В систему поступает пуассоновский поток требований интенсивностью λ, поток обслуживания имеет интенсивность μ, максимальное число мест в очереди – т. Если заявка поступает в систему, когда все места в очереди заняты, она покидает систему необслуженной.
Финальные вероятности состояний такой системы всегда существуют, так как число состояний конечно:
S 0 – система свободна и находится в состоянии простоя;
S 1 – обслуживается одна заявка, канал занят, очереди нет;
S 2 – одна заявка обслуживается, одна в очереди;
S m +1 - одна заявка обслуживается,т в очереди.
Граф состояний такой системы показан на рисунке номер 5:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Рисунок 5: Одноканальная СМО с ограниченной очередью.
В формуле для р 0 найдем сумму конечного числа членов геометрической прогрессии:
(52)
С учетом формулы для ρ получим выражение:
В скобках находится (m+2) элементов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ρ. По формуле суммы (m+2) членов прогрессии:
(54)
(55)
Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:
Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему ее канал будет занят и все места в очереди также заняты:
(57)
Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность ) равны вероятности противоположного события:
Абсолютная пропускная способность – число заявок, обслуженных системой в единицу времени:
(59)
Среднее число заявок под обслуживанием:
(60)
(61)
Среднее число заявок в системе:
(62)
Одноканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.
Пример :
На стоянке обслуживается 3 машины с интенсивностью потока 0,5 и средним временем обслуживания 2,5 минуты. Определить все показатели системы.
6 Многоканальная смо с неограниченной очередью
Пусть дана система S, имеющаяп каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.
По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , гдеS k – состояние системы, когда в ней находитсяkзаявок (максимальное число заявок под обслуживанием -n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Рисунок 6: Многоканальная СМО с неограниченной очередью.
Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμ при переходе из состоянияS k в состояниеS k -1 так как может освободиться любой изk каналов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равнойпμ, при поступлении в систему следующих заявок.
Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.
(63)
Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через
Для нахождения р 0 получим уравнение:
Для слагаемых в скобках, начиная с
(n+ 2)-го, можно применить
формулу нахождения суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
с первым членом
и знаменателем ρ/n:
(66)
Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:
(67)
Приведем формулы для расчета основных яоказателей эффективности работы системы.
Система будет справляться с потоком заявок, если
выполнено условие
,
(68)
которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.
Отсюда вероятность обслуживания (а также иотносительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:
(69)
Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:
(70)
Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:
ν=λ . (71)
Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:
(72)
Среднее время обслуживания каналом одной заявки;
.
(73)
Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:
(74)
Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:
(75)
Среднее число заявок в очереди:
(76)
Тогда среднее число заявок в системе:
(77)
Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):
(78)
(79)
Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.
Пример 1 :
Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Пример 2:
В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.
Фрагмент решения задачи в Mathcad.
Продолжение решения задачи в Mathcad.
4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности
Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).
СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:
Системы с отказами не имеют очередей.
Системы с ожиданием имеют очереди.
Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:
Покидает систему с отказами;
Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;
Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.
В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:
На ожидание в очереди;
На простои каналов обслуживания.
Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :
- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;
- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;
- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.
Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.
4.2. Моделирование системы массового обслуживания:
основные параметры, граф состояний
При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .
Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:
Основные параметры;
Граф состояний.
Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.
Основные параметры для моделирования СМО включают:
Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;
Характеристики механизма обслуживания.
Рассмотрим характеристики потока заявок .
Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.
Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.
Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.
Для простейших потоков заявок используются модели СМО.
Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .
Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.
Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.
Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.
Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.
Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .
Механизм обслуживания характеризуется:
- числом каналов обслуживания ;
Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;
Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).
Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.
Для построения графа состояний СМО необходимо:
Составить перечень всех возможных состояний СМО;
Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;
Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.
4.3. Вычисление вероятностей состояний
системы массового обслуживания
Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения"
представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:
Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.
СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:
где - вероятность того, что система находится в состоянии
- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .
Используя эту систему уравнений, а также уравнение
вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :
вероятность нулевого состояния рассчитывается как
а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность
Выводы по четвертому разделу
Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.
Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.
Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.
Вопросы для самопроверки
Какие системы называются системами массового обслуживания?
Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?
Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?
Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?
Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?
Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?
Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?
Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?
Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?
Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?
Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?
Чем характеризуются механизмы обслуживания?
Что описывает граф состояний системы массового обслуживания
Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?
Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?
Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?
Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?
По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?
Примеры решения задач
1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.
а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Основные параметры:
Каналов ,
Интенсивность потока ,
Интенсивность обслуживания .
Возможные состояния системы:
Все каналов заняты ( заявок в системе).
Граф состояний:
Относительная пропускная способность ,
Вероятность отказа ,
Среднее число занятых каналов .
б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналы заняты, две заявки в очереди;
Все каналы заняты, заявок в очереди.
Граф состояний:
в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Канал занят, ноль заявок в очереди;
Канал занят, одна заявка в очереди;
...................................................................................
Канал занят, заявка в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
,
Среднее время пребывания заявки в системе 
,
,
,
Абсолютная пропускная способность ,
Относительная пропускная способность .
г) n-канальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;
Все каналы заняты, одна заявка в очереди;
....................................................................................
Все каналы заняты, заявок в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
Среднее число занятых каналов ,
Среднее число заявок в системе ,
Среднее число заявок в очереди ,
Среднее время пребывания заявки в очереди .
2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.
РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:
Число каналов ;
Интенсивность потока заявок (задача / час);
Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);
Длина очереди .
Перечень возможных состояний:
Заявок нет, все каналы свободны;
Один канал занят, два свободны;
Два канала заняты, один свободен;
Три канала заняты;
Три канала заняты, одна заявка в очереди;
Три канала заняты, две заявки в очереди;
Три канала заняты, три заявки в очереди.
Граф состояний:
Рассчитаем вероятность состояния :
Показатели эффективности:
Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Среднее число занятых ЭВМ
3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).
РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .
1) Вероятность простоя каналов обслуживания:
,
3) Вероятность обслуживания:
4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:
.
5) Доля каналов, занятых обслуживанием:
6) Абсолютная пропускная способность:
При . Произведя аналогичные расчеты для , получим
Так как , то произведя расчеты для , получим
ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.
Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.
4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.
Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .
1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):
.
2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
.
3) Вероятность очереди:
.
4) Среднее число заявок в очереди:
.
5) Среднее время ожидания заявки в очереди:
мин.
6) Среднее время пребывания заявки в СМО:
7) Среднее число свободных каналов:
.
8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:
.
9) Среднее число посетителей в сберкассе:
ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.
5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
Авт./дн.
1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
причем 0!=1,0.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
.
3) Вероятность обслуживания:
Так как 
, произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .
Задания для самостоятельной работы
Для каждой из следующих ситуаций определить:
a) к какому классу относится объект СМО;
b) число каналов ;
c) длину очереди ;
d)интенсивность потока заявок ;
e) интенсивность обслуживания одним каналом;
f) количество всех состояний объекта СМО.
В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:
a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;
b) =… (единиц);
c) =… (единиц);
d) =ххх/ххх (единиц /мин);
e) =ххх/ххх (единиц /мин);
f) (единиц).
1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.
3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.
4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.
5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.
6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.
7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.
8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.
9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.
10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.
11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.
12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.
Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:
Составить перечень возможных состояний;
Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".
В ответе указать для каждой задачи:
Количество состояний системы;
Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.
Вариант № 1
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку
2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью
5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 2
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки
2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 3
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки
2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 4
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки
2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 5
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок
2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 6
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок
2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 7
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок
2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 8
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок
2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 9
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок
2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 10
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок
2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью
2.2 Многоканальная СМО с ожиданием
Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .
Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал, остальные свободны;
Заняты -каналов, остальные нет;
Заняты все -каналов, свободных нет;
есть очередь:
Заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.
ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.
Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием
Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).
Таким образом, все вероятности состояний найдены.
Определим характеристики эффективности системы.
Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:
(18)
Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:
Абсолютная пропускная способность СМО:
(19)
Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:
Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(20)
Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) - (14)), используя соотношение для нее, получаем:
Среднее число заявок в системе:
Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.
Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:
(21)
Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (20) только множителем , т. е.
.
Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:
.
Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.
Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .
Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при >1. Допустив, что <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:
Среднее число заявок в очереди получим при из (20):
,
а среднее время ожидания - из (21):
.
Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:
.
Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):
Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.
Поскольку<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
и т. д.
Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А==0,8 на интенсивность обслуживания =0,5:
Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:
Среднее число машин в очереди:
Среднее число машин на АЗС:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).
Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.
Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением, таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:
нет очереди:
Все каналы свободны;
Занят один канал;
Заняты два канала;
Заняты все n-каналов;
есть очередь:
Заняты все n-каналов, одна заявка стоит в очереди;
Заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.
Граф состояний и переходов системы показан на рис. 23.
Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания
Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .
Как видно из графа, имеет место схема размножения и гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения , запишем:
(24)
Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.
Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (при соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).
Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях и .
Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла - каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.
Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:
На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:
Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :
(26)
Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:
а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями ,:
В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти к пределу при (или, что то же, при ), то при 
Очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,". именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые...
Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.
Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.
Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.
Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.
(0‑1)
где.
Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):
(0‑2)
Относительная пропускная способность .
(0‑3)
Абсолютная пропускная способность .
(0‑4)
Среднее число занятых каналов.
Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.
Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим
(0‑5)
Среднее число находящихся в очереди заявок.
Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:
(0‑6)
(0‑7)
где = .
Среднее число находящихся в системе заявок.
(0‑8)
Среднее время ожидания заявки в очереди .
Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).
(0‑9)
Среднее время пребывания заявки в системе.
Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:
(0‑10)
Содержание работы .
Подготовка инструментария эксперимента .
Выполняется в соответствии с общими правилами.
Расчет на аналитической модели .
1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.
|
Параметры |
Аналитическая
|
Имитационная |
|||||||||||||||
|
n |
m |
T a |
Ts |
ρ |
χ |
P0 |
P1 |
p2 |
Pотк |
W |
nож |
q |
A |
Pотк |
W |
q |
A |
2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:
n =1,2,3
m=1,3,5
Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:
= <порядковый номер в списке группы>
3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.
Эксперимент на имитационной модели .
1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.
2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.
Результаты запусков внесите в таблицу.
3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.
Анализ результатов .
1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.
2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.
Оптимизация параметров СМО .
Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:
- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,
- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,
- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.
1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:
Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.
Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).
Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.
В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.
В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).
В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:
- число заявок в единицу времени
N r =A
- суммарный доход в единицу времени
I S = I r *N r
- суммарный расход в единицу времени
E S =E s *n + E q *m
- прибыль в единицу времени
P = I S - E S
где
I r - доход от одной заявки ,
E s - расход на один прибор ,
E q - расход на одно место в очереди
2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.
Найдите m опт для n =1 ,2,3.
3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.
Отчет по работе :
Отчет по работе должен включать:
- исходные данные,
- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,
Графики для P отк ,
- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,
- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.
Контрольные вопросы :
1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.
2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?
3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?
4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?
5) Как найти относительную пропускную способность?
6) Чему равна абсолютная пропускная способность?
7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?
8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.
Задачи .
1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.
2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.
3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.
4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.
5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.
6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.
7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.
8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).
9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.