Изучим работу n-канальной (n > 1) СМО с ожиданием, на вход которой поступает простейший поток заявок П вх с интенсивностью. Поток обслуживании каждым каналом также предполагается простейшим с интенсивностью µ. На длину очереди никаких ограничений не налагается, но время ожидания каждой заявки в очереди ограничено случайным сроком Т ож со средним значением, после которого заявка покидает систему необслуженной. Временной интервал Т ож является непрерывной случайной величиной, которая может принимать любое положительное значение и математическое ожидание которой.
Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет Марковским.
Такие системы часто встречаются на практике. Их иногда называют системами с «нетерпеливыми» заявками.
Занумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, как под обслуживанием, так и стоящих в очереди: S k (k = 0,1,…n) - k заявок под обслуживанием (k каналов заняты, очереди нет), S n+r (r = 1,2,…) - п заявок под обслуживанием (все п каналов заняты) и r заявок в очереди.
Таким образом, СМО может пребывать в одном из бесконечного множества состояний.
Размеченный граф состояний указан на рис. 1.
Рис. 1.
Из состояния в состояние слева направо СМО переходит под воздействием одного и того же входящего потока заявок П вх с интенсивностью. Следовательно, плотности вероятностей этих переходов
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Переход СМО из состояния без очереди S k , k = 1,…,n , в соседнее слева состояние S k-1 , (k = 1,…,n) (в котором также не будет очереди) происходит под действием суммарного потока, слагающегося из к потоков обслуживания занятых каналов, интенсивность которого, представляющая собой сумму интенсивностей слагаемых потоков обслуживании, равна kµ . Поэтому под стрелками налево от состояния s n до состояния s 0 проставлены плотности вероятностей переходов
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
На систему в состоянии с очередью S n+r , r = 1,2,… , действует суммарный поток - результат наложения n потоков обслуживании и r потоков уходов. Поэтому интенсивность суммарного потока равна сумме интенсивностей слагаемых потоков nµ+rщ . Этот суммарный поток порождает переход СМО справа налево из состояния S n+r ,(r = 1,2,…) в среднее S n+r-1 ,(r = 1,2,…) и, таким образом,
k,k-1 =nµ+(k-n)щ, k =n+1,n+2,… (3)
Итак, плотности вероятностей переходов системы справа налево, учитывая (2) и (3), можно записать в объединённой форме
Структура графа говорит о том, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения.
Подставим (1) и (4) для k=1,…,n+m в формулу
Введем в рассмотрение величину, которую можно назвать приведенной интенсивностью потока уходов, и которая показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время обслуживания одной заявки. Подставляя в (5) и получим:
Так как в рассматриваемой СМО нет ограничений на длину очереди, то заявка, поступившая во входящем потоке, будет принят; в систему, т.е. отказ со стороны системы заявка не получает. Поэтому для СМО с «нетерпеливыми» заявками вероятность принятия в систему p сист =1, а вероятность отказа принятия в систему p отк =0 . Понятие «отказа принятия в систему» не следует смешивать с понятием «отказа в обслуживании», поскольку, в силу «нетерпеливости», не каждая поступившая (принятая) в систему заявка, будет обслужена. Таким образом, имеет смысл говорить о вероятности ухода заявки из очереди p ху и вероятности того, что заявка будет обслужена, p об . При этом, вероятность p об представляет собой относительную пропускную способность Q и p ху =1- p об .
Подсчитаем среднее число заявок в очереди. Для этого рассмотрим дискретную случайную величину N оч представляющую собой число заявок в очереди. Случайная величина N оч может принять любое целое неотрицательное значение, а ее закон распределения имеет вид
|
N оч |
||||||
|
p n+1 |
p n+2 |
p n+r |
где p= p 0 + p 1 +…+ p n . Следовательно,
или подставляя сюда (7), получим
На каждую заявку в очереди действует поток «уходов» Пух с интенсивностью щ. На среднюю очередь, состоящую из заявок, будет действовать суммарный поток, складывающийся из потоков «уходов», и имеющий интенсивность. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени, а оставшиеся заявки будут обслужены. Следовательно, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, т.е. абсолютная пропускная способность СМО
Тогда по определению относительной пропускной способности,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (щ/),
где щ/ = показывает среднее число уходов из очереди не обслуженных заявок за среднее время между поступлениями двух соседних заявок во входящем потоке П вх .
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) можно получить как отношение абсолютной пропускной способности А к производительности одного канала µ. Воспользовавшись равенством (11), будем иметь:
Среднее число занятых каналов можно подсчитать и независимо от среднего числа заявок в очереди, а именно как математическое ожидание дискретной случайной величины К, представляющей собой число занятых каналов, закон распределения которой имеет вид
|
p 0 |
p 1 |
p 2 |
p n-1 |
где p = p n + p n+1 +…+ p n+1 + …. Но так как событие, состоящее в том, что все n каналов заняты, противоположно событию, состоящему в том, что не все n каналов заняты, а вероятность последнего события равна
p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1 , то p = 1 - (p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n-1) .
Но тогда из (11) получим:
Используя формулы (11) и (13), получим формулу для среднего числа заявок, находящихся в системе:
Выведем формулу для среднего времени ожидания заявки в очереди. Оно будет зависеть от данного среднего времени ограничивающего продолжительность пребывания заявки в очереди, для которого либо
либо найдется натуральное число i > 2 такое, что
Умножая неравенства (14) и (15) на, получим соответственно неравенства
Рассмотрим случай (14) и несовместные гипотезы состоящие в том, что система находится в состоянии. Вероятности этих гипотез
Если заявка поступит в СМО при гипотезет.е. когда система пребывает в одном из состояний в каждом из которых не все каналы заняты, то заявке не придется ожидать в очереди -она сейчас же попадет под обслуживание свободного канала. Поэтому условное математическое ожиданиеслучайной величинывремени ожидания заявки в очереди при гипотезе, представляющее собой среднее время ожидания заявки в очереди при гипотезеравно нулю:
Если заявка поступит в систему при гипотезет.е. когда СМО находится в одном из состоянийв котором все п к-п заявок (при к = п в очереди заявок нет), то среднее время освобождения одного из п занятых каналов равно, а среднее время обслуживания к-п заявок, стоящих в очереди перед поступившей в систему заявкой, равно Поэтому среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь на обслуживание поступившей заявки, равно.Так как, то в силу правого неравенства (14),
Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы поступившая в систему заявка была принята к обслуживанию, больше времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка задержится в очереди на среднее времяи покинет систему не обслуженной. Следовательно, условное математическое ожидание величиныпри гипотезе
Теперь рассмотрим те же гипотезыв случае (15). В этом случае также справедливы равенства (16).
Если заявка поступит в систему при одной из гипотез т.е., когда СМО находится в одном из состояний в котором все п каналов заняты и в очереди перед поступившей заявкой уже стоят к-п заявок (при к - n в очереди заявок нет), то так же, как и в случае (14), среднее время, необходимое для того, чтобы подошла очередь этой заявки на обслуживание, равно ограничивающим пребывание заявки. Так както, в силу левого неравенства (15),
Таким образом, среднее время, необходимое для того, чтобы пришедшая в систему заявка была принята к обслуживанию, не больше среднего времени, ограничивающего пребывание заявки в очереди. Поэтому поступившая заявка не уйдет из очереди и дождется приема на обслуживание, потратив на ожидание в очереди среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе
Пусть теперь заявка поступила в систему при одной из гипотез Н ю к = n+i- т.е., когда СМО находилась в одном из состояний..., в котором все п каналов заняты и в очереди уже стоят к-п заявок. Так как то из неравенства (15):
а потому пришедшая заявка задержится в очереди на среднее время Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Т оч при гипотезе
По формуле полного математического ожидания получим:
В случае (15) поступившая заявка будет принята к обслуживанию, если только в момент её поступления СМО находится в одном из состояний тогда вероятность того, что заявка будет обслужена
При / = 1 формула (25) превращается в (24), поэтому для вероятности обслуживания можно записать одну формулу:
Зная вероятность обслуживания, можно вычислить вероятность ухода заявки из очереди не обслуженной:
Среднее время пребывания заявки в системе можно вычислить по формуле
где- среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди, которое можно подсчитать па формуле
6. Построение и анализ модели систем массового обслуживания
Рассмотрим практическую задачу на использование СМО без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания в очереди.
С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят два самолета-дозаправщика. Дозаправка одного самолета длится в среднем около 10 минут. Если оба самолета-дозаправщика заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может «ожидать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки). Среднее время ожидания - 20 минут. Самолет, не дождавшийся дозаправки, вынужден садиться на запасной аэропорт. Интенсивность полетов такова, что в среднем за 1 час в район дозаправки прибывает 12 самолетов. Определить:
Вероятность того, что самолет будет дозаправлен.
Среднее число занятых дозаправщиков.
Среднее число самолетов в очереди.
Среднее число самолетов под обслуживанием.
Необходимо вычислить основные характеристики эффективности данной СМО, при условии, что заданы следующие входные параметры:
- · количество каналов обслуживания;
- · интенсивность входящего потока заявок;
- · интенсивность потока обслуживания;
- · среднее время, ограничивающее пребывание заявок в очереди.
Рассматриваемая СМО является многоканальной системой массового обслуживания без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Количество каналов, интенсивность входящего потока заявок, интенсивность потока обслуживания и количество мест в очереди заданы.
В данной СМО каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку. Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание, если же заявки отсутствуют, то система простаивает.
Определим, что происходит, когда к моменту поступления заявки все каналы заняты - она становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов. Если в момент поступления заявки все места в очереди заняты, то эта заявка покидает систему.
Критерии эффективности функционирования СМО:
- · Вероятность простоя системы;
- · Вероятность отказа системы;
- · Относительная пропускная способность.
- · Среднее время пребывания заявки в очереди.
Данная система моделируется многоканальной СМО с «нетерпеливыми» заявками.
Параметры системы:
число каналов обслуживания n = 2 ;
интенсивность входящего поток заявок = 12 (самолетов в час);
интенсивность потока обслуживания µ = 6 (самолетов в час);
среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, следовательно, интенсивность потока уходов щ = 1/= 3 (самолета) в час.
Расчеты произведены с помощью разработанной в Turbo Pascal программе. Язык Turbo-Pascal - один из самых распространенных языков программирования компьютеров. К важным достоинствам языка Turbo-Pascal относится небольшой размер компилятора, высокая скорость трансляции программ, компиляции и их компоновки. Кроме того, удобство и высокое качество дизайна диалоговой оболочки, делают написание и отладку программ наиболее удобным в сравнении с альтернативными языками нового поколения.
Для анализа работы СМО необходимо исследовать поведение данной системы при различных входных параметрах.
В первом варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=2.
Во втором варианте л=12, µ=6, щ=3, число каналов n=3.
В третьем варианте л=12, µ=6, щ=4, число каналов n=2.
Все результаты расчетов приведены в Приложение 2.
В результате анализа полученных данных (Приложение 2), были сделаны следующие выводы.
С увеличением числа каналов увеличивается вероятность простоя системы и вероятность дозаправки на 50%.
При изменение же только времени пребывания заявки в очереди, не увеличивая кол-во каналов, изменилась интенсивность потока уходов, в результате уменьшилось число обслуживаемых самолетов и число самолетов в очереди.
По-моему мнению, необходимо набрать и обучить дополнительный обслуживающий персонал, чтобы увеличить интенсивность потока уходов, тогда будет меньше затрачиваться времени на простой дозаправщиков и не возникнет необходимости в дополнительном канале.
Хотя, выбирая наиболее оптимальные параметры, при которых работа СМО будет наиболее эффективной, нужно еще учитывать технический и экономический фактор, так как приобретение дополнительного канала обслуживания или изменение интенсивности потока уходов, требует определенных материальных затрат и затрат на подготовку кадров.
Расчетное время ожидания в очереди
Имея в своем распоряжении такой важный параметр, как расчетное время ожидания в очереди, можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов за счет:
Объявления клиенту о том, сколько он может прождать в очереди (подробнее об этом мы говорили выше). Гораздо предпочтительнее, чтобы в случае резко возросшего расчетного времени ожидания в момент пиковой нагрузки (например, 3 минуты и более) клиенты вешали трубку и перезванивали позже, а не бесконечно «висели» на линии;
Прямого вмешательства супервизора,
Автоматической перенастройки системы.
Вручную супервизор может предупредить пиковые нагрузки следующим простым способом: увидев, что в одной из операторских групп расчетное время ожидания приближается к опасной черте, а в другой равно нулю или чрезвычайно мало, он может просто перебросить операторов из второй группы в первую и таким образом сократить время ожидания в проблемной группе. В небольшом Сall Center супервизор может также проверить, по какой причине его подчиненные ушли на перерыв, и, если это возможно, попросить их вернуться на рабочее место.
Конечно, приведенная картина весьма схематична, в жизни все гораздо сложнее (например, см. главу 5), но все же подход описан верно.
Гораздо эффективнее, если система сама сможет перенастраиваться, т. е. выбирать оптимальный алгоритм обслуживания в зависимости от расчетного времени ожидания. Например, она может сравнить несколько операторских групп по этому параметру и направить вызов в ту, у которой такое время минимально.
Причем заметьте: и супервизор, и система анализируют не реальное, текущее, а расчетное, предполагаемое время ожидания. Таким образом, возникает очень ценная возможность проактивных, а не реактивных действий. Иными словами, можно не ждать возникновения проблем, а попытаться их предотвратить.
Но именно в том, что приходится оперировать не реальным, а только предполагаемым временем ожидания, и заключается вся сложность. Ведь длительность ожидания в очереди в каждый момент зависит от множества труднопредсказуемых составляющих: поведения вызывающих абонентов, длительности разговоров, даже, наконец, поведения и производительности операторов (хотя как раз в последнем случае прогноз сделать легче).
Существуют три основных подхода к определению расчетного времени ожидания:
На основе анализа хронологических данных;
На основе анализа текущей производительности;
На основе комбинирования оперативных и хронологических данных.
Расчет времени ожидания на основе хронологических данных
Методы, основанные на анализе хронологических данных за какой-то интервал времени, например за последние полчаса, оперируют такими показателями, как средняя скорость ответа, заданный уровень обслуживания и т. п. Давайте рассмотрим подробнее распространенный метод Average Speed of Answer (ASA), основанный на определении средней скорости ответа за какой-либо отрезок времени, чаще всего – за последние полчаса. Схематично это выглядит так.
Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что среднее время ожидания для вызовов данного типа за последние полчаса составило 2 минуты, поэтому она экстраполирует этот показатель и на вновь поступивший вызов и прогнозирует, что он тоже прождет 2 минуты. Через каждые полчаса показатель ASA снова пересчитывается.
Такая схема вполне работоспособна, но лишь в случае постоянной равномерной нагрузки. Однако, как мы уже не раз говорили, для операторского центра такое положение вещей – идеальное и потому недостижимое. А как только происходит скачкообразное нарастание потока вызовов, любой метод, основанный на анализе не текущей, а уже прошедшей ситуации, начинает буксовать. Ведь оперативная ситуация резко изменилась и оказалась достаточно далека от той, что была 10, а тем более 20 минут назад. И чем дальше, тем больше расчетное время ожидания расходится с реальным.
Схематично данный процесс показан на рисунке 3.4.
Рис. 3.4. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу ASA
Из приведенного графика видно, сколь неточно работает данная методика. Например, уже для 30-го звонка предполагаемое время ожидания, рассчитанное по методу ASA, может составить 3 минуты, в то время как в действительности оно будет равно 13 минутам. Разве можно принимать адекватные решения, базируясь на такой недостоверной информации?
Расчет времени ожидания на основе оперативной ситуации
При использовании методов, основанных на анализе производительности в данный момент времени, оперируют такими показателями, как число вызовов в очереди, время, которое провел в очереди самый ранний вызов, и т. п. Метод, построенный на анализе времени ожидания самого раннего вызова (Oldest Call Waiting, OCW), является наиболее популярным. Давайте рассмотрим его подробнее.
Предположим, в операторский центр поступил вызов определенного типа. Система определяет, что к данному моменту самый ранний вызов этого типа уже ожидает в очереди 2 минуты, поэтому она экстраполирует данный показатель и на вновь прибывший вызов, прогнозируя, что он тоже прождет 2 минуты.
На первый взгляд неплохая схема, но тоже лишь в случае равномерной нагрузки. Если она становится пиковой, использование этого метода дает неточные результаты.
Дело в том, что он основан на следующем предположении: вызов, стоящий в очереди самым последним, будет ждать обслуживания столько же, сколько и самый первый. Но за то время, пока этот последний вызов доберется до начала очереди, может произойти множество изменений, например в числе работающих операторов, количестве вызовов в очереди, времени обслуживания вызова и т. д. Поэтому чем длиннее очередь, тем хуже работает метод OCW.
Схематично данный процесс показан на рисунке 3.5.
Рис. 3.5. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методу OCW
Из приведенного графика видно, что хотя метод, основанный на анализе оперативной ситуации, работает немного лучше, чем построенный на анализе хронологических данных (например, для 30-го вызова соотношение между предполагаемым и реальным временем ожидания составит 6,5 против 13 минут вместо 3 против 13 минут по методу ASA), все равно его точности не хватает для эффективного управления операторским центром.
Расчет времени ожидания на основе одновременного анализа хронологических и оперативных данных
Как следует из двух предыдущих разделов, анализ оперативных и хронологических данных по отдельности не дает сколько-нибудь пригодного результата для расчета предполагаемого времени ожидания в очереди, а следовательно, и оснований для того, чтобы предпринять адекватные действия по перенастройке операторского центра и его адаптации к изменению нагрузки. Возникает естественный вопрос: а что, если эти два подхода скомбинировать? Сделать это очень непросто, потому что надо принять во внимание как минимум следующие факторы:
Число работающих операторов;
Время обработки вызовов;
Частоту поступления вызовов с учетом их приоритетности;
Параметры потерянных вызовов (их количество и время, после которого абоненты вешают трубку, не дождавшись ответа);
Возможность постановки вызовов в очередь в несколько групп одновременно;
Возможность работы операторов в нескольких группах одновременно и др.
Давайте посмотрим теперь, что получится. Назовем такой комбинированный метод просто Expected Wait Time (EWT). На рисунке 3.6 показаны графики реального и предполагаемого времени ожидания, рассчитанного по методам ASA, OCW и EWT. Эти графики свидетельствуют о том, что метод, основанный на комбинированном анализе хронологических и оперативных данных, работает точнее всего.
Рис. 3.6. Графики реального и расчетного времени ожидания, определенные по методам ASA, OCW, EWT
И это вполне объяснимо. Пользуясь хронологическими методами расчета (типа ASA), вы можете понять, что у вас только что были проблемы. Пользуясь методами расчета на основе оперативных данных (типа OCW), вы можете понять, что у вас сейчас есть проблемы . Пользуясь комбинированным методом, вы можете понять, что у вас могут возникнуть проблемы . Ну а кто предупрежден, тот вооружен!
Целесообразность использования расчетного времени ожидания
К сожалению, несмотря на высокую точность определения расчетного времени ожидания, а также на важность его использования для маршрутизации вызовов и оповещения абонентов, метод EWT имеет некоторые ограничения.
Так, его нецелесообразно использовать при малом числе вызовов (так как при этом время ожидания чаще всего просто равно нулю, ибо нет никакой очереди) и при малом числе операторов. EWT следует применять, когда одновременно работают не меньше 15, а еще лучше – 20 операторов. В противном случае пострадает точность расчета EWT. Во-первых, будет не хватать чисто статистической «пищи». Во-вторых, очень большое значение приобретут различные субъективные характеристики поведения как вызывающих абонентов, так и операторов.
Вообще, как и в любом статистическом методе, чем больше число работающих операторов, тем точнее рассчитывается предполагаемое время ожидания в очереди.
Кроме того, поскольку EWT определяется на основе как оперативной, так и хронологической информации, могут возникнуть трудности при первоначальном вводе системы в эксплуатацию или при добавлении новой операторской группы. Дело в том, что в этих случаях будет некоторое время «хромать» хронологическая составляющая, поскольку ей просто еще неоткуда взяться. Точно так же негативное влияние на точность показателя EWT будут оказывать крупные реорганизации операторских групп. Кстати, на эти обстоятельства следует обратить особое внимание, если для расчета предполагаемого времени ожидания вы пользуетесь хронологическими методами типа рассмотренного выше способа расчета на основе средней скорости ответа ASA.
Расчетное время ожидания на уровне группы и на уровне вызова
Расчетное время ожидания может быть определено:
На уровне каждого отдельного вызова;
На уровне отдельной операторской группы.
Это могут быть два совершенно разных значения, хотя иногда они могут и совпадать. EWT на уровне операторской группы означает время, в течение которого новый вызов будет ожидать в очереди, чтобы получить ответ оператора, входящего в эту конкретную группу. EWT на уровне вызова означает время, в течение которого данный конкретный вызов будет ожидать в очереди.
Поясним нашу мысль. Предположим, есть две операторские группы: № 1 и № 2. Расчетное время ожидания для первой группы (EWT1) составляет 2 минуты, для второй (EWT2) – 1,5 минуты. Это означает, что если бы сейчас в группу № 1 поступил новый вызов, то он прождал бы ответа ее оператора 2 минуты. Соответственно, если бы вызов поступил в группу № 2, то он прождал бы 1,5 минуты.
Теперь предположим, что вызов, о котором мы столько говорили, наконец поступил. Какое у него будет расчетное время ожидания? Здесь возможны три варианта:
Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 1, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 2 минутам;
Если этот вызов может быть обслужен только операторами из группы № 2, то его расчетное время будет равно расчетному времени ожидания именно для этой группы, т. е. 1,5 минутам;
Если же этот вызов может быть обслужен операторами из обеих групп, то его расчетное время будет равно минимальному EWT для каждой группы. Таким образом, поскольку EWT2 < EWT1, то в качестве EWT вызова будет выбрано значение EWT2, т. е. 1,5 минуты.
Влиять на EWT вызова супервизор, естественно, не может, в то время как на EWT группы – вполне.
Факторы, влияющие на расчетное время ожидания
Начнем, как водится, с хорошего – с уменьшения EWT. На уменьшение расчетного времени ожидания могут влиять следующие факторы (некоторые из них вполне очевидны, а некоторые не очень):
Уменьшение числа вызовов в очереди;
Увеличение числа операторов;
Сокращение времени разговора;
Увеличение числа потерянных вызовов (на первый взгляд выглядит странно, но если немного подумать, то понятно);
Уменьшение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета;
Уменьшение числа вызовов, пропущенных операторами.
Теперь перейдем к факторам, негативно влияющим на EWT, т. е. вызывающим его увеличение. В принципе, тут существует обратная зависимость:
Увеличение числа вызовов в очереди;
Уменьшение числа операторов (по любой причине: кто-то вышел из системы, кто-то ушел на перерыв и т. п.);
Увеличение времени разговора;
Сокращение числа потерянных вызовов;
Увеличение доли вызовов с самым высоким уровнем приоритета;
Увеличение числа вызовов, пропущенных операторами.
Коротко о главном
Основной принцип организации очереди – обрабатывать как можно большее число вызовов как можно меньшим числом операторов без ухудшения качества обслуживания и перегрузки сотрудников ЦОВ.
Очередь – нормальное явление в колл-центре. Однако необходимо эффективно управлять ее длиной за счет правильного планирования ресурсов, соблюдения дисциплины и реализации эффективных алгоритмов обслуживания вызовов.
В случае возникновения перегрузки лучше воспользоваться сигналом «занято», чем речевой почтой.
При оценке эффективности обслуживания не следует полагаться на усредненные показатели типа средней скорости ответа ASA. Важно исследовать уровень обслуживания, максимальные задержки с ответом и профиль вызовов.
Расчетное время ожидания – важнейший параметр, благодаря которому можно в значительной мере повысить эффективность обслуживания вызовов.
Существуют три основных метода определения расчетного времени ожидания: на основе анализа хронологических данных, на основе анализа текущей производительности и на основе комбинирования оперативных и хронологических данных.
Наиболее точно расчетное время ожидания определяется по методу, основанному на анализе одновременно хронологических и оперативных данных.
Перед выходом на передачу любой, исходящий из процессора ЭВМ, блок должен некоторое время ожидать в очереди. В общем случае при использовании относительных приоритетов обработка сообщений организуется по схеме рис. 11
Сообщениям типа Z 1 ,…,Z n присвоены относительные приоритеты 1,…,n соответственно. Сообщение Z p , поступившее в систему, и ожидающее передачи, заносится в очередь О р, в которой хранятся сообщения приоритета Р. В очереди О р сообщения упорядочены по времени их поступления. Когда процессор Пр заканчивает передачу ранее обслуживаемого сообщения, то управление передается программе "ДИСПЕТЧЕР”. Программа выбирает для очередной передачи сообщение с наивысшим приоритетом - сообщение Z i , если очереди более старших приоритетов О 1 ,..,О i-1 не содержат сообщений (т.е. оказываются пустыми). Выбранное для передачи сообщение захватывает исходящий канал на все время передачи. Если в систему поступает n простейших потоков сообщений с интенсивностями, а длительность передачи сообщений каждого типа имеют средние значения и вторые начальные моменты, соответственно, то среднее время ожидания сообщений, имеющих приоритет k, определится соотношением
Используя понятие коэффициента вариации
где - среднеквадратическое отклонение времен передачи сообщений i-го типа, получим соотношение:
В рассматриваемом нами конкретном случае анализа сети имеются всего два типа передаваемых блоков сообщений: исходящие интерактивные блоки, имеющие более высокий приоритет, и исходящие почтовые блоки, имеющие более низкий относительный приоритет.
Следовательно,
Для сообщений первого приоритета
Для сообщений второго приоритета
Следовательно, для интерактивных блоков:
Для почтовых блоков:
Для вычисления значений коэффициентов вариации длин блоков необходимо учесть следующее:
При каждом успешном опросе, ЦДП передает абоненту случайное число N исходящих блоков. Будем считать, что случайная величина N распределена по экспоненциальному закону.
Это означает, что коэффициент вариации (34)
Поскольку почтовые сообщения имеют постоянную длину, (35)
Расчет показывает, что при малой загрузке, время ожидания в очереди блоков почтовых сообщений незначительно превышает время ожидания блоков интерактивных сообщении (сообщений мало и они не мешают друг другу при передаче). С увеличением нагрузок ранним возрастает за счет того, что интерактивные блоки сообщений "выясняют" почтовые.
Время ожидания в очередях в узлах коммутации
Блоки сообщений, попадающие в центры коммутации, анализируются и направляются в соответствии с указанным в них адресом получателя через другие центры коммутации к абоненту или к ЭВМ. Прежде, чем центр коммутации (ЦК) прочтет адрес для направления блока, необходимо, чтобы вся управляющая часть блока (в у = 19 байт), содержащая адресную информацию, была полностью принята УК. Затрачиваемое на это время
Затем, спустя некоторое время реакции УК (рцк =1 мс), если очередь сообщений в УК отсутствует, рассматриваемый блок направится дальше к следующему центру коммутации.
Одновременно с приемом блоков УК ведет передачу выходящих из него блоков.
(37)
является полным временем, необходимым дня обслуживания передачи блока сообщений в УК.
Интерактивные и почтовые блоки сообщений поступают в УК вперемешку. При этом в него попадают как исходящие от ЭВМ ЦДП, так и предназначенные для нее блоки. Поэтому при рассмотрении времени ожидания очереди на передачу сообщения УК- необходимо учитывать полную загрузку сети
Учитывая, что является величиной постоянной (= 0), для определения значения времени tцк следует воспользоваться соотношением
Ввиду малой нагрузки эта величина получилась весьма незначительной, однако, при возрастании суммарной загрузки в 2 раза значение увеличивается, а при дальнейшем повышении нагрузки центры коммутации могут оказаться «узким местом» сети.
Значение эквивалентного времени ожидания в очередях центров коммутации определяется соотношением
аналогично тому, как это делалось при определении эквивалентной задержки в центре коммутации. Если принять, например, что для рассматриваемой сети каждый блок проходит один раз через 3,5 узла коммутации, то
Указанная задержка и должна учитываться при определении времени ответа для интерактивных и почтовых сообщений.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО (онлайн):Интенсивность потока обслуживания:
1. Интенсивность нагрузки
.
ρ = λ t обс = 120 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен
(доля времени простоя каналов).
Следовательно, 12% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 7.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. Доля заявок, получивших отказ
.
Значит, 3% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок
.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0311 = 0.97
Следовательно, 97% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
.
n з = ρ p обс = 2 0.97 = 1.9 каналов
Среднее число простаивающих каналов
.
n пр = n - n з = 3 - 1.9 = 1.1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием
.
Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность
.
A = p обс λ = 0.97 120 = 116.3 заявок/час.
.
t пр = p отк t обс = 0.0311 0.0166 = 0 час.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди
.
ед.
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок
.
L обс = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 ед.
13. Среднее число заявок в системе
.
L CMO = L оч + L обс = 0.51 + 1.94 = 2.45 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО
.
час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 4 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 116.3 / 181 = 64% от номинальной производительности.