Лабораторная работа № 1
Методы принятия решений: смещенного идеала
и перестановок
Цель работы: изучение основных алгоритмов методов смещенного идеала и метода перестановок.
Постановка задачи
Провести ранжирование альтернатив в выбранной предметной области, методами смещенного идеала и методом перестановок. Альтернативы должны удовлетворять свойствам множества Эджворта-Парето. Матрица принятия решений 4х4. При определении важности критериев учитывать степень изменчивости их оценок. Сравнить полученные результаты.
1. Название и цель лабораторной работы.
2. Постановка задачи в соответствии предметной области.
Контрольные вопросы
1. Анализ парадигм исследования операций и принятия решений (ПР).
2. Классификация типов проблем.
3. Что такое проблема, цель, тип задачи?
4. Альтернатива. Методы формирования множества альтернатив.
5. Критерии и ограничения. Принципы формирования множества критериев.
6. Основные типы шкал. Их характеристики. Аксиомы.
7. Методы оценки альтернатив.
8. Основные особенности выявления системы предпочтения личности, принимающей решения.
9. Концептуальная модель системы поддержки принятия решения.
10. Научно обоснованные методы принятия решений. Методы и требования, предъявляемые к ним.
11. Решающее правило. Множество Эджворта-Парето.
12. Общая схема решения многокритериальных задач ПР.
Классификация типов проблем
Существуют большие различия в природе изучаемых проблем принятия решения. Эти различия одним из первых заметил Г.Саймон, который предложил удачную классификацию проблем. Согласно этой классификации, проблемы подразделяются на три класса, т.е. в тех случаях, когда существуют адекватные математические модели устройств или процессов и есть опытные данные.
1. Хорошо структурированные или количественно сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости выяснены настолько хорошо, что они могут быть выражены в числах или символах, получающих в конце концов численные оценки.
2. Неструктурированные или качественно выраженные проблемы, в которых известен только перечень основных параметров, но количественные связи между ними установить нельзя (нет необходимой информации). Иногда ясно лишь, что изменение параметра в определенных пределах сказывается на решении. В таких случаях структура, понимаемая как совокупность связей между параметрами не определена, и проблема называется неструктурированной .
3. Слабо структурированные или смешанные проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.
Согласно этой классификации типичные проблемы ИО можно назвать хорошо структурированными, т.е. существуют реальности допускающие строгое количественно описание и определяющие существование единственного очевидного критерия качества. Изучение реальной ситуации может требовать большого труда и времени. Необходимая информация может быть дорогостоящей.
Метод «стоимость – эффективность» представляет собой первые попытки сравнения вариантов решений для слабо структурированных проблем.
Типичные неструктурированные проблемы: проблема выбора профессии, конкурсного отбора проектов, выработки политики отбора статей в журналах, тендер.
Слабоструктурированные и неструктурированные проблемы исследуются в рамках научного направления, называемого принятием решений при многих критериях.
Основные элементы многокритериальной задачи принятия решений
Многокритериальная модель задачи принятия решений (ПР) может быть формально представлена в виде кортежа:
T – анализ проблемной ситуации и выявление целей и определение типа задачи,
S – множество альтернатив,
K – множество критериев,
X – множество шкал,
F – отображение множества альтернатив на векторных оценок,
P – система предпочтений ЛПР,
R – решающее правило.
Формирование множества шкал
Сравнение альтернатив удается провести лишь в том случае, если интенсивности свойств, определяемых выбранными критериями, могут быть измерены у всех альтернатив. Таким образом, возникает необходимость в разработке оценочных шкал критериев. Типы шкал и их основные характеристики приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
| Аксиомы | Примечания. Примеры. |
| Номинальная (классификационная) | |
| (a, b, c – значение шкалы) Аксиома тождества эквивалентности: - либо , либо ; - если ; - если и , то . Измерение состоит в том, чтобы проводимый эксперимент над объектом, определил принадлежность результата к тому или иному классу. | Суть измерения альтернатив в номинальной шкале – это разбиение их на классы эквивалентности по тому или иному признаку. Отличительная черта: отсутствие математических свойств. Это крайний случай шкалы, и она слабо используется для критериев. Только операция соблюдения или несовпадения . |
| продолжение табл. 1.3 | |
| Примеры: семейное положение (одинокий. Женат, разведен, вдовец); политическая принадлежность, группа крови и т.д. | |
| Порядковая (ранговая) | |
| Если, кроме вышеуказанных аксиом, удовлетворяет следующим аксиомам упорядоченности : - либо a b, либо b a; - если a b и b c, то a c. | Отношение порядка не определяет расстояние между значениями шкалы. Примеры: служебное положение, образование, воинское звание; шкалы силы ветра, твердости, землетрясения и т.п. |
| Интервальная | |
| Если, кроме вышеуказанных аксиом, можно ввести между любыми двумя значениями метрическое расстояние, т.е. какую-либо функцию, удовлетворяю-щую аксиомам: - ; - если a=b; - - Эти шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы длины, а связь между показаниями в таких шкалах является линейной: y=ax+b, a>0, . | Если два интервала в одной шкале и , а при другом выборе начала отсчета и единицы длины числами и , то имеет место Примеры: температура (по Цельсию либо по Фаренгейту); время (у христиан от рождества Христова, у мусульман – Магомета) и т.п. |
| Отношений | |
| Если, кроме вышеуказанных аксиом, выполняются аксиомы аддитивности: A+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). Если a=p и b>0, то a+b>p, Если a=p и b=g, то a+b=p+g; | Отношение двух значений шкалы не зависит от того, в какой из таких шкал произведены измерения , т.е. y=ax Примеры: длина, вес, электрическое сопротивление, деньги. |
Построение решающих правил
Решающее правило представляет собой принцип сравнения векторных оценок и вынесение суждений о предпочтительности одних по отношению к другим. Оно может быть задано в виде аналитического выражения, алгоритма или словесной формулировки. Упорядочение множества А с помощью некоторого решающего правила и использование свойств отображения F позволяет осуществить переход к упорядочиванию непосредственно альтернатив на множестве S.
Решающие правила, используемые в многокритериальных задачах, можно разделить на:
Эвристические;
Аксиоматические.
При эвристическом подходе решающее правило представляет собой способ свертывания критериев. При этом возникает необходимость в определении некоторых параметров свертки, которые несут информацию о важности критерия (т.е. о компромиссе между критериями).
Аксиоматический подход основан на использовании теории полезности, авторами которой являются Д.Нейман и Д. Моргенштерн. Его отличают строгость, высокая точность в смысле малой вероятности ошибок. Но этот подход предполагает хорошее знание ЛПР решаемой задачи. ЛПР должен обладать четкой структурой предпочтений. Это более трудоемкая группа методов.
Требования и ограничения.
В итоге 70-х годов появился новый класс систем – системы поддержки принятие решений (СППР). Круг практического применения СППР стремительно расширяется. Это обусловлено следующими причинами:
Пройден определённый этап в использовании вычислительных машин в задачах организационного управления; стали явнее причины провалов и неудач АСУ, которые использовались для обеспечения потребности руководителей;
Накопились свидетельства о малом использовании классических моделей исследования операций в задачах принятия решений; пришло осознание того, что следует создать программные системы, ориентированные не на автоматизацию функций ЛПР, а на предоставление ему помощи в поисках хорошего решения;
Появились результаты психологического исследования ЛПР принятия решений, но выяснилось, что человеческая система переработки информации ограничена, ему надо помогать специальным образом, организуя процесс принятия решений.
СППР является интерактивной системой, которая позволяет ЛПР использовать данные, знания, объективные и субъективные модели для анализа и решения слабоструктурированных и неструктурированных проблем. Концептуальная схема СППР приведена на рис. 1.4.
Блок АП: структуризация проблемы, проведение настройки СППР на предметной области пользователя (сформулировав множество критериев, альтернатив, множество шкал).
Блок ПР: на входе поступает структурированная проблема, с другой стороны определяется тип задачи ПР, а также выбор решающего правила.
Блоки БД, БМ, БЗ осуществляют поддержку блоков АП и ПР.
Требования: корректные и научно-обоснованные методы должны удовлетворять:
1. В методе должны использоваться только такие способы получения информации от ЛПР и экспертов, которые соответствуют возможностям человеческой системы переработки информации.
