри гипотезе

Теперь рассмотрим те же гипотезыв случае (15). В этом случае также справедливы равенства (16).

Если заявка поступит в систему при одной из гипотез т.е., когда СМО находится в одном из состояний в котором все п каналов заняты и в очереди перед поступившей заявкой уже стоят к-п заявок (при к - n в очереди заявок нет), то так же, как и в случае (14), среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь этой заявки на обслуживание, равно ограничивающим пребывание заявки. Так както, в силу левого неравенства (15),

Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы пришедшая в систему заявка была принята к обслуживанию, не больше среднего времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка не уйдет из очереди и дождется приема на обслуживание, потратив на ожидание в очереди среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе

Пусть теперь заявка поступила в систему при одной из гипотез Н ю к = n+i- т.е., когда СМО находилась в одном из состояний..., в котором все п каналов заняты и в очереди уже стоят к-п заявок. Так как то из неравенства (15):

а потому пришедшая заявка задержится в очереди на среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе

По формуле полного математического ожидания получим:

В случае (15) поступившая заявка будет принята к обслуживанию, если только в момент её поступления СМО находится в одном из состояний тогда вероятность того, что заявка будет обслужена

При / = 1 формула (25) превращается в (24), поэтому для вероятности обслуживания можно записать одну формулу:

Зная вероятность обслуживания, можно вычислить вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной:

Среднее время пребывания заявки в системе можно вычислить по формуле

где- среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди, которое можно подсчитать па формуле

6. Построение и анализ модели систем массового обслуживания

Рассмотрим практическую задачу на использование СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания в очереди.

С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят два самолета-дозаправщика. Дозаправка одного самолета длится в среднем около 10 минут. Если оба самолета-дозаправщика заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки). Среднее время ожидания - 20 минут. Самолет, не дождавшийся дозаправки, вынужден садиться на запасной аэропорт. Интенсивность полетов такова, что в среднем за 1 час в район дозаправки прибывает 12 самолетов. Определить:

Вероятность того, что самолет будет дозаправлен.

Среднее число занятых дозаправщиков.

Среднее число самолетов в очереди.

Среднее число самолетов под обслуживанием.

Необходимо вычислить основные характеристики эффективности данной СМО, при условии, что заданы следующие входные параметры:

• · количество каналов обслуживания;
• · интенсивность входящего потока заявок;
• · интенсивность потока обслуживания;
• · среднее время, ограничивающее пребывание заявок в очереди.

Рассматриваемая СМО является многоканальной системой массового обслуживания без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Количество каналов, интенсивность входящего потока заявок, интенсивность потока обслуживания и количество мест в очереди заданы.

В данной СМО каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку. Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание, если же заявки отсутствуют, то система простаивает.

Определим, что происходит, когда к моменту поступления заявки все каналы заняты - она становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов. Если в момент поступления заявки все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему.

Критерии эффективности функционирования СМО:

• · Вероятность простоя системы;
• · Вероятность отказа системы;
• · Относительная пропускная способность.
• · Среднее время пребывания заявки в очереди.

Данная система моделируется многоканальной СМО с «нетерпеливыми» заявками.

Параметры системы:

число каналов обслуживания n = 2 ;

интенсивность входящего поток заявок = 12 (самолетов в час);

интенсивность потока обслуживания µ = 6 (самолетов в час);

среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, следовательно, интенсивность потока уходов щ = 1/= 3 (самолета) в час.

Расчеты произведены с помощью разработанной в Turbo Pascal программе. Язык Turbo-Pascal - один из самых распространенных языков программирования компьютеров. К важным достоинствам языка Turbo-Pascal относится небольшой размер компилятора, высокая скорость трансляции программ, компиляции и их компоновки. Кроме того, удобство и высокое качество дизайна диалоговой оболочки, делают написание и отладку программ наиболее удобным в сравнении с альтернативными языками нового поколения.

Для анализа работы СМО необходимо исследовать поведение данной системы при различных входных параметрах.

В первом варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=2.

Во втором варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=3.

В третьем варианте л=12, µ=6, щ=4, число каналов n=2.

Все результаты расчетов приведены в Приложение 2.

В результате анализа полученных данных (Приложение 2), были сделаны следующие выводы.

С увеличением числа каналов увеличивается вероятность простоя системы и вероятность дозаправки на 50%.

При изменение же только времени пребывания заявки в очереди, не увеличивая кол-во каналов, изменилась интенсивность потока уходов, в результате уменьшилось число обслуживаемых самолетов и число самолетов в очереди.

По-моему мнению, необходимо набрать и обучить дополнительный обслуживающий персонал, чтобы увеличить интенсивность потока уходов, тогда будет меньше затрачиваться времени на простой дозаправщиков и не возникнет необходимости в дополнительном канале.

Хотя, выбирая наиболее оптимальные параметры, при которых работа СМО будет наиболее эффективной, нужно еще учитывать технический и экономический фактор, так как приобретение дополнительного канала обслуживания или изменение интенсивности потока уходов, требует определенных материальных затрат и затрат на подготовку кадров.

1. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; кассир, выдающий зарплату). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место: именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем.

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, в отличие от СМО с отказами, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m ≥1 заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Таким образом, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживанием и в очереди:

S 0 – канал свободен (следовательно, очереди нет);

S 1 – канал занят и очереди нет, т.е. в СМО находится (под обслуживанием) одна заявка;

S 2 – канал занят и в очереди стоит одна заявка;

……………………………………………………..

S m +1 – канал занят и в очереди m заявок.

Граф состояний данной СМО представлен на рис. 6 и совпадает с графом, описывающим процесс гибели и размножения, с тем отличием, что при наличии только одного канала обслуживания все интенсивности потоков обслуживаний равны μ .

Рис. 6. Схема состояний в одноканальной системе с очередью

Для описания предельного режима работы СМО можно воспользоваться изложенными правилами и формулами. Запишем сразу выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

где ρ = λ/μ – интенсивность нагрузки канала.

Если λ = μ , то получаем .

Пусть теперь
. Выражение дляp 0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит сумма m + 2 членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ :

.

Заметим, что при m = 0 мы переходим к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами. В этом случае .

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускные способности, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал занят и в очереди ожидают m заявок, т.е. когда система находится в состоянии S m +1 . Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появления состояния S m +1 :

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением:

Заметим, что относительная пропускная способность Q совпадает со средней долей принятых (т.е. не получивших отказ) в систему заявок среди всех поступивших, поскольку заявка, попавшая в очередь, непременно будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность системы

.

Среднее число заявок L оч , стоящих в очереди на обслуживание, определяется как математическое ожидание дискретной случайной величины k – числа заявок, стоящих в очереди:

.

Случайная величина k принимает значения 0, 1, 2, … , m , вероятности которых определяются вероятностями состояний системы p k . Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины k имеет следующий вид:

Поэтому по определению математического ожидания дискретной случайной величины (с учетом формул для вероятностей состояний) получаем:

(16)

Предположим, что ρ ≠ 1 . Очевидно, имеем:

Но сумма представляет собой сумму первых m членов геометрической прогрессии

. (17)

Подставив выражение (17) в (16), найдем:

или, используя равенство
(полученное приρ ≠ 1 ), имеем

Если же ρ = 1 , то из равенства (16)
а учитывая, что в этом случае
и
(суммаm членов арифметической прогрессии), окончательно получаем

.

Тогда среднее число заявок в очереди

(18)

Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди
. Пусть T оч – непрерывная случайная величина, представляющая собой время ожидания заявки в очереди. Среднее время ожидания заявки в очереди вычислим как математическое ожидание этой случайной величины:

.

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой полного математического ожидания: если об условиях опыта можно сделать n (попарно) несовместных гипотез
то полное математическое ожидание случайной величиныX может быть вычислено по формуле

где M (X | H k ) – условное математическое ожидание величины X при гипотезе H k .

Рассмотрим m + 2 несовместных гипотез H k , k = 0,1,..., m + 1 , состоящих в том, что СМО находится соответственно в состояниях S k , k = 0,1,..., m + 1 . Вероятности этих гипотез p (H k ) = p k , k = 0,1,..., m +1 .

Если заявка поступает в СМО при гипотезе H 0 S 0 , в котором канал свободен, то заявке не придется стоять в очереди и, следовательно, условное математическое ожидание M (
| H 0 ) случайной величины
при гипотезе H 0 ,совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 0 , равно нулю.

Для заявки, поступившей в СМО при гипотезе H 1 , т.е. когда СМО находится в состоянии S 1 , в котором канал занят, но очереди нет, условное математическое ожидание M (
| H 1 ) случайной величины
при гипотезе H 1 , совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 1 , будет равно среднему времени обслуживания одной заявки
.

Условное математическое ожидание M (
| H 2 ) случайной величины
при гипотезе H 2 , т.е. при условии, что заявка поступила в СМО, находящуюся в состоянии S 2 , в котором канал занят и в очереди уже ждет одна заявка, равно 2/ μ (удвоенному среднему времени обслуживания, поскольку нужно обслужить две заявки: ту, которая находится в канале обслуживания, и ту, которая ждет в очереди). И так далее.

Если заявка поступит в систему при гипотезе H m , т.е. когда канал занят и в очереди ждут m − 1 заявок, то M (
| H m ).

Наконец, заявка, пришедшая в СМО при гипотезе H m +1 , т.е. когда канал занят, m заявок стоят в очереди, и свободных мест в очереди больше нет, получает отказ и покидает систему. Поэтому в этом случае M (
| H m +1 ) = 0.

Следовательно, по формуле полного математического ожидания среднее время ожидания заявки в очереди

Подставляя сюда выражения для вероятностей p k (k =1,2,...,m ), получаем:
(19)

Если интенсивность нагрузки канала ρ ≠ 1 , то из равенства (19) с учетом формул (17), (18), а также выражения для p 0 находим:

Если же ρ = 1 , то, подставляя в равенство (19) выражение p 0 = 1/(m +2), значение суммы
, используя формулу (18) приρ = 1 и учитывая, что в данном случае μ = λ , будем иметь

Итак, для любого ρ получаем формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди, которая называется формулой Литтла:
т.е. среднее время ожидания заявки в очереди
равно среднему числу заявок в очереди L оч , деленному на интенсивность λ входящего потока заявок.

Пример. На автозаправочной станции (АЗС) имеется одна колонка. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие.

Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна λ =1/2 = 0,5 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины
= 2,5 мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний μ =1/2,5 = 0,4 (машины в минуту).

Определяем интенсивность нагрузки канала: ρ = λ/μ = 0,5/0,4 = 1,25.

Вычисляем вероятность отказа
откуда относительная пропускная способность и абсолютная пропускная способность A = λ Q ≈ 0,5⋅0,703 ≈ 0,352.

Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку

Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле Литтла
= L оч /λ ≈1,559/0,5 = 3,118.

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (P отк ≈ 29,7%), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания.

В этом разделе рассмотрим СМО типа М/М/n/m< , но, в отличие от предыдущих, наложим ограничение на время ожидания в очереди.
Это ограничение носит принципиальный характер, т.к. при вычислении вероятностей состояний СМО необходимо знание не только текущего состояния (числа требований в системе), но и того, как давно пришли требования, ожидающие обслуживания. Таким образом, процесс К(t) перестает быть марковским.

Время ожидания в очереди может быть ограничено как детерминированной, так и случайной величиной. В обеих случаях процесс К(t), как уже было сказано, характеризуется наличием последействия. Однако, способы формирования на его основе марковской модели СМО существенно различаются.

7.3.1. Время ожидания ограничено случайной величиной τ

В этом случае все зависит от закона распределения ограничения , т.к. именно ограничение вносит в систему последействие. Поэтому вернуть процессу К(t) марковость крайне просто. Достаточно принять для описания случайной величины экспоненциальное распределение. Однако при этом нельзя забывать, что такая операция возможна лишь в том случае, когда реальное распределение или действительно экспоненциальное, или близко к нему. Если это не так, то сформированная математическая модель будет неадекватна реальной СМО.

При экспоненциально распределенном ограничении на время ожидания в очереди, процесс изменения числа требований в СМО по-прежнему будет процессом размножения и гибели с той лишь разницей, что интенсивность гибели увеличится за счет, покидающих очередь требований, у которых время ожидания превысило допустимую величину.

Примем, что распределение времени ожидания имеет вид:

F(t) = 1 - e - функция распределения,

f(t) = e - плотность распределения,

где - интенсивность выхода из очереди за счет превышения допустимого времени ожидания.

Тогда параметры процесса К(t) будут равны:

K , при к

N + (k - n) , при к>n .

Читателю предлагается самостоятельно, руководствуясь материалом раздела 7.2.1, написать модель рассматриваемой СМО, и формулы для вычисления основных характеристик СМО в стационарном режиме.

7.3.2. Время ожидания ограничено неслучайной величиной τ

В этом случае для описания СМО с помощью марковской модели целесообразно использовать второй из приведенных в 7.1. способов, а именно, расширение понятия состояния. Для того, чтобы прогнозировать распределения состояний в будущем, необходимо знать как давно пришли в систему требования, которые в настоящее время находятся в очереди. Это можно сделать, включив в число обобщенных координат, описывающих состояние СМО, давность прихода каждого ожидающего требования, или, что то же самое, время, которое осталось у него до окончания срока ожидания. В рамках процесса К(t), которым мы пользовались во всех предыдущих задачах, это сделать нельзя, и в рассматриваемом случае модель функционирования СМО строится на основании векторного случайного процесса X , характеризующего состояние системы через состояния каждого из n ее каналов:

X = { X (t), X (t),…. X (t)} = { X (t)}

X (t) – это время, которое осталось до освобождения j-ого канала. Таким образом, для каждого момента времени t, мы можем прогнозировать будущие состояния каналов: j-ый канал освободится через х j (t), если за это время не поступят требования из внешнего потока. А так как входящий поток простейший, это значит, что в процессе X последействие отсутствует, т.е. процесс марковский. Найдем распределение этого процесса.

(7.3)

Это функция и плотность n-мерного распределения вектора X (t) в случае, когда все каналы заняты. Занятые (и только они) каналы персонифицированы, т.е. перенумерованы.

То же, что и выше, но в случае, когда занято лишь «к» каналов, а остальные свободны.

(7.4)

В дальнейшем, для простоты, будем трактовать плотность f (t; x …x ) как вероятность того, в СМО занято к каналов, которым присвоены номера от 1 до к., опуская при этом формальное умножение на . Знание этих распределений позволит вычислять вероятности состояний рассматриваемой системы.

Для вывода необходимых уравнений используем марковское свойство процесса X(t), а именно: будем выражать вероятность состояния процесса в момент t+ t (будущее) через его состояние в момент t (настоящее). Предварительно заметим, что - вероятность того, что в системе нет требований.

Для нулевого состояния СМО (в системе нет требований) можем, как и прежде, записать

(7.5)

Второе слагаемое означает, что в момент t в одном из каналов системы было требование, обслуживание которого заканчивалось на интервале t , и этим каналом мог быть любой из n.

Преобразуя и переходя к пределу при t 0, получим:

(7.6)

Рассмотрим случай, когда 0

(7.6)

При составлении этого уравнения учитывалось следующее:

· за время t занятости всех каналов уменьшаются на , и если за это время не подойдет ни одного требования входящего потока, то к моменту t система окажется в нужном состоянии (первое слагаемое правой части);

· второе слагаемое правой части: в момент t был занят к-1 канал, а канал с номером i (из числа персонифицированных) был пустым, и что бы СМО пришла в нужное состояние необходимо: чтобы пришло требование, чтобы время его обслуживания было равно x , и чтобы из (n-к) свободных каналов оно выбрало именно i-ый, причем этим каналом может быть любой из каналов с номерами от 1 до к.

· последнее слагаемое означает, что в момент t был занят (к + 1) канал, но в одном из них (а именно в (к+1)–ом) на интервале обслуживание заканчивалось. Причем таким каналом может быть любой из (n – к).

Теперь рассмотрим случай, когда :

(7.7)

Поясним, как и выше, содержание правой части:

· Первое слагаемое отличается от случая кsign x =1, если x>0, и sign x= - 1, если x<0 ).

· Второе слагаемое в содержательном плане ничем не отличается от случая к

· Третье слагаемое правой части отвечает ситуации, когда все каналы заняты, как это нужно, но один из них «недозанят», например, X (t) = Z < x ; для того, чтобы в момент t+ СМО оказалась в требуемом состоянии надо, чтобы на интервале пришло требование со временем обслуживания (x - z), и стало бы в очередь к i-му каналу, а для этого его занятость z должна быть меньше занятости любого другого канала (z < min x ) т.к. когда все каналы заняты, требование автоматически становится в очередь к тому который раньше освободится; при этом недозанятым может быть любой из n каналов.

Вспоминая определение смешанной частной производной:

,(7.8)

производя группировку членов уравнений, как это делалось выше, и переходя к пределу при , окончательно получим:

(7.9)

(7.10)

Эти уравнения относятся к стационарному режиму, что получило свое выражение в том, что производные плотностей распределения по t приняты равными нулю, а сами плотности записаны в финальной форме, как функции не зависящие от времени. Кроме того, для простоты последующих выкладок, приняты следующие обозначения: f = f и f = f .

Решение этой системы, т.е. отыскание функций f и f , произведем следующим образом. Вначале, исходя из общих соображений содержательного характера, найдем вид этих функций, после чего подставим их в систему уравнений с целью установить, удовлетворяют они им или нет. Если ответ будет положительным, то решение системы уравнений найдено.

Сперва рассмотрим случай 0 . Как говорилось выше, функция f имеет смысл вероятности того, что в СМО занято «к» персонофицированных (перенумерованных) каналов, причем первый освободится через x единиц времени, второй через x , … , к-ый через x . Каналы функционируют независимо, и время обслуживания в каждом распределено экспоненциально. Тогда вероятность рассматриваемого события равна:

(7.11)

Вероятность того, что занято k перенумерованных каналов

P - вероятность того, что в СМО занято k каналов

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО (онлайн):
Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 120 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 12% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 7.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. Доля заявок, получивших отказ .

Значит, 3% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок .
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0311 = 0.97
Следовательно, 97% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием .
n з = ρ p обс = 2 0.97 = 1.9 каналов
Среднее число простаивающих каналов .
n пр = n - n з = 3 - 1.9 = 1.1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием .

Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность .
A = p обс λ = 0.97 120 = 116.3 заявок/час.
.
t пр = p отк t обс = 0.0311 0.0166 = 0 час.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди .

ед.
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 ед.
13. Среднее число заявок в системе .
L CMO = L оч + L обс = 0.51 + 1.94 = 2.45 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО .
час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 4 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 116.3 / 181 = 64% от номинальной производительности.

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Ни один канал не занят (очереди нет),

Занят ровно один канал (очереди нет),

Занято ровно каналов (очереди нет),

Заняты все каналов (очереди нет),

Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

,

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент