Модели транспортной задачи

Модель, в которой спрос и производство равны, называется закрытой (сбалансированной).

Если баланс производства и потребления нарушен, т.е. часть произведенного продукта не вывозится а i > b j , модель транспортной задачи будет открытой. Для решения открытой модели приведем ее к виду закрытой, введя фиктивный пункт потребления. Его потребность в произведенной продукции будет равна: b m+1 = а i - b j . В случае, когда спрос превышает мощность пунктов-изготовителей, также имеем вариант открытой модели. Подход к ее решению аналогичен ранее приведенному: открытую модель сводим к закрытой, вводя соответственно фиктивного поставщика. В связи с нарушением баланса спроса и предложения изменяются и ограничительные условия: предложение больше спроса - условия х ij а i , в противном случае х ij b j .

Удовлетворение критериального условия - минимизация транспортных расходов - возможно только при учете реальных затрат, связанных с поставкой продукции реальным потребителям. Это необходимо иметь в виду, чтобы в процессе решения задачи блокировать прикрепление к фиктивному потребителю реальных поставщиков.

Методы решения транспортных задач

Решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного плана. Наиболее простой способ его нахождения основывается на так называемом методе северо-западного угла. Суть метода состоит в последовательном распределении всех запасов, имеющихся в первом, втором и т.д. пунктах производства, по первому, второму и т.д. пунктам потребления. Каждый шаг распределения сводится к попытке полного исчерпания запасов в очередном пункте производства или к попытке полного удовлетворения потребностей в очередном пункте потребления. На каждом шаге q величины текущих нераспределенных запасов обозначаются a i (q) , а текущих неудовлетворенных потребностей - b j (q) . Построение допустимого начального плана, согласно методу северо-западного угла, начинается с левого верхнего угла транспортной таблицы, при этом полагаем a i (0) = a i , b j (0) = b j . Для очередной клетки, расположенной в строке i и столбце j, рассматриваются значения нераспределенного запаса в i-ом пункте производства и неудовлетворенной потребности j-ом пункте потребления, из них выбирается минимальное и назначается в качестве объема перевозки между данными пунктами: х i,j = min {a i (q) , b j (q) }. После этого значения нераспределенного запаса и неудовлетворенной потребности в соответствующих пунктах уменьшаются на данную величину:

a i (q+1) = a i (q) - x i,j , b j (q+1) = b j (q) - x i,j .

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: a i (q+1) =0 или b j (q+1) =0. Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1, т.е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же b j (q+1) =0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей (a i = b j), нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (a i (q) = b j (q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения c i,j . В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ - метод минимального элемента, в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

Поскольку в правиле ”северо-западного угла“ значение Cij не учитывается, нельзя ожидать, что при вычислении исходного плана по этому правилу соответствующее значение линейной формы будет близким к минимальному.

1. Правило минимума по строке. Пусть минимальным элементом первой строки будет C1k (если минимальных элементов имеется более одного, то выбираем элемент с наименьшим индексом j).Предположим X1k= a, если a1<=bk; x1k=bk, если a1>bk. В первом случае полагают Xik=0 для i = k и переходят ко второй строке, заменяя bk наbk-a1. После этого находят минимальный элемент второй строки и повторяют процесс. Во втором случае заменяют a1 на a1-bk, bk-на нуль и определяют наименьший за вычетом C1k элемент первой строки, после чего описанный процесс повторяется.

2. Правило минимума по столбцу. Вычисление исходного плана проводится по правилу, описанному выше, с той разницей, что строки заменяются столбцами.

3. Правило минимального элемента матрицы. Отыскивается минимальный элемент Cij матрицы стоимостей перевозок, после чего величина перевозки (xij) полагается равной min(aibj). Процесс повторяется до тех пор, пока весь продукт не будет перевезен.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

vj[k] - ui[k] = Cij, i=1,..., m; j=1, …, n.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

Метод минимальной стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел аi или bj. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Метод двойного предпочтения. Если таблица стоимостей велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком V клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку V V. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком /. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Транспортная задача - это классическая задача линейного программирования о нахождении наиболее рационального с точки зрения затрат плана перевозок однородного продукта от изготовителя (поставщика) к потребителю. Термин "транспортная задача" определяет не только область приложения метода, но и особенности его реализации с точки зрения используемых математических приемов и т.п. В новых условиях хозяйствования, когда максимально необходимо сокращать расходы, в том числе и транспортные, решение транспортной задачи приобретет важнейшее значение.

Основная задача транспортной модели – заглянуть в будущее, но это невозможно без точного отражения современной ситуации. Первым шагом в нашей работе является создание существующей транспортной модели. В соответствии с техническим заданием заказчика модель существующего состояния должна быть подготовлена в трех вариантах: модель утреннего часа пика, модель вечернего часа пика, суточная модель. Разработка модели осуществляется в программном продукте PTV Vision VISUM, что также являлось обязательным требованием заказчика.

Создание транспортного предложения

1. Узлы определяют положение перекрестков и являются начальными и конечными точками перегонов. При создании узлов задается тип регулирования. В транспортной модели г. Тюмени были использованы следующие типы регулирования: помеха справа, светофорное регулирование, уступи дорогу, неизвестный тип регулирования. Также в окне редактирования узла задается геометрия узла, приоритеты движения, а также параметры для всех возможных маневров на данном перекрестке. В данной транспортной модели было создано 7744 узла.

2. Перегоны или отрезки – это объекты транспортного предложения, которые формируют УДС. При формировании перегонов в каждый из них заносятся собственные характеристики. Каждый участок УДС, моделируемый отрезком, имеет два направления движения, на каждом из которых можно разрешить или запретить движение одного или нескольких способов передвижения (легковой, общественный транспорт, пешком, на велосипеде).

Общее количество отрезков УДС в модели г. Тюмени 17274 ед. Суммарная длина УДС при этом 2424 км.

3. Транспортные районы. Примыкания.

Транспортные районы являются начальными и конечными пунктами движения. В моделях граница транспортного района носит лишь декоративный характер, весь транспортный район сведен к центру тяжести, который с помощью примыканий связан с УДС. Территория г. Тюмени и прилегающая территория Тюменского района были разбиты на 400 транспортных районов. В каждый транспортный район, исключая районы кордоны, были внесены данные о населении. В транспортной модели г. Тюмени было создано 2422 примыканий. Каждый объект содержит информацию о затратах времени на доступ от центра тяжести до УДС и обратно для различных систем транспорта. Затраты времени на примыкании для индивидуального транспорта учитывают пешеходный подход к автомобилю, начало движения и время поездки. Для пассажиров общественного транспорта затраты времени на примыкании учитывают пешеходный путь.

4. Общественный транспорт.

Первым этапом введения общественного транспорта в модель является создание остановок. В программном продукте PTV VISUM остановки создаются иерархической системой Остановка - Зона остановки - Пункт остановки.

«Пункт остановки» – занимает низшие место в этой иерархии и обозначает непосредственно площадку для посадки/высадки пассажиров.

«Зона остановки» может объединять несколько пунктов остановки для различных видов транспорта. Но в модели современного состояния г. Тюмени не встречаются различные виды транспорта в пределах одной остановки. «Остановка» же объединяет в себе зоны и пункты остановок.

В процессе работы было создано 617 остановок, 996 зон и пунктов остановок.

Следующим этапом является создание маршрутной сети. Каждый маршрут, созданный в транспортной сети, содержит минимум два варианта маршрута: прямое и обратное направления. Для каждого варианта маршрута заносятся данные о количестве подвижного состава и интервалах движения между транспортными средствами в утреннее и вечернее время. В транспортной модели были отражены маршруты общественного транспорта, осуществляющие пассажирские перевозки в зимнее время (88 маршрутов).

Создание модели транспортного спроса

Модель транспортного спроса транспортной модели современной транспортной инфраструктуры г. Тюмени имеет три составляющих:

• модель оценки спроса на городские передвижения (исключая грузовое движение);
• модель оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов;
• модель оценки спроса на городские грузовые передвижения.

Основой модели спроса на городские передвижения является 4-х ступенчатая модель:

1. Генерация спроса
2. Распределение спроса
3. Выбор режима
4. Перераспределение

Модель включает:

– оценку суммарных объемов корреспонденций, зарождающихся и поглощающихся в транспортном районе (1-ая ступень);

– распределение корреспонденций между расчетными районами (2-ая ступень);

– распределение корреспонденций между способами передвижения (3-ая ступень);

– распределение корреспонденций по вариантам маршрутов движения (4-ая ступень).

Выполнение расчетов на ступенях 2 – 4 повторяется на нескольких итерациях.

На 1-й ступени оцениваются количество передвижений, начинающихся из каждого транспортного района и заканчивающихся в другом транспортном районе с различными целями поездки. Каждая цель поездки описывается слоем спроса. В настоящей работе было выделено 19 слоев спроса:

Настройка параметров процедуры оценки суммарных объемов корреспонденций выполнялась с учетом коэффициентов создания корреспонденций по каждому слою спроса, которые были получены по результатам анкетирования жителей путем деления количества зафиксированных передвижений данного слоя спроса на общее количество опрошенных респондентов.

Важным является выбор условия, по которому будет выполнятся нормирование сумм зарождающихся и поглощающихся корреспонденций. Например, для слоя спроса Дом-Работа определяющим будет количество трудящихся в расчетном транспортном районе и количество передвижений Дом-Работа, приходящихся на одного трудящегося в утренний час пик. В связи с этим, независимо от того, какое суммарное количество мест приложения труда во всех расчетных районах города, нормирование суммы всех передвижений будет выполнено по зарождающимся корреспонденциям (сумма объема транспортного потока из источника).

Реализация 2-ой ступени модели спроса требует предварительного расчета матриц затрат с последующим вычислением вероятностей передвижений между отдельными парами расчетных транспортных районов по каждому способу передвижения (режиму). В настоящей работе для моделирования городских передвижений используется четыре способа передвижения:

• на индивидуальном транспорте;
• на общественном транспорте;
• пешком;
• на велосипеде.

Расчет матриц затрат для всех способов передвижений выполняется по маршрутам, обладающим наименьшей обобщенной стоимостью передвижения (обобщенная стоимость передвижения в модели выражается временем).

Расчет матрицы затрат для передвижений на велосипеде выполняется с учетом закладываемых изначально некомфортных условий движения (за исключением участков, где уже имеются обустроенные велодорожки) с тем, чтобы обеспечить низкую привлекательность велосипеда, соответствующую реальному распределению передвижений по способам (по исходным данным, полученным в результате анкетных обследований).

Расчет матрицы затрат для передвижений на индивидуальном транспорте реализован следующими способами в программе VISUM:

Расчет дополнительных затрат времени на отрезках на основе значений пропускной способности и CR-функции, учитывающей рост транспортных задержек с ростом уровня загрузки перегона (отрезка);

Расчет дополнительных затрат времени был детализирован с учетом загрузки всех элементов УДС в модели (отрезки, повороты, примыкания);

Расчет дополнительных затрат времени с учетом специальной расчетной процедуры, учитывающей современные методики расчета транспортных задержек на перекрестках. На нерегулируемых перекрестках все транспортные потоки были разделены на 4 ранга в зависимости от главного направления на данном пересечении. Далее были рассчитаны дополнительные затраты каждого направления в зависимости от ранга и интенсивности движения направления. Для регулируемых перекрестков была использована стандартная CR-функция (функция ограничения пропускной способности).