2. В методах ПР должны быть предусмотрены средства проверки информации на непротиворечивость. Мы будем использовать алгоритм с использование основного правила логического вывода. A, B, C – альтернативы.
3. Любые соответствия между вариантами решений должны объясняться на основе информации, полученной только от ЛПР.
4. Любые допущения относительно решающего правила должны быть математически обоснованы.
Ограничения. Следует подчеркнуть слово «поддержка». СППР только помогает принять решение, но они никогда не смогут заменить творчески мыслящего руководителя.
Множество Эджворта-Парето
Определение. Альтернатива A доминирует над альтернативой B если:
Определение. Множество недоминируемых альтернатив является множеством Эджворта-Парето.
Выделение множеств Эджворта-Парето является первым этапом решения задачи выбора.
Метод смещенного идеала
Эта целая группа методов, которые отличает следующие особенности:
Формирование идеального объекта, который в общем случае не принадлежит множеству альтернатив.
Наличие процедуры отсеивания, т.е. исключения из исходного множества альтернатив худших.
Полезность – воображаемая мера психологической и потребительской ценности различных благ.
Дано:
,
– оценка i-той альтернативы по j-му критерию.
Где – матрица принятия решений (МПР).
1. Формирование идеального и неидеального объекта
Для мажорируемых критериев:
где - подмножество мажорируемых критериев, то есть полезность объекта возрастает при возрастании оценки критериев.
Для минорируемых критериве:
где – подмножество минорируемых критериев, то есть полезность объекта возрастает при убывании оценки критериев
2. Переход к относительным единицам
3. Выявление системы предпочтения ЛПР
Чем больше, тем важнее критерий
4. Определение расстояния, текущего i объекта до неидеального объекта с использованием меры Минковского
где p = 1, 2, 3, 4, 5.
Для того, чтобы оба сомножителя и были одинаково направлены, т.е. увеличивались и соответственно вычисленному учету при оценки объекта.
5. Упорядочивание альтернатив при различных заданиях параметра. Обычно Р = .
Например: S={ }
P=1 
P=2 
P=3 
P=4 
P=5 
6. Процедура отсеивания, суть которой заключается в исключении из множества S альтернативы, которая наиболее часто находится на последнем месте (в рассмотренном примере это ).
7. Алгоритм повторяется начиная с первого шага, до тех пор, пока множество S не станет пустым.
Преимущества :
Метод работает при большом количестве объектов и критериев, т.е. полиномиальная сложность.
Недостатки:
Сложная операция для ЛПР оценки возможности критериев числовыми значениями;
Шкалы критериев должны быть количественными;
Результат получен в ранговой шкале.
С применением энтропии
1. Сформируем матрицу принятия решений
– оценка по j-ому критерию для i-ой альтернативы.
2. Проведем нормировку
где i = , j = ,
3. Определим уровень энтропии для каждого критерия
K , где j= , k=
4. Уровень изменчивости
5. Определим
6. Если имеется экспертная оценка , то комплексная важность критерия определяется
Пример выполнения лабораторной работы
Лабораторная работа №1
Методы принятия решений: «смещённого идеала» и перестановок
Цель работы: изучение основных алгоритмов метода «смещённого идеала» и перестановок.
Постановка задачи: провести ранжирование альтернатив выбранной предметной области методом «смещённого идеала» и методом перестановок. Предварительно сформировать множество Эджворта-Парето. Матрица принятия решений – 4x4. При определении важности критериев учитывать степень изменчивости их оценок. Сравнить полученные результаты.
1. Назначение и цель лабораторной работы.
2. Постановка задачи в соответствующей предметной области.
3. Полученные результаты. Выводы.
Пример выполнения
Предметная область – пылесосы.
Критерии – мощность, ёмкость пылесборника – мажорируемые, вес, цена – минорируемые.
Альтернативы:
1. Bosch BSG 82425;
2. Electrolux Z 8810 UltraOne;
3. Samsung SC6530;
4. Zelmer Aquawelt 919.0 ST.
Исходные данные
Альтернативы соответствуют множеству Эджворта-Парето.
Важность критериев (экспертная оценка)
1. Идеальный и неидеальный объекты:
3. Определение комплексной важности:
А) Матрица принятия решений:
| k1 | k2 | k3 | k4 | |
| s1 | 6,1 | |||
| s2 | 1,9 | |||
| s3 | 5,2 | |||
| s4 | 2,5 | 5,5 |
| k1 | k2 | k3 | k4 | |
| s1 | 0,435233 | 0,483871 | 0,256303 | 0,2624935 |
| s2 | 0,227979 | 0,153226 | 0,294118 | 0,2600726 |
| s3 | 0,165803 | 0,16129 | 0,218487 | 0,1103234 |
| s4 | 0,170984 | 0,201613 | 0,231092 | 0,3671105 |
В) Энтропия (Е):
- Определение расстояния от неидеального объекта до i-го:
| p=1 | p=2 | p=3 | p=4 | p=5 | |
| s1 | 0,791662 | 0,477865 | 0,412879 | 0,3865424 | 0,372555 |
| s2 | 0,213934 | 0,1591 | 0,147779 | 0,1441305 | 0,142768 |
| s3 | 0,361813 | 0,340586 | 0,340231 | 0,3402231 | 0,340223 |
| s4 | 0,066068 | 0,05048 | 0,049077 | 0,0488882 | 0,048858 |
- Ранжирование альтернатив и отсеивание:
P1: S1>S3>S2>S4
P2: S1>S3>S2>S4
P3: S1>S3>S2>S4
P4: S1>S3>S2>S4
P5: S1>S3>S2>S4
Найдена наихудшая альтернатива – S4. Исключаем её.
Шаг №2.
Матрица принятия решений (x):
2) Переход к относительным единицам (d):
Б) Нормированная матрица принятия решений (p):
| k1 | k2 | k3 | k4 | |
| s1 | 0,525 | 0,606061 | 0,333333 | 0,4147541 |
| s2 | 0,275 | 0,191919 | 0,382514 | 0,410929 |
| s3 | 0,2 | 0,20202 | 0,284153 | 0,1743169 |
В) Энтропия (Е):
1) Идеальный и неидеальный объекты:
3) Определение комплексной важности:
А) Матрица принятия решений:
| k1 | k2 | k3 | k4 | |
| s1 | 6,1 | |||
| s3 | 5,2 |
Б) Нормированная матрица принятия решений (p):
4) Определение расстояния от неидеального объекта до i-го:
Комплексная важность ():
| 0,312509 | 0,333819 | 0,013448 | 0,3402228 |
Для перестановки {S1 S2 S3 S4}
Вес перестановки:
Веса всех перестановок:
| Перестановка | Вес |
| 1,22314 | |
| 1,808454 | |
| 1,973102 | |
| 1,362172 | |
| 1,197525 | |
| 1,947486 | |
| 0,584034 | |
| 1,169348 | |
| -0,00128 | |
| -1,94749 | |
| -0,77686 | |
| -1,36217 | |
| 1,387787 | |
| 0,776858 | |
| 0,748681 | |
| -1,19752 | |
| -1,16935 | |
| -1,80845 | |
| -0,74868 | |
| 0,001281 | |
| -1,38779 | |
| -1,9731 | |
| -0,58403 | |
| -1,22314 |
Лучшая перестановка (с максимальным весом) – 1324. Получаем лучшую альтернативу S1 – Bosch BSG 82425.
Лабораторная работа № 2
Постановка задачи
Провести оценку альтернатив при рассмотрении проблемы выбранной предметной области. Количество уровней – 3. Количество критериев не менее 5. Количество альтернатив не менее 3.
- Название лабораторной работы.
- Цель работы.
- Постановка задачи в соответствующей предметной области.
- Полученные результаты. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Методологические основы АИП.
2. Принципы и аксиомы АИП.
3. Определение иерархии и её формализация.
4. Шкала парных сравнений. Требования к ней. Закон Вебера-Фехнера.
5. Основные соотношения для идеально-согласованной матрицы парных сравнений (МПС).
6. Формулировка задачи обработки реальной МПС.
8. Принцип иерархической композиции. Локальные и глобальные приоритеты.
Теоретические сведения
Задачи принятия решений остро стоят перед: работниками управ- ления, экономистами, финансистами, социологами, оценщиками, работниками здравоохранения, военными, психологами, работниками социальной сферы, которые всегда стоят перед выбором наилучшего, наиболее нерискованного, дешевого решения.
Система поддержки принятия решений на основе АИП может использоваться при решении следующих типовых задач:
Оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;
Определение политики инвестиций в различных областях;
Задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных производств, пунктов обслуживания);
Распределение ресурсов;
Анализ рисков;
Проведение анализа проблемы по методу «стоимость – эффективность»;
Планирование от достигнутого и планирование желаемого будущего;
Стратегическое планирование;
Разрешение конфликтов;
Проектирование и выбор оборудования, товаров;
Выбор профессии, места работы, подбор кадров;
Http://decisionlens.com/
Http://expertchoice.com/
Основные положения метода анализа иерархий были разработаны известным американским математиком Т. Л. Саати и опубликованы в 1977 г. Томас Саати является одним из самых ярких представителей прикладной науки. Об этом говорят не только математическая эрудиция и глубина новых теоретических результатов, но и диапазон приложений. Он был прав, предпослав к одной из своих монографий эпиграф: «Я люблю обе стороны математики: чистую – как возвышенный уход от реальности, прикладную – как страстное стремление к жизни».
АИП используется для решения слабо структурированных и неструктурированных проблем. Методология решения таких проблем опирается на системных подход, при котором проблема рассматривается как результат взаимодействия множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и автономная совокупность.
Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления: один – умение наблюдать и анализировать наблюдения (т.е. разбить проблему в целом на составляющие части, более доступные для решения), другой – способность устанавливать отношения между частями, оценивая уровень (интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее восприятие наблюдаемого.
На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы три принципа, реализация которых и является содержанием АИП:
Принцип идентификации и декомпозиции;
Принцип дискриминации и сравнительных суждений;
Принцип синтеза.
АИП фокусируется на достижении целей. Его использование приводит к «рациональным решениям» в соответствии со следующим определением.
Рациональным решением называется решение, которое наилучшим образом достигает множества целей, поставленных ЛПР.
Ключевой момент здесь является фокусирование на целях, а не на альтернативах или атрибутах.
Прямой метод
Рассмотрим алгоритм над идеально-согласованной матрицей т.к. результаты в этом случае известны
1. Определим среднее геометрическое каждой строки R
,
2. Вычислим сумму средних геометрических, полученных в п. 1
3. Разделим среднее геометрическое каждой строки R (п. 1) на значение, полученное в п. 2, т. е. получим нормированное значение собственного вектора.
,
Для получения выполним следующие шаги:
4. Определим сумму элементов для каждого столбца матрицы R
,
5. Определим скалярное произведение векторов, полученных в п. 3 и в п. 4., что соответствует максимальному собственному числу идеально согласованной матрицы R .
Итерационный метод
Основан на теореме:
Теорема. Для положительной квадратной матрицы R собственный вектор , соответствующий максимальному собственному значению , с точностью до постоянного сомножителя C определяется по формуле:
Где k=1,2,3… - т.;
Единичный вектор;
c – константа;
t – знак транспонирования;
Вычисление собственного вектора производятся до достижения заданной точности:
где k = 1, 2, 3, … – номер итерации; – допустимая погрешность.
С достаточной для практики точностью принимается =0,01 независимо от порядка матрицы. Максимальное собственное значение вычисляется по формуле
В результате обработки матрицы получаем «локальные» приоритеты элементов группы по отношению к родителю.
Переменные состояния
Каждый канонический сценарий описывает состояние системы. Чтобы их охарактеризовать используют список переменных, которые называются переменными состояния. Каждый из канонических сценариев может быть описан на языке изменения этих переменных под статус кво. Интенсивность изменений предлагается измерять с помощью шкалы разностей, представленной в табл. 2.7.
Таблица 2.7.
Калибровка переменных состояний относительно контрастных сценариев на примере материального положения трудоспособного населения представлена в табл.2.8.
Экономическая часть
В экономической части было произведено сравнение абонентского программного обеспечения по указанным критериям и определение лучшего из них, пользуясь теорией решения многокритериальных задач (МКЗ). Выбор лучшего пакета производился с точки зрения специалиста в области глобальных сетей и с точки зрения пользователя, никогда не имевшего дела с сетями.
Решение указанной задачи производилось методом "смещенного идеала". Этот метод, описанный в , предназначен для решения задач выбора наиболее предпочтительного объекта, в случае большого количества объектов и критериев сравнения
Метод "смещенного идеала" предполагает следующее.
Пусть множество А включает в себя конечное число многокритериальных объектов i=1...N Все критерии измеряются по шкале интервалов или отношений.
Идеальный объект формируем исходя из максимума по полезности значения критерия достигаемого на множестве А. То есть, если полезность многокритериального объекта возрастает при увеличениии критерия и, если полезность многокритериального объекта убывает при увеличениии критерия. Если идеальней объект принадлежит к множеству А, то он и будет решением многокритериальной задачи.
Cформируем также наихудий объект исходя из минимума по полезности значения критерия достигаемого на множестве А.
От обычных шкал измерения перейдем к шкалам нормированным в интервале
Можно интерпретировать, как расстояние многокритериального объекта по критерию от идеального объекта. При этом все для идеального объекта будут равны 0, а все для наихудшего объекта будут равны 1.
После этого лицам принимающим решения (ЛПР) следует предложить определить относительную важность критериев. В случае, когда ЛПР затрудняются задать точно,так как недостаточно уяснили цель принятия решения, необходимо использование энтропийного подхода к определению весов относительной важности критериев. Предпосылками этого подхода являются следующие утверждения.
Если разброс некоторого критерия у объектов, принадлежащих множеству А невелик или равен нулю, следовательно этот критерий не является информативным; его можно или вообще не учитывать или учитывать с небольшим весом. И наоборот, если разброс критериев велик, то это указывает на то, что именно на этот критерий при выборе лучшего объекта следует обратить особое внимание.
В качестве меры разброса единичных критериев обычно используют энтропию. Для рассматриваемого метода энтропия по каждому из критериев вычисляется по формуле
Поскольку ЛПР не сформировали для себя четко систему предпочтений, оценки могут иметь большие ошибки. Поэтому в качестве весов критериев берем.
В качестве метрики для сравнения объектов следует использовать выражение. При увеличении р уменьшается вклад в критериев, значения которых близки к наихудшим, и наоборот, резко увеличивается вклад критериев, значения которых близки к идеальным.
Метод "смещенного идеала" оперирует с характеристиками объектов выраженными в цифрах, поэтому качественные критерии сравнения объектов были переведены в цифры.
Оцифровка критериев была произведена следующим образом.
Таблица 1
Примечание: Оценка критерия "документация" производилась следующим образом: 0 (документация отсутствует), 1(имеется неполная документация, язык - английский), 2(имеется неполная документация, язык - русский), 3(имеется полная документация, язык - английский), 4(имеется полная документация, язык - русский).
Согласно таблице 1 характеристики каждого объекта исследований были переведены в цифровое выражение. Были также сформированы идеальный и наихудший объекты. В таблице 2 приведены цифровые характеристики всех объектов исследования, а также идеального и наихудшего объектов.
Таблица 2
Продолжение таблицы 2
Для получения объективной информации был произведен опрос сотрудников и абонентов сети Х-Атом. По результатам опроса были определены коэффициенты важности для каждого критерия.
В таблице 3 приведены коэфициенты относительной важности критериев, определенные в результате опроса сотрудников и абонентов сети Х-Атом.
Таблица 3
Для осуществления многокритериального выбора на языке С++ была написана программа экспертного выбора. Текст программы приводится в приложении 11.
Исходными данными для программы экспертного выбора служат: количество и названия объектов сравнения, количество и названия критериев сравнения, фактические значения критериев для каждого пакета абонентского программного обеспечения и коэффициенты относительной важности для каждого критерия сравнения. В результате вычислений программа определяет лучший пакет абонентского программного обеспечения и выводит его название на экран.
При помощи программы экспертного выбора из всех пакетов абонентского программного обеспечения были выбраны: лучший пакет с точки зрения специалиста и лучший пакет с точки зрения пользователя.
Были получены следующие результаты.
С точки зрения специалиста лучшим является пакет Ka9q. Это вполне соответсвует действительности, поскольку пакет Ka9q распространяется свободно вместе с исходными текстами и предоставляет пользователям практически все сетевые услуги. Наличие исходных текстов, дает возможность модификации пакета, а также использования его в качестве основы, для нового пакета абонентского программного обеспечения. Основным недостатком пакета является его очень плохой интерфейс и сложная настройка, но для специалиста это не очень важно.
С точки зрения пользователя лучшим является пакет абонентского программного обеспечения Minuet. Это также соответствует действительности, поскольку пакет Minuet предоставляет практически все сетевые услуги и имеет отличный пользовательский интерфейс. Его недостатком является отсутствие исходных текстов и, следовательно, невозможность модификации.
Хотя программа была написана для конкретного применения метода смещенного идеала, в ней предусмотрена возможность сравнения любых многокритериальных объектов методом смещенного идеала.
Элементы охраны труда и защиты информации
Пользователи решившиe подключить свой компьютер к сети должны обратить особое внимание на защиту информации. Строгие требования к защите информации связаны с тем, что подключенный к сети компьютер становится доступным из любой точки сети, и поэтому несравнимо более подвержен поражению вирусами и несанкциоированному доступу.
Так несоблюдение режима защиты от несанкционированного доступа может привести к утечке информации, а несоблюдение режима защиты от вирусов может привести к выходу из строя важных систем и уничтожению результатов многодневной работы.
Компьютеры работающие в многозадачных операционных системах (типа Unix, VMS) мало подвержены заражению вирусами, но их следует особо тщательно защищать от несанкционированного доступа. В связи с этим пользователи многозадачных операционных систем должны выполнять следующие требования.
Каждый пользователь должен иметь свое индивидуальное имя входа в Unix-сервер и пароль.
Установленный для него пароль пользователь не должен сообщать другим лицам.
Смену пароля пользователь должен производить не реже одного раза в квартал, а также во всех случаях утечки информации о пароле.
Администраторам и пользователям файл-серверов ЛВС NetWare необходимо также следовать приведенным выше требованиям в рамках своей ЛВС. Это связано с тем, что если в файл-сервере, подключенном к сети, загружена утилита Iptuunel, то файл-сервер также становится доступным из любой точки сети.
ПЭВМ работающие в однозадачных операционных системах (типа MS-DOS), достаточно защищены от несанкционированного доступа (в силу их однозадачности), но их следует особенно тщательно защищать от поражения вирусами.
К методам гибкого приоритета относятся в основном методы и алгоритмы выбора наиболее предпочтительного объекта (альтернативы), представляющие преимущественно интерактивные процедуры, зависящие от специфики решаемой задачи. В группе интерактивных методов наиболее распространены принципы выбора предпочтительного объекта (метод «смещенного идеала» ).
6.3.1. Метод «смещенного идеала»
Данный метод включает в себя большую группу алгоритмов, к общим признакам которых можно отнести наличие «идеального объекта» и наличие процедур отсеивания.
При формировании «идеального объекта» вполне возможно, что его образ может не принадлежать реальному множеству объектов{Y 1 , Y 2 , …, Y n } или даже вообще не существовать. При этом объекты из множества {Y 1 , Y 2 , …, Y n } сравниваются с моделью сформированного «идеального объекта» и происходит процедура отсеивания. При построении модели «идеального объекта» важно использовать знания и опыт специалиста (ЛПР), так как он точнее понимает свойства и параметры, взятые из лучших реальных объектов и составляющие содержание «идеального объекта». Процедура отсеивания характеризуется исключением из исходного множества объектов {Y 1 , Y 2 , …, Y n } подмножеств, не содержащих искомый наиболее предпочтительный объект.
В общем виде процедура поиска наиболее предпочтительного объекта состоит из ряда этапов:
1. Формирование «идеального объекта».
2. Анализ множества объектов для установления соответствия «идеальному объекту».
3. Интерактивное исключение тех объектов из исходного множества {Y 1 , Y 2 , …, Y n }, которые признаны при анализе заведомо не наилучшими.
4. Переход к п.1 для сокращения множества объектов.
Пример.6.3. Рассмотрим решение задачи выбора станка ЧПУ (пример 6.3) методом смещенного идеала.
На основании данных, приведенных в таблице 6.7, сформируем «идеальный объект» по указанным критериям со значениями, равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным, полезность по которым убывает. Таким образом, получим «идеальный объект» Y + , вектор значений которого составлен для конкретных значениях критериев:
Y + Ì{1; 3,5; 40}.
Кроме «идеального объекта» сформируем также модель «наихудшего объекта» Y - :
Y – Ì{16; 1; 100}.
Для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, так как критерии разнородные, преобразовав их значения по формуле:
| , | (6.3) |
где k j – текущее значение критерия сравниваемого объекта.
Тогда, переходя к относительным значениям критериев, получим следующую таблицу (табл.6.8):
Таблица 6.8. Матрица вариантов в относительных единицах
| Станки | Критерии | ||
| k 1 | k 2 | k 3 | |
| Y 1 | 0,27 | 0,17 | |
| Y 2 | 0,6 | 0,8 | |
| Y 3 | 0,07 | 0,8 | |
| Y 4 | |||
| Y 5 | 0,33 | 0,2 | |
| Y 6 | 0,17 |
Значения критерия в относительных единицах d ji интерпретируются как расстояния j -го объекта по критерию k i до идеального объекта. Идеальный объект имеет расстояние d ji = 0, а наихудший d ji = 1.
Если критерии имеют разную степень важности, то необходимо задать относительную важность критериев в виде весов w . Пусть в нашем случае w 1 =6, w 2 =6, w 3 =2. Задание такого вектора весов критериев показывает, что наиболее предпочтительны станки с меньшим временем выполнения операций и большей надежностью.
Для выявления не наилучших объектов найдем свертки (расстояния до идеального объекта), используя следующую обобщенную метрику:
 | (6.4) |
где р – степень концентрации, позволяющая переходить к различным метрикам. Например:
1. Для р
=1 
имеем взвешенную метрику. И чем больше значение метрики L
, тем ближе объект находится к идеальному.
2. Для р
=2 получаем функцию L
– взвешенное Евклидово расстояние. 
Вычислим для наших объектов разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения сведем в таблицу (табл.6.9):
Таблица 6.9. Матрица расстояний различных стратегий
| Степень концентрации | Значения меры расстояния | |||||
| L (Y 1) | L (Y 2) | L (Y 3) | L (Y 4) | L (Y 5) | L (Y 6) | |
| p =1 | 5,9 | 5,6 | 7,1 | 8,8 | 7,6 | |
| p= 2 | 4,7 | 3,3 | 5,7 | 6,3 | 6,2 |
Вычисляя интегральный критерий для различных значений степени концентрации, получим следующие ранжировки предпочтений по L :
для р =1 Y 5 f Y 6 f Y 3 f Y 4 f Y 1 f Y 2 ;
для р =2 Y 5 f Y 6 f Y 4 f Y 3 f Y 1 f Y 2 ;
Не наилучшие решения – это те, которые всегда не доминируют, т.е. это альтернативы Y 1 и Y 2 (наименее предпочтительные). Исключаем их из рассмотрения, получая сокращенное исходное множество альтернатив в виде {Y 3 , Y 4 , Y 5 , Y 6 }. Для них опять строятся идеальный Y + ={1; 3,5; 50} и наихудший Y – ={16; 1; 100} объекты, и процедура повторяется до тех пор, пока не выявится один доминирующий объект или не станут ясны предпочтения ЛПР.
Интерактивный метод смещенного идеала
Метод предназначен для выделения одного или подмножества наиболее предпочтительных объектов. Характерными особенностями метода являются:
a) наличие процедуры формирования "идеального" объекта (), служащего своего рода целью, к которой нужно стремиться. Такой "идеал", как правило, недостижим и не существует реально, но его полезно иметь для понимания ЛПР своих целей;
b) на каждой итерации производится исключение объектов, не претендующих на наиболее предпочтительные, ᴛ.ᴇ. не выделяются "лучшие" объекты, а исключаются "худшие".
В общем виде алгоритм метода следующий. Сначала исключаются доминируемые объекты, так как среди них не должна быть наиболее предпочтительного.
Формируется "идеальный" объект из наиболее предпочтительных значений критериев и "антиидеальный" из наименее предпочтительных значений. Определяются расстояния от объектов из исходного множества до "антиидеала", на основании которых выделяются "худшие" объекты. Среди таких объектов, как правило, есть объекты, имеющие одно наиболее предпочтительное 
значение (объекты и на рис 2.2).
После исключения "худших" объектов вновь переходим к этапу формирования "идеала", и он изменяется, приближаясь к реальным объектам (на рисунке это ).
Процедура заканчивается, когда останется небольшое число объектов, которые и считаютсянаиболее предпочтительными.
|
После выбора наиболее предпочтительного объекта у ЛПР возникает неудовлетворенность, вызванная тем фактом, что выбран именно данный объект, а не другой. Такую неудовлетворенность называют конфликтом после решения .
На первых итерациях метода превалирует конфликт перед решением. На последующих итерациях "идеал" приближается к реальным объектам, и конфликт перед решением уменьшается. При этом конфликт после решения может увеличиваться. Это свидетельствует о недостаточной изученности ЛПР решаемой задачи.
Рассмотрим подробно алгоритм метода на примере выбора организации для работы.
Пусть исходное множество организаций включает =8 объектов. В качестве критериев используем следующие три: k 1 – уровень заработной платы (тыс. руб. в месяц), k 2 – удаленность (минут проезда до места работы) k 3 – перспектива роста (в баллах от 0 до 10). Ниже представлены 8 организаций с значениями критериев:
| Название объекта | Зар. Размещено на реф.рф Плата | Удаленность | Перспективы |
| Вариант 1 | |||
| Вариант 2 | |||
| Вариант 3 | |||
| Вариант 4 | |||
| Вариант 5 | |||
| Вариант 6 | |||
| Вариант 7 | |||
| Вариант 8 |
Сначала проанализируем множество вариантов и исключим доминируемые. Среди 8-ми вариантов шестой вариант является доминируемым по отношению к варианту 3, в связи с этим шестой вариант исключаем.
Этап 1. Формирование "идеального объекта , где – максимальное по предпочтению значение критерия среди всех объектов, ᴛ.ᴇ. , в случае если предпочтение объекта возрастает при увеличении , или , в случае если предпочтение объекта возрастает при уменьшении критерия.
В случае если "идеал" принадлежит множеству объектов, то он и будет наиболее предпочтительным. Но так как МКЗ обычно решается на множестве эффективных объектов, то "идеальный" объект не будет принадлежать исходному множеству.
Наэтом же этапе формируется "антиидеальный" объектиз наименее предпочтительных значений.
В рассматриваемом примере ʼʼидеальныйʼʼ и "антиидеальный" объекты:
Этап 2. Переход от физических единиц измерения критериев к относительным единицам в соответствии с выражением:
В относительных единицах все критерии будут изменяться в интервале , при этом, чем меньше , тем ближе объект по критерию к "антиидеальному".
| Название объекта | Зар. Размещено на реф.рф Плата | Удаленность | Перспективы |
| Вариант 1 | 0,25 | 0,8 | 0,2 |
| Вариант 2 | 0,4 | ||
| Вариант 3 | 0,875 | 0,4 | 0,2 |
| Вариант 4 | 0,5 | 0,6 | |
| Вариант 5 | 0,6 | ||
| Вариант 7 | 0,2 | ||
| Вариант 8 | 0,625 | 0,4 | 0,8 |
Первые два этапа выполняются автоматически без участия ЛПР.
Этап 3. Задание весов критериев (коэффициентов относительной важности). ЛПР, исходя из своих суждений о важности критериев, задаёт веса критериев 
. Пусть V 1
= 0.4; V 2
= 0.3; V 3
= 0.3.
Этап 4. Рассчет расстояния объектов до "антиидеала". В качестве метрики используется следующее выражение:
Используя разные , можно получить различные метрики. Так, при получим аддитивный оператор, а при (2.2)переходит в 
. Чем больше значение , тем дальше объект от "антиидеала" и ближе к "идеальному". На следующем, пятом, этапе, задавая различные значения p
, определяются разные метрики для сравнения с "идеальным". Рассчитаем метрики
| p=3 | p=2 | p=1 | p=0,3 | |
| В 1 | 0,247 | 0,267 | 0,40 | 4,62 |
| В 2 | 0,306 | 0,323 | 0,42 | 1,97 |
| В 3 | 0,355 | 0,375 | 0,53 | 5,74 |
| В 4 | 0,344 | 0,403 | 0,68 | 8,67 |
| В 5 | 0,412 | 0,439 | 0,58 | 2,77 |
| В 7 | 0,400 | 0,404 | 0,46 | 1,78 |
| В 8 | 0,315 | 0,367 | 0,61 | 7,65 |
Этап 4. Исключение ʼʼбесперспективныхʼʼ вариантов. Для этого при каждом , ᴛ.ᴇ. для каждой метрики все объекты упорядочиваются по близости к "идеалу" по величине . В результате получим следующую матрицу:
| p=3 | p=2 | p=1 | p=0,3 | Сумма p | |
| Вариант 4 | |||||
| Вариант 5 | |||||
| Вариант 8 | |||||
| Вариант 3 | |||||
| Вариант 7 | |||||
| Вариант 2 | |||||
| Вариант 1 |
В этой матрице варианты упорядочены по значению суммы р, полученной сложением по строке рангов вариантов.
ЛПР принимает решение об исключении объектов, не претендующих на наиболее предпочтительный. Очевидно, что это те объекты, которые при различных метриках (разных p ) находятся в конце упорядоченных рядов. Действительно, в случае если независимо от выбранной метрики объект далек от "идеала", то есть все основания исключить его.
Видим, что варианты 1 и 2 по большинству р находятся на последних местах, ᴛ.ᴇ. он наиболее далеки от идеального объекта и значит, не претендуют на наилучший вариант. По этой причине исключаем варианты 1 и 2.
Снова переходим к первому этапу – формирования идеального и антиидеального объектов.
Видим, что характеристики идеального и антиидеального объектов изменились, они сместились.
Заново пересчитаем матрицу , а затем значения метрик , получим следующую матрицу
| p=3 | p=2 | p=1 | p=0,3 | Сумма p | |
| Вариант 4 | |||||
| Вариант 5 | |||||
| Вариант 3 | |||||
| Вариант 7 | |||||
| Вариант 8 |
Обратите внимание порядок вариантов изменился из-за того, что характеристики идеального и антиидеального объектов изменились.
Исключаем Вариант 8 и вновь выполняем этапы 1, 2, 4,5 получаем
Из оставшихся нужно рассматривать в качестве наиболее предпочтительных варианты 4 и 5.
В заключение отметим, что данный метод наиболее эффективен при больших размерностях задачи.
Интерактивный метод смещенного идеала - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интерактивный метод смещенного идеала" 2017, 2018.
Одним из наиболее широко известных групп задач данного класса являются задачи, имеющие обобщенное название - оптимизационные задачи. Приведем пример решения задачи.
Задача оптимизации прибыли . Фирма, специализирующаяся на производстве расфасованных орешков, выпускает три различных продукта (продукт 1, продукт 2 и продукт 3), каждый из которых получается путем определенной обработки ореха и подлежит соответствующей упаковке. В начале технологического процесса необработанный орех сортируется по размеру и качеству, после чего его распределяют по различным поточным линиям.
Фирма может закупить орех у двух различных поставщиков. При этом объемы продуктов 1, 2 и 3, которые можно получить из одной тонны ореха первого поставщика, отличаются от объемов продуктов 1, 2 и 3, получаемых из того же количества ореха второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в табл. 7.
Исходные данные по задаче. Из данной таблицы следует, что из 1 т ореха поставщика 1 можно изготовить 0,2 т продукта 1, 0,2 т продукта 2 и 0,3 т продукта 3; остальные 0.3 m составляют отходы. У ореха поставщика 2 аналогичные показатели по отношению к продукту 3 и к отходам совпадают с соответствующими показателями для предыдущего случая; однако процент выхода продукта 1 во втором случае оказывается более высоким.
Необходимо определить, какое количество ореха следует купить у каждого из поставщиков. Для ответа необходимо знать «относительную» прибыль, получаемой фирмой в случае покупки ореха у поставщика 1 и у поставщика 2. При этом относительная прибыль при покупке ореха у поставщика 1 вычисляется путем вычитания из полной выручки в результате продажи фирмой всех видов продуктов, полученных из 1 т. необработанного ореха, закупленного у поставщика 1, стоимости 1 т ореха. Аналогично определяется относительная прибыль фирмы, получаемая за счет покупки ореха у поставщика 2. Цены на орех у поставщика 1 и у поставщика 2 могут быть разными.
Термин относительная прибыль используется постольку, поскольку в расчетах пока не принимаются другие виды расходов. К их числу могут, в частности, относиться затраты, связанные с доставкой продукции к местам сбыта и с обслуживанием покупателей. Такого рода затраты имеют место лишь после получения готовой продукции, и считаем что они одинаковы для поставщиков. Они не имеют отношения к затратам во время покупки ореха, и, следовательно, при принятии решения размещение поставщиков ореха не учитывается. Предположим, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 1 равна 5, а при закупке картофеля у поставщика 2 составляет 6. Из того факта, что относительная прибыль при закупке ореха у поставщика 2 является более высокой, однако, вовсе не следует, что фирме следует произвести закупку всего требуемого ей количества ореха у поставщика 2.
При принятии решения по закупке ореха возможны три основных варианта: либо все закупить у поставщика 1; либо у поставщика 2; либо выявить доли объемов продукции закупаемых у поставщиков. При этом, необходимо учесть следующие факторы: максимальное количество каждого продукта, которое фирма может продать, и максимальное количество каждого из продуктов, которое фирма может изготовить при заданных условиях производства. Для простоты изложения допустим, что, учитывая оба эти фактора одновременно, мы получаем следующие ограничения:
Продукт 1 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.8;
Продукт 2 не может выпускаться в количестве, превышающем 1.2;
Продукт 3 не может выпускаться в количестве, превышающем 2,4.
Эти ограничения математически можно сформулировать следующим образом.
Пусть P1 и Р2 означают количество ореха, которое будет закуплено у поставщиков 1 и 2 соответственно. Тогда значения Р1 и Р2 должны подчиняться следующим линейным неравенствам:
0,2Р1 + 0,3Р2 1.8 для продукта 1,
0,2Р1 + 0,1Р2 1.2 для продукта 2, (1)
0,3Р1 + 0,3Р2 2.4 для продукта 3,
Условия неотрицательности P1 0 и P2 0 приняты потому, что отрицательные значения этих величин (например P1 = -4) не имели бы физического смысла.
На основании системы (1) построим предельные линии ограничения. Для этого по каждому из уравнений
0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8
0,2Р1 + 0,1Р2 = 1.2
0,3Р1 + 0,3Р2 = 2.4
дадим значения крайних координат линии ограничения. Например, для уравнения
0,2Р1 + 0,3Р2 = 1.8 имеем Р1 = 0, тогда Р2 = 1.8: 0.3 = 6. Для Р2 = 0, Р1 = 1.8: 0.2 = 9.
Аналогично найдем нулевые координаты для других уравнений. Линии ограничения построены на графиках, приведенных на рис.1
Стрелка, проведенная от каждой из этих линий, указывает направление, определяемое знаком неравенства в соответствующем ограничении. Для нахождения совместного решения, совместим линии ограничения на одном графике (рис.2), которые характеризуют допустимые стратегии закупок.
Заштрихованная область является совместной областью для системы (1), значения из которой удовлетворяют условиям ограничения. Все значения Р1 и P2 удовлетворяющие условиям (1), представлены на рис.6 заштрихованной областью.
При этом необходимо сформулировать условие оптимизации и построить целевую функцию решения задачи. Оптимальными являются такие значения P1 и Р2, при которых относительная прибыль максимальна, если при этом выполняются условия (1). Таким образом, задача оптимизации сводится к максимизации выражения
5Р1 + 6Р2 max, (2)
при наличии ограничений (1).
Каждая из множества параллельных прямых, изображенных на этом рисунке, соответствует различным комбинациям значений P1 и Р2, приводящим к одному и тому же значению линейной целевой функции
Самая верхняя линия, содержащая точку в области допустимых с точки зрения условий (1) значений, определяет максимальное значение целевой функции. Оптимальное решение задается именно этой точкой.
Легко убедиться графически. что в рассматриваемом случае оптимальное решение является единственным; оно находится на пересечении прямых, определяемых двумя первыми условиями (1). Следовательно, оптимальные значения Р1 и Р2 можно вычислить путем совместного решения двух линейных уравнений
0,2Р1 + 0,3Р2 = 1,8 для продукта 1,
0,2Р1 + 0,1Р2 = 1,2 для продукта 2. (3)
Решая данную систему линейных уравнений методом подстановки или Жордана - Гаусса можно определить, что оптимальные значения Р1 = 4,5, а Р2 = 3. Тогда значение целевой функции принимает значение 40,5.
Задача JA - класса (неструктурированные критерии)
Данная группа задач может быть еще разбита на две подгруппы, связанные с количеством используемых критериев и их возможной взаимосвязью.
Для группы с небольшим количеством невзаимосвязанных целей (критериев) используется методология решения основанная на использовании различных стратегий ЛПР относительно получения результатов решения. К ним можно отнести методы: оптимизма, пессимизма (гарантированного результата), Гурвица, Сэвиджа. Рассмотрим методику решения данной группы задач.
Пример задачи JA - класса. Рассмотрим задачу выбора наилучшей структуры объема закупок оптовой компанией продукции для реализации по торговым предприятиям.
Для выбора продукции относящейся к алкогольной, были сформулированы несколько целевых критериев: - оптовая цена, (руб.), (А 1); - срок хранения, (кол-во дней) , (А 2); - ассортимент торговой марки (шт), (А 3).
Выбор производится из следующих видов продукции, предлагаемых предприятиями-поставщиками: Долина (Y 1); Фанагория (Y 2); Славянский (Y 3).
Исходные данные по задаче приведены в табл.9.
Таблица 9
Обобщенная постановка задачи
1. Принцип максимина (гарантированного результата)
Принцип максимина заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее среди наименьших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора. Данная стратегия ориентирована на получение гарантированного минимума желательности (не хуже чем "лучший из худших").
Рассмотрим действие принципа максимина на задаче. В соответствии с решающим правилом, оптимальной (u(y*)) считается альтернатива, для которой выполняется соотношение
Методика выбора включает в себя два этапа.
На первом - для каждой альтернативы выбираем по соответствующей строке минимальное значение функции полезности. Для альтернативы Y 1 минимальное из значений 1, 8, 4 является значение функции полезности f 1 = 1 соответствующее критерию А 1 ; для альтернативы Y 2 минимальное из значений 4, 2 ,5 является значение функции полезности U 2 = 2 соответствующее критерию А 2 ; для альтернативы Y 3 минимальное из значений 6, 7, 3 является значение функции полезности U 3 = 3 соответствующее критерию А 3. Тогда имеем следующие минимальные значения полезности по каждой альтернативе, соответственно:
На втором этапе из полученных минимальных значений проводится выбор максимального:
Максимальной из существующих минимальных является значение = 3, которое соответствует третьей альтернативе. Таким образом, оптимальной (по критерию максимина) является альтернатива Y 3 .
2. Принцип оптимизма.
При решении задач, относящихся к простым задачам и имеющим четкую структуризацию, обычно применяют некоторый спектр методов, одним из которых является принцип оптимизма . Структуризация проблемной ситуации состоит в исследовании и анализе структуры элементов проблемы, установлении взаимосвязи между ними, решаемой проблемой и другими проблемами, предшествующими данной, т.е. исходная проблема разбивается на составные части и упорядочивается.
Принцип оптимизма заключается в выборе в качестве наиболее эффективной той альтернативы (стратегии), которая имеет наибольшее из наибольших по всем альтернативам значение функции полезности или фактора, т.е. принцип оптимизма (по правилу «лучший из лучших») учитывает возможность получения максимального уровня желательности. Эта стратегия реализуется решающим правилом вида:
u(y*) = max max U ij .
Проведем решение исходной задачи (табл.9) с использованием данной методики.
Решение задачи по принципу оптимизма.
На первом этапе для каждой альтернативы выбираем максимальное значение по соответствующей строке.
Для альтернативы Y 1 минимальное из значений 1, 8, 4 является значение 8 соответствующее критерию А 2 ; для альтернативы Y 2 минимальное из значений 4, 2, 5 является значение 5 соответствующее критерию А 3 ; для альтернативы Y 3 минимальное из значений 6, 5 ,3 является значение 7 соответствующее критерию А 1.
На втором этапе из уже полученных максимальных значений выбирается максимальное:
Оптимальной (по критерию оптимизма) является альтернатива Y 1 .
3. Принцип Гурвица.
Для принципа выбора Гурвица характерно использование взвешенных значений принципа гарантированного результата (пессимизма) и принципа оптимизма . Здесь каждая стратегия характеризуется своим коэффициентом важности стратегии б,в = . Функция выбора, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:
u (y*)= б·u 1 (y)+(1-б)·u 2 (y),
где u 1 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;
u 2 (y) - стратегия выбора, характеризующая принцип оптимизма.
Учитывая, что
u 1 (y) = max min U i j
u 2 (y) = max max U i j
можно представить общее выражение для принципа Гурвица в виде
u (y*)= б max min U i j + (1-б)· max max U i j (3)
u (y*)= max [б min U i j + (1-б)· max U i j ]. (4)
Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия Y*, для которой выполняется условие (4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента б можно получить различные стратегии выбора при изменении его в диапазоне 0 ? б? 1:
если б = 1, то получим принцип гарантированного результата ;
если б = 0, получим принцип оптимизма .
Проведем решение исходной задачи (табл.9)с использованием данной методики.
Решение задачи по принципу Гурвица.
1. Задаём коэффициент, который характеризует ориентацию на принцип максимина или принцип оптимизма и. Пусть = 0,6.
2. Решаем задачу по формуле Y * max i (min U ij + (1 -) max j U ij) в два этапа:
2.1. Для каждой альтернативы находим *minj Uij +(1-)* maxj Uij , для чего используем уже вычисленные значения по предыдущим задачам (значения Min Uij, Max Uij в табл.10). Расчет этих значений формируется так.
Исходными данными для выбора по методу Гурвица будут данные, полученные по стратегиям:
Для стратегии гарантированного результата:
Для стратегии оптимизма:
Принцип Гурвица Таблица 10
|
Альтернати- |
Критерии (цели) |
Знач. предпочт. по Гурвицу |
|||||
Пусть весовой коэффициент характеризует степень важности соответствующей первой стратегии и его значение примем = 0,6. Тогда получим для первого этапа
Подставляя соответствующие значения в систему получим:
Подставим их в графу «Значение предпочтений по Гурвицу» табл.10.
2.2. На втором этапе производим выбор в соответствии с правилом:
Оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива Y 3 , значение функции полезности которой равно 4,2.
Для оценки влияния коэффициента на уровень предпочтений по Гурвицу, проведем анализ значений для различных коэффициентов (табл.11).
Таблица 11
Значения предпочтений по Гурвицу для различных коэффициентов
|
возможные значения весового коэффициента а |
||||||||||
На основании данных значений можно сказать, что общим правилом выбора по всем значениям будет метрика с = 0,1, при этом, эффективной альтернативой является вариант 1 (Y1) с функцией предпочтения = 7,3.
Решение данной задачи в интегрированной системе Excel предполагает процедуру расчета показателей приведенных в табл.10-11, по алгоритму и формулам, приведенным в табл.12 и табл.13. Экранная форма указанных таблиц приведена на рис.10, 11.
Алгоритм расчета показателей по принципу Гурвица, в виде экранной формы приведен на рис.12.
4. Принцип Сэвиджа (принцип минимаксного сожаления).
Стратегия выбора основанная на использовании стратегии Сэвиджа характеризуется теми потенциальными потерями, которые ЛПР может иметь, если выберет неоптимальное решение. Процедура выбора обычно происходит в три этапа и строится на вычислении промежуточного показателя функции потерь (w) на базе имеющихся для каждой альтернативы функции полезности (.U ij).
На первом этапе для каждого критерия A j по конкретной альтернативе y i определяется максимальное значение функции полезности.
max U ij = max U i ¦ A j ,
показывающей возможный наилучший уровень полезности U i , который можно получить, для конкретного критерия A j .
На втором этапе, на основании полученных значений для каждой альтернативы строится показатель
w (y 1) ¦A j = w(y ij) = max U ij -U ij
характеризующий потенциальный риск (потерянную выгоду от выбора неоптимальной альтернативы).
На третьем этапе производится выбор стратегии с наименьшим показателем риска:
u (y*) = min w(y ij)
Проведем решение исходной задачи (табл. 9) с использованием данной методики.
Решение задачи по принципу Сэвиджа.
На первом этапе для каждого критерия А j по конкретной альтернативе Y i определяется максимальное значение:
Данные значения приведены в табл. 10 в строке «max».
На втором этапе на основе полученных значений для каждой альтернативы строится показатель, характеризующий потенциальный риск.
Если для первого критерия А 1 руководство предприятием выбрало стратегию Y 3, то значение потерь равно:
Если для первого критерия А 1 руководство предприятием выбрало стратегию Y 1, то значение потерь равно:
Если для первого критерия А 1 руководство предприятием выбрало стратегию Y 2, то значение потерь равно:
Для второго критерия А 2 максимальной является альтернатива Y 1, при выборе ее руководство имеет минимальные потери: w(y 12)=0.
Если для первого критерия А 2 руководство предприятием выбрало стратегию Y 2, то значение потерь равно:
Если для первого критерия А 2 руководство предприятием выбрало стратегию Y 3, то значение потерь равно:
Для второго критерия А 3 максимальной является альтернатива Y 2, при выборе ее руководство имеет минимальные потери: w(y 23)=0.
Если для первого критерия А 3 руководство предприятием выбрало стратегию Y 1, то значение потерь равно:
Если для первого критерия А 3 руководство предприятием выбрало стратегию Y 3, то значение потерь равно:
На основании полученных данных строится матрица сожалений (табл.14).
Таблица 14
Матрица сожалений
На основании матрицы потерь можно определить максимальные потери по каждой альтернативе.
Оптимальной будет та альтернатива, которая имеет минимальные потери, т.е.
Таким образом, оптимальной здесь представляется альтернатива Y 3, имеющая минимальные потери выгоды. На рис.13 представлена экранная форма решающих матриц по принципу Сэвиджа.
Алгоритм и формулы реализации решающих таблиц представлены в табл.15-18.
Таблица 15
Алгоритм формирования матриц для обобщенной постановки задачи
Таблица 16Расчетная матрица формирования потенциальных потерь wij
Задачи JA - класса (неструктурированные критерии), решаемую методом «смещенного идеала»
Пример задачи JA - класса с неструктурированными критериями:(метод «смещенного идеала»).
Постановка задачи. Осуществить закупку наиболее эффективного варианта принтера, удовлетворяющего потребительским качествам. Определим параметры решения задачи.
1.1. Время для ПР: Т=2 недели.
1.2. Ресурсы для ПР: информация о характеристиках принтеров.
1.3. Критерии потребительского выбора {К}:
К 1 - скорость печатающего механизма в монохромном режиме, страниц в минуту
К 2 - ОЗУ, установлено/максимум, Мбайт
К 3 - цена принтера.
1.4. Множество ограничений (В)
На финансовые ресурсы;
Развитие сервисных служб.
2. Множество альтернативных вариантов - предлагаемые производителями марки принтеров различных типов.
Решение задачи методом «идеального объекта».
Этап расчета 1. На предварительном этапе отобранная группа принтеров, состоящая из 7 типов принтеров Y={А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 , А 6 , А 7 }. На основании исходных данных строим матрицу вариантов (табл.17)
Таблица 17
Матрица описания задачи
|
Принтеры |
Критерии |
||
На основании данных приведенных в таблице сформируем «идеальный объект» по указанным критериям со значениями равными максимальным значениям показателей, полезность по которым возрастает, и минимальным полезность по которым убывает. Таким образом, получаем «идеальный объект» А + :
А + 14; 2; 2776
Кроме идеального объекта сформируем также модель «наихудшего объекта»:
А - 7; 12; 5830
j = (К + -К j) / (К + - К -).
Переходя к относительным значениям критериев, получим следующую нормализованную матрицу (табл18):
Таблица 18
|
Принтеры |
Критерии |
||
Зададим относительную важность критериев в виде весов: W 1 = 6, W 2 = 2, W 3 = 4.
Для выявления ненаилучших объектов найдем свертки (расстояние до идеального объекта), используя следующую обобщенную метрику:
Вычислим для наших объектов метрики с разной степенью концентрации, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.19).
Таблица 19
|
Значения меры расстояния |
Степень концентрации (р) |
|||||
Для р=1 А 6 А 5 А 2 А 4 А 3 А 1 А 7
Для р=2 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2 А 4 А 7
Для р=3 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2 А 4 А 7
Для р=5 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2 А 7 А 4
Для р=6 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2 А 7 А 4
Для р=8 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2 А 7 А 4 .
Ненаилучшие решения в нашем случае - А 4 и А 7 . Исключим их из рассмотрения, получив сокращенное исходное множество альтернатив А 1 , А 2 , А 3 , А 5 , А 6 .
Рассмотрим компьютерное решение данного фрагмента задачи в системе Excel.
Экранная форма комплекса таблиц расчета по первому этапу приведена на рис.14.
Алгоритм формирования матрицы описания задачи и расчета нормализованной матрицы приведены по 1 этапу приведены в табл.20-21. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 20, в координатах граф и строк, это - диапазон B12:D12 B13:D13 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.21 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.
Таблица 20
Матрица описания задачи
Таблица 21.
Нормализованная матрица описания задачи
|
=(B12-B5)/(B12-B13) |
=(C12-C5)/(C12-C13) |
=(D12-D5)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B6)/(B12-B13) |
=(C12-C6)/(C12-C13) |
=(D12-D6)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B7)/(B12-B13) |
=(C12-C7)/(C12-C13) |
=(D12-D7)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B8)/(B12-B13) |
=(C12-C8)/(C12-C13) |
=(D12-D8)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B9)/(B12-B13) |
=(C12-C9)/(C12-C13) |
=(D12-D9)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B10)/(B12-B13) |
=(C12-C10)/(C12-C13) |
=(D12-D10)/(D12-D13) |
||
|
=(B12-B11)/(B12-B13) |
=(C12-C11)/(C12-C13) |
=(D12-D11)/(D12-D13) |
||
|
W (важность критерия) |
В табл.22 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям для различных степеней концентрации, в частности, для р = 2, имеем Евклидово расстояние. В строке 31 дается линейка коэффициентов концентрации от 1 до 8.
Этап расчета 2. На втором этапе, по усеченному множеству альтернатив (табл.23) опять строим идеальный А + и наихудший А - варианты.
Таблица 23
Матрица описания задачи
Для сопоставления значений критериев также необходимо перейти к нормированным единицам, т.к. критерии разнородные, опять преобразовав их по формуле
j = (К + -К j) / (К + - К -).
Переходя к относительным значениям критериев, получим новую нормализованную матрицу (табл.24).
Таблица 24
Нормализованная матрица описания задачи
по сокращенному множеству альтернатив
|
Принтеры |
Критерии |
||
Также зададим относительную важность критериев в виде весов: W 1 =6, W 2 =2, W 3 =4.
Для выявления не наилучших объектов найдем свертки (расстояние до идеального объекта), используя метрику:
Вычислим для наших объектов разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.25).
Таблица 25
Метрика расстояний по альтернативам
|
Значения меры расстояния |
Степень концентрации (р) |
|||||
Чем больше значение L, тем ближе объект А i к идеальному А + . Получим следующие ранжировки предпочтений по L.
Для р=1 А 6 А 5 А 2 А 3 А 1
Для р=2 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2
Для р=3 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2
Для р=5 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2
Для р=6 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2
Для р=8 А 6 А 1 А 3 А 5 А 2
Ненаилучшие решения в нашем случае - А 2 и А 5 . Исключим их из рассмотрения, получив сокращенное исходное множество А 1 , А 3 , А 6 . Рассмотрим компьютерное решение данного фрагмента (2 уровня) решения задачи в системе Excel.
Экранная форма комплекса таблиц расчета по второму этапу приведена на рис.15.
Алгоритм формирования матрицы описания усеченной задачи и расчета нормализованной матрицы приведены по 2 этапу приведены в табл.26-27. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 26, в координатах граф и строк, это - диапазон B10:D10 для выбора значений идеального варианта, B11:D11 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.27 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.
Таблица 26
Матрица описания задачи (2 этап)
Таблица 27.
Нормализованная матрица описания задачи
|
=(B10-B5)/(B10-B11) |
=(C10-C5)/(C10-C11) |
=(D10-D5)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B6)/(B10-B11) |
=(C10-C6)/(C10-C11) |
=(D10-D6)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B7)/(B10-B11) |
=(C10-C7)/(C10-C11) |
=(D10-D7)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B8)/(B10-B11) |
=(C10-C8)/(C10-C11) |
=(D10-D8)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B9)/(B10-B11) |
=(C10-C9)/(C10-C11) |
=(D10-D9)/(D10-D11) |
||
|
W (важность критерия) |
В табл.28 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям усеченной матрицы альтернатив для различных степеней концентрации.
Этап расчета 3. На третьем этапе также строим идеальный А + 14; 4; 2776 и наихудший А - 7; 12; 5830 варианты уже по усеченному множеству (до 3) альтернатив (табл.29).
Таблица 29
Матрица описания задачи по сокращенному множеству альтернатив
Для сопоставления значений критериев необходимо перейти к нормированным единицам, т.к. критерии разнородные, преобразовав их по формуле
j = (К+-Кj) / (К+- К-).
Переходя к относительным значениям критериев, получим новую нормализованную матрицу (табл.30).
Таблица 30
Нормализованная матрица описания задачи по сокращенному множеству альтернатив
|
Принтеры |
Критерии |
||
Опять зададим относительную важность критериев в виде весов:W 1 = 6, W 2 = 2, W 3 =4.
Для выявления ненаилучших вариантов найдем метрические свертки (расстояние до идеального варианта), используя следующую метрику:
Вычислим для наших объектов разные метрики, соответствующие различным стратегиям выбора, и значения запишем в таблицу (табл.31).
Таблица 31
Метрика расстояний по сокращенному количеству альтернативам
|
Значения меры расстояния |
Степень концентрации (р) |
|||||
Чем больше значение L, тем ближе объект А i к идеальному А + . Получим следующие ранжировки предпочтений по L.
Для р=1 А 6 А 3 А 1
Для р=2 А 6 А 1 А 3
Для р=3 А 6 А 1 А 3
Для р=5 А 6 А 1 А 3
Для р=6 А 6 А 1 А 3
Для р=8 А 6 А 1 А 3
Ненаилучшие решения в нашем случае - А 1 и А 3 . Остался один доминирующий объект А 6 , т.е. это и есть наилучшее решение в нашей ситуации.
Компьютерное решение данного фрагмента (3 уровня) решения приведено на рис.16.
Алгоритм формирования матрицы описания усеченной до 3 альтернатив задачи и расчета нормализованной матрицы по 3 этапу приведены в табл.32-33. В данных таблицах приводятся формулы выбора экстремальных уровней критериев по каждой альтернативе (в табл. 32, в координатах граф и строк, это - диапазон B8:D8 для выбора значений идеального варианта, B9:D9 - для выбора значений наихудшего варианта). В табл.33 приводятся формулы расчета нормализованных значений критериев по альтернативам.
Таблица 32
Матрица описания задачи (3 этап)
Таблица 33
Нормализованная матрица описания задачи
|
Критерии |
||||
|
=(B10-B5)/(B10-B11) |
=(C10-C5)/(C10-C11) |
=(D10-D5)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B7)/(B10-B11) |
=(C10-C7)/(C10-C11) |
=(D10-D7)/(D10-D11) |
||
|
=(B10-B9)/(B10-B11) |
=(C10-C9)/(C10-C11) |
=(D10-D9)/(D10-D11) |
||
|
W (важность критерия) |
В табл.34 приводятся формулы расчета расстояния по нормализованным значениям усеченной матрицы альтернатив для различных степеней концентрации.