Краткая теория

Пусть в n-канальную систему массового обслуживания (СМО) поступает с интенсивностью простейший поток требований. Длительность обслуживания распределена по показательному закону со средним временем обслуживания . Если же все каналы обслуживания заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за ранее поступившими не обслуженными требованиями. Освободившийся канал приступает к обслуживанию очередного требования из очереди. Определим основные характеристики работы такой системы. Так как число требований, стоящих в очереди, может быть бесконечно большим, то и число состояний системы также может быть бесконечно большим.

Вероятность свободного состояния системы:

Последнее выражение получено при условии , которое является условием стационарности СМО. В случае система не справляется с обслуживанием, очередь неограниченно возрастает. Отношение обозначается через и называется уровнем загрузки системы:

Определим основные характеристики многоканальной СМО с ожиданием. Вероятность получения отказа равна нулю. Относительная пропускная способность -это величина, которая дополняет вероятность отказа до единицы: . Абсолютная пропускная способность . Определим среднее число занятых каналов: каждый занятый канал обслуживает в единицу времени в среднем заявок, а вся система - заявок. Тогда:

Коэффициент занятости каналов обслуживания:

Образование очереди возможно, когда вновь пост пившее требование застанет в системе не менее n требований, т. е. когда в системе будет находиться , , требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме вероятностей , Отсюда вероятность образования очереди:

Среднее число заявок в очереди можно вычислить как математическое ожидание, складывая произведения возможного числа заявок на вероятность того, что число заявок будет в очереди:

Среднее число заявок, связанных с системой:

Определим среднее время ожидания заявки в очереди . Очередь образуется, если все каналов заняты. Так как интенсивность обслуживания , то поток освобожденных каналов имеет интенсивность . Если заявка поступила в момент, когда заняты все каналов и очереди нет, то время ожидания составит в среднем , а если застанет одно требование в очереди, то , и так далее. Среднее время ожидания заявок в очереди найдем, суммируя произведения среднего времени ожидания на соответствующую вероятность:

Среднее время пребывания заявок в системе:

Формулы Литтла:

Среднее число простаивающих каналов обслуживания:

Коэффициент простоя каналов:

Пример решения задачи

Условие задачи

На строительном складе работают четыре кладовщика. Поток посетителей имеет с интенсивностью 2 заявки в минуту. Время обслуживания имеет показательное распределение со средним значением 1,5 минуты на заявку. Определить показатели работы склада.

Если вам необходима платная помощь в учебе с решением задач, об этом подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Как заказать решение задач по методам оптимальных решений...

Решение задачи

Отсюда следует, что вероятность того, что все четыре кладовщика простаивают, равна 0,05. Определим другие показатели работы системы.

Абсолютная пропускная способность склада, т. е. количество обслуживаемых в единицу времени требовании, (заявки в минуту). Среднее число занятых кладовщиков . Вероятность образования очереди, т. е. вероятность того, что в момент обращения заказчика все четыре кладовщика заняты:

Среднее число заявок в очереди:

Среднее время простаивания в очереди:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребывания заявки в системе:

Среднее число простаивающих кладовщиков:

Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, то тогда за деньги на сайте можно выполнить вашу контрольную работу по методам оптимальных решений .

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

Многоканальная СМО с отказами
Приведены необходимые теоретические сведения, в частности формулы Эрланга, а также образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с отказами". Подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с отказами - вероятность отказа и вероятность обслуживания, абсолютная пропускная способность системы и среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки.

Сетевое планирование - график работ
На примере решения задачи рассмотрены вопросы построения сетевого графика работ, нахождение критического пути и критического времени. Также показано вычисление параметров и резервов событий и работ - ранних и поздних сроков, общих (полных) и частных резервов.

Межотраслевая модель Леонтьева
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .

Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний

P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:

Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,

P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},

где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина

\rho=\frac{\lambda}{\mu}

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Абсолютная пропускная способность:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:

\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),

где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

\overline{k}=\frac{A}{\mu}

Или, учитывая (29), (24):

\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем

З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:

– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;

– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Одноканальная система массового обслуживания с отказами.

Предположим, что СМО состоит из одного канала обслуживания и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X, т. е. непрерывная случайная величина Т - время между соседними заявками распределено по экспоненциальному закону, время обслуживания каждой заявки имеет такое же распределение с параметром р. Параметры X и р называются соответственно интенсивностью потока заявок и интенсивностью потока обслуживании.

Система массового обслуживания может находиться в одном из двух состояний: s 0 - канал свободен (простаивает) или s, - канал занят. Из состояния s 0 в состояние s, систему переводит поток входящих заявок, а из состояния s, в состояние s 0 - поток обслуживании. Плотности вероятностей переходов из состояния s 0 в состояние s { и обратно равны соответственно X и р.

Граф состояний СМО показан на рис. 1.5.

Рис.

в состоянии s 0 или s t соответственно. Очевидно, что справедливо нормировочное условие p 0 (t) + Pi (t) = 1.

Учитывая, что случайный процесс, протекающий в СМО, является марковским, вероятности p 0 (t) и pj(t) можно определить из системы уравнений Колмогорова:

Подстановка нормировочного условия в эту систему приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно p 0 (t):

Принимая условие, что в начальный момент времени при t = О канал свободен, т. е. р 0 (0) = 1 и pj(0) = 0, можно получить решение уравнения (1.20) в следующем виде:

С использованием нормировочного условия можно также установить выражение для определения pj(t):

В предельном стационарном режиме (при t -» °°) система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Учитывая нормировочное условие, определим предельные вероятности состояний

Рассмотрим основные показатели эффективности работы одноканальной СМО с отказами.

Так как вероятность обслуживания поступивших заявок в такой системе равна р 0 , а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших заявок за единицу времени, то Q = р 0 , т. е. для одноканальной СМО с отказами

Абсолютная пропускная способность СМО - это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, или интенсивность выходящего потока:

Вероятность отказа в СМО возникает, когда канал занят, это вероятность Р!

Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная р:

Аналогично можно определить среднее время простоя канала:

Среднее время пребывания заявки в системе вычисляется по формуле:

Пример 1.4. На телефонную линию оператора сотовой связи приходит простейший поток вызовов с интенсивностью X = 1,5 заявки в минуту. Производительность линии р = 0,4 вызова в минуту. Вызов, пришедший на линию во время ее занятости, не обслуживается. Определить абсолютную пропускную способность линии, среднее время обслуживания одного вызова, вероятность отказов обслуживаний, а также среднее время пребывания заявки в системе.

Решение. 1. По формулам (1.27)-(1.31), проведя необходимые расчеты, получаем: А = 0,32 выз./мин; р отк = 0,79; t o6cjI = 2,5 мин;

• 1 сист = °> 52 МИН -
• 2. Расчетные данные свидетельствуют о том, что при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная СМО с отказами.

На вход системы, имеющей п каналов, поступает простейший поток заявок с интенсивностью X, поток обслуживаний каждым каналом также является простейшим с интенсивностью р.

Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов (каждый канал в системе либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).

Система имеет следующие состояния: где s k -

состояние системы, когда в ней находится к заявок, т. е. занято к каналов.

Граф состояний такой системы соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 1.6.

Рис. 1.6.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое состояние с одной и той же интенсивностью к. Интенсивность же потока обслуживания, переводящая систему из любого правого состояния в левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Рассмотрим в качестве примера СМО, находящуюся в состоянии s 2 , когда заняты два канала. Система может перейти в состояние s t когда закончится обслуживание второго либо первого канала, соответственно суммарная интенсивность обслуживании будет равна 2р.

Воспользовавшись формулой (1.18) для процесса гибели и размножения, получим следующее выражение для предельной вероятности состояния р 0

Введем обозначение которое называется приведенной интенсивностью потока заявок (интенсивностью нагрузки каналов). Эта величина представляет собой среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда мы можем получить следующую формулу:

Используя выражение (1.19), имеем:

Приведенные формулы (1.34) в технической литературе получили название формул Эрланга (датский инженер, математик - один из основателей теории массового обслуживания).

Запишем аналитические выражения для оценки основных показателей эффективности работы рассматриваемой СМО. Исходя из принципа работы такой СМО отказ в обслуживании заявки наступает, когда все каналы заняты, а система находится в состоянии s n , т. е. вероятность отказа СМО

Поскольку событие обслуживания заявки и событие отказа в ее обслуживании являются противоположными, вероятность обслуживания заявки (вероятность того, что свободен хотя бы один канал) будет

Относительная пропускная способность СМО определяется как вероятность ее обслуживания

Абсолютная пропускная способность СМО (она же интенсивность потока обслуженных заявок):

Для многоканальных СМО важным показателем эффективности их работы является среднее число занятых каналов к (математическое ожидание числа занятых каналов)

Учитывая, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок в единицу времени, а каждый занятый канал обслуживает в среднем р заявок в единицу времени, среднее число занятых каналов можно определить по формуле:

Пример 1.5. Вычислительный центр электросетевой компании оборудован тремя ЭВМ, на которые поступают заказы по выполнению вычислительных работ. Если работают одновременно все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом 2,5 ч. Интенсивность потока заявок 0,2 ч -1 . Определить и проанализировать предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. 1. Определим параметры СМО: п = 2; X = 0,2 ч -1 ;

интенсивность потока обслуживания

; интенсивность нагрузки ЭВМ р = 0,2/0,4 = 0,5.

2. Найдем вероятности состояний: вероятность того, что в системе отсутствуют заявки:

вероятности других состояний:

вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ:

Таким образом, в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем в течение 61 % времени нет ни одной заявки, в 30 % времени имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), в 8 % - две заявки (заняты две ЭВМ) и в 1 % - три заявки (заняты три ЭВМ). Вероятность отказа, когда все три ЭВМ заняты - р отк = 0,01.

3. Определим показатели эффективности вычислительного центра: относительная пропускная способность:

т. е. из каждой сотни заявок вычислительный центр обслуживает 99;

абсолютная пропускная способность вычислительного центра:

т. е. в один час в среднем обслуживается 0,2 заявки; среднее число занятых ЭВМ:

Технико-экономический анализ полученных данных должен базироваться на сопоставлении доходов от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ. Как видим, в данном случае наблюдается высокая пропускная способность вычислительного центра, но значительный простой каналов обслуживания. Необходим поиск компромиссного решения.

СМО с отказами (одно - и многоканальная)

Простейшей одноканальной моделью с вероятностным входным потоком и процедурой обслуживания является модель, которая «может характеризоваться показательным распределением длительностей интервалов между поступлениями заявок и распределением длительностей обслуживания». При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:

f 1 (t) = л*e (-л*t) , (1)

где л - интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени). Плотность распределения длительности обслуживания:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t об, (2)

где µ-интенсивность обслуживания, t об -среднее время обслуживания одного клиента. Относительная пропускная способность обслуженных заявок относительно всех поступающих вычисляется по формуле:

Эта величина равна вероятности, что канал обслуживания свободен. Абсолютная пропускная способность (А) -- среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Данная величина Р может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка -- автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, -- получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей л =1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания t об =1,8 часа. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q;

• - абсолютной пропускной способности А;
• - вероятности отказа Р.

Определим интенсивность потока обслуживания по формуле 2: .Вычислим относительную пропускную способность: q =.Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=лЧq=1Ч0,356=0,356. Это говорит о том, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час. Вероятность отказа: Р отк =1-q=1-0,356=0,644. Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании. Определим номинальную пропускную способность данной системы А ном: А ном = (автомобилей в час).

Однако в подавляющем большинстве случаев система массового обслуживания является многоканальной, то есть параллельно может обслуживаться несколько заявок. Процесс СМО, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока л, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов. Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/м. «Режим функционирования обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов - повышение скорости обслуживания заявок за счет обслуживания одновременно n клиентов.» Решение такой системы имеет вид:

Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга. Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме. Вероятность отказа P отк равна:

P отк =P n =*P 0 . (7)

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналов заняты. Величина Р отк характеризует полноту обслуживания входящего потока; вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы) дополняет Р отк до единицы:

Абсолютная пропускная способность

Среднее число каналов, занятых обслуживанием () следующее:

Величина характеризует степень загрузки системы массового обслуживания. Пример. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр с тремя (n=3) взаимозаменяемыми компьютерами для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность л=1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания t об =1,8 час.

Требуется вычислить значения:

• - вероятности числа занятых каналов ВЦ;
• - вероятности отказа в обслуживании заявки;
• - относительной пропускной способности ВЦ;
• - абсолютной пропускной способности ВЦ;
• - среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определим параметр м потока обслуживаний:

Приведенная интенсивность потока заявок:

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность ВЦ:

Абсолютная пропускная способность ВЦ:

Среднее число занятых каналов - ПЭВМ:

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Пропускную способность ВЦ при данных л и м можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Абсолютная пропускная способность характеризует интенсивность выходящего потока обслуженных заявок.

Пример . На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза « На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для проверки решения используем сервис Одноканальные СМО .
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания t обс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).


Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 12 мин.

4. Доля заявок, получивших отказ .
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, p отк = 0.

5. Относительная пропускная способность .
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Абсолютная пропускная способность .
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 заявок/час.

8. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).

ед.

9. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.

10. Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 1 1 = 1 ед.

12. Среднее число заявок в системе .
L CMO = L оч + L обс = 1.2 + 1 = 2.2 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО .
час.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ p 1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.

Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.