Расчет матрицы затрат для передвижений на общественном транспорте выполняется на основе корректировки профиля времени движения на маршруте, по значениям рассчитанных затрат времени на отрезках и поворотах для индивидуального транспорта (кроме участков с организацией приоритетного движения общественного транспорта, когда затраты времени принимаются из расчета установленной скорости движения общественного транспорта для данного типа отрезка).

Расчет вероятностей передвижений между отдельными парами расчетных транспортных районов по каждому способу передвижения (режиму) выполняется на основе функции EVA (Erzeugung-Verteilung-Aufteilung – зарождение-разделение-распределение транспортных потоков), которая обладает лучшими свойствами эластичности в сравнении с экспоненциальной и другими функциями.

Реализация 3-ой ступени модели спроса осуществляется на основе стандартной процедуры VISUM выбор режима. Матрицы корреспонденций по каждому слою спроса разделяются по режимам движения (легковой транспорт, общественный транспорт, велосипед, пешком).

Реализация 4-ой ступени модели спроса осуществляется на основе стандартных процедур программы VISUM:

Перераспределение ИТ (равновесное перераспределение);

Перераспределение ОТ (перераспределение по интервалам движения транспортных средств на маршруте общественного транспорта).

Структура модели оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов

Модель оценки спроса передвижений из внешних районов (и в сторону внешних районов) отличается от вышеописанной модели внутригородских передвижений, т.к. в ней отсутствует третья ступень (разделение по способам передвижения). Эта особенность объясняется тем, что в основу исходных данных закладываются значения интенсивностей движения на выездах из города, которые в модели относятся к способу передвижения на индивидуальном транспорте. Реализация 2-ой и 4-ой ступеней для рассматриваемой модели спроса осуществляется аналогично модели спроса для внутригородских передвижений.

Структура модели оценки спроса на городские грузовые передвижения

Модель оценки спроса на городские грузовые передвижения основана на подходе прогнозирования суммарных объемов корреспонденций (1-ая ступень), используя регрессионные модели (линейная зависимость). Параметры данных моделей (для въезжающих и выезжающих грузопотоков) получены по результатам наблюдений за грузопотоками на границах укрупненных транспортных районов города, количество и границы которых специально определялись с учетом возможности отслеживания грузопотоков, исключая при этом вероятность ошибки замеров, связанных с наложением транзитных (проходящих мимо рассматриваемых специальных укрупненных транспортных районов) грузопотоков в рассмотренных сечениях.

Реализация 2-ой ступни для рассматриваемой модели спроса осуществляется без учета влияния дальности передвижения на вероятность передвижения между расчетными транспортными районами. Такой подход объясняется предположением отсутствия влияния удаленности грузополучателя от грузоотправителя на вероятность грузовой корреспонденции в масштабах города.

Реализация 3-ей и 4-ой ступней для рассматриваемой модели спроса осуществляется аналогично модели спроса для передвижений из внешних районов.

Суточная модель буднего дня

Оценка транспортного спроса для всех передвижений за сутки определяется на основе оценки суточных объемов передвижений между расчетными транспортными районами.

Основными особенностями модели суток являются следующие:

Отмена коэффициентов часовой неравномерности в отличие от оценок спроса для пиковых периодов;

Изменение в процедуре оценки суммарных объемов корреспонденций по данным для утреннего и вечернего часов пик в модели оценки спроса на передвижения из внешних районов-кордонов в сторону города и наоборот – со стороны города в сторону внешних районов-кордонов (создаются дополнительные слои спроса и рассматриваются возвратные передвижения для утренних пар источник-цель) с учетом коэффициентов перевода утренних и вечерних потоков (11,5/2 и 10,5/2 соответственно для утра и вечера) до уровня половины суточных потоков;

Применение коэффициента увеличения матрицы грузовых корреспонденций на основе половины суммы коэффициентов суточной неравномерности грузовых потоков для утреннего и вечернего часов «пик»;

Калибровка транспортной модели

Калибровка модели оценки спроса для утреннего и вечернего часа пик выполняется в следующей последовательности:

Начальное распределение грузовых потоков;

Калибровка распределения грузовых потоков с учетом замеров в контрольных точках;

Начальное распределение городских и внегородских транспортных потоков между способами передвижения, включая калибровку значений затрат времени для поворотных потоков на регулируемых и нерегулируемых пересечениях;

Калибровка распределения транспортных потоков по сети с учетом замеров в контрольных точках;

Калибровка распределения пассажирских потоков по сети с учетом замеров количества пассажиров, перевезенных на маршрутах общественного транспорта;

Повторное общее распределение грузовых и пассажирских потоков.

В результате калибровки транспортной модели был достигнут коэффициент корреляции оцениваемых и измеренных значений интенсивностей движения транспорта более 0,85.

Разработанная транспортная модель полностью соответствует требованиям технического задания:

– в части размера модели (количество узлов, отрезков, транспортных районов, остановочных пунктов. маршрутов),

– в части детализации модели транспортного спроса (количество систем транспорта, количество слоев спроса),

– в части показателей качества модели (количество мест подсчета интенсивности движения индивидуального транспорта, количество мест подсчета пассажиропотока, коэффициент корреляции).

Транспортная модель - это математически приближенное отображение транспортной ситуации на дороге с помощью программных средств. Транспортная модель является математической моделью, то есть обладает достаточно высокой точностью, чтобы реализовывать различные задачи, связанные с прогнозами, оптимизацией и имитацией транспортных потоков. Такая модель может использоваться как инструмент поддержки принятия решений и как хранилище статистической информации о моделируемой транспортной системе.

Транспортные модели бывают имитационные, оптимизационные, прогнозные.

Единицей имитационной модели является транспортное средство, то есть моделирование происходит на уровне единиц транспортных средств, которые могут проехать из одной части города в другую. Микромодели, отображающие микрообъекты сети, относятся к имитационным моделям. Они имитируют ситуацию на отдельном участке сети.

Оптимизационные транспортные модели решают задачу оптимизации, то есть находят оптимум (лучшее решение) транспортной функции с помощью методов математического программирования.

Прогнозные транспортные модели , в отличие от имитационных, отображают транспортную ситуацию на уровне потоков.

Они строятся из транспортного предложения и транспортного спроса моделируемого объекта (города, района, области). Транспортным предложением считается вся транспортная сеть, а также остановки, маршруты и расписание общественного транспорта, а транспортным спросом – потребность людей в перемещениях по транспортной сети.

Транспортная модель города является прогнозной моделью.

При создании транспортной модели города на начальном этапе создается транспортное предложение - строится транспортный граф, который включает в себя транспортные узлы (развязки, кольца, перекрестки) и отрезки между узлами (дороги). После того, как вся транспортная сеть города, включающая правила дорожного движения и полосность дорог, внесена в программный продукт, добавляется информация об общественном транспорте.

Следующим этапом создания транспортного предложения является районирование - разделение транспортной сети на районы. Сеть делится на районы для того, чтобы систематизировать информацию о перемещениях транспортных потоков. В результате проделанных этапов в программном продукте появляется транспортное предложение – каркас, согласно которому перемещаются транспортные средства.

Для построения транспортного спроса собирается различная статистическая информация о транспортных районах, которые являются местами генерации и местами притяжения транспортных потоков. Пример собираемой информации для каждого транспортного района:

• емкость района (население);
• доля работающих;
• доля учащихся;
• количество зарегистрированных автомобильных средств;
• количество рабочих мест;
• количество рабочих мест в сфере услуг;
• количество мест в учебных заведениях;
• и др.

Далее составляются слои спроса - возможные перемещения, например Дом-Работа, Работа-Дом, Дом-Школа, Школа-Дом, Дом-Прочее, Прочее – Дом. Чем больше слоев спроса, тем выше точность модели. Для каждого слоя спроса и для каждого вида транспорта(общественный, индивидуальный) составляется матрица корреспонденции – матрица, содержащая количественные данные о перемещениях людей из района в район. Далее эти матрицы соединяются по каждому виду транспорта. Это и будет являться результатом моделирования транспортного спроса.

Следующий этап построения транспортной модели - совмещение транспортного предложения и транспортного спроса. Ищется точка равновесия, при которой существующее транспортное предложение будет удовлетворять транспортный спрос. При этом учитывается важный принцип: каждое транспортное средство стремится уменьшить время и стоимость своего перемещения.

После того, как транспортные потоки , реализованные в программном средстве, достигнут равновесного положения, становится возможным рассчитать среднюю скорость потоков, количество транспортных средств на каждом участке сети и отметить появление заторов.

Последний этап создания транспортной модели города - ее калибровка . В ходе калибровки, сравниваются значения реальных транспортных потоков города и значения, полученные с помощью моделирования. При существенных различиях значений производится поиск ошибок и их устранение. Эффективность калибровки проверяется с помощью оценок качества модели. Если оценки неудовлетворительные, происходит возврат на этапы моделирования предложения и спроса. Операции построения модели и ее калибровки повторяются до тех пор, пока модель не станет адекватной.

Полученная транспортная модель может использоваться учреждениями города для стратегического планирования, анализа инфраструктурных изменений, оценки качества транспортной системы, хранения и систематизации данных и др.

Создание комплексной транспортной схемы (КТС), программы комплексного развития транспортной инфраструктуры (ПКРТИ), комлексной схемы организации дорожного движения (КСОДД), а также комплексной схемы организации транспортного обслуживания населения общественным транспортом невозможно без наличия транспортной модели.

Лабораторная работа №4

Транспортные модели

Цель работы: научиться находить оптимальное решение задач транспортного типа.

Задание

Вариант 1. На четырех ткацких станках с объемом рабочего времени 200, 300, 250 и 400 станко-ч за 1 час можно изготовить соответственно 260, 200, 340 и 500 м ткани трех артикулов I, II, III. Составить оптимальную программу загрузки станков, если прибыль (в ден. ед.) от реализации 1 м ткани i-го артикула при ее изготовлении на j-м станке характеризуется элементами матрицы

,

а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна 200, 100 и 150 тыс. м, учитывая, что ткань Iартикула не может производиться на третьем станке.

Табличная модель:

Контрольные вопросы:

1. Как записывается математическая модель задачи транспортного типа?

Обозначим через x ij объем перевозок от i-го поставщика j-ому потребителю. Математическая модель задачи имеет вид:

1) объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза

;

2) объем поставок j-ому потребителю должен быть равен его спросу

;

3) объемы поставок должны выражаться неотрицательными числами

, ;

4) общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной

.

Если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребностей в этих грузах по пунктам назначения

,

то такая транспортная задача называется закрытой (сбалансированной), в противном случае - открытой (несбалансированной).

Если указанные затраты неизвестны (не указаны) соответствующие значения с ij полагают равными нулю.

модель поставка потребность затрата

2. Как свести открытую транспортную задачу к закрытой?

Если имеет место открытая транспортная задача, ее необходимо свести к закрытой:

1) в случае перепроизводства – ввести фиктивного потребителя с необходимым объемом потребления (элементы матрицы с ij , связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют значения, равные затратам на хранение невывезенных грузов);

2) в случае дефицита – ввести фиктивного поставщика с недостающим объемом отправляемых грузов (элементы матрицы с ij , связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют значения, равные штрафам за недопоставку продукции).

3. Каковы основные ситуации, описывающие дополнительные ограничения транспортной задачи?

При решении практических задач зачастую приходится учитывать ряд дополнительных ограничений.

1. Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуникаций и т.д.). Это достигается искусственным значительным завышением затрат на перевозки с ij в клетках, перевозки через которые следует запретить.

2. На предприятии необходимо определить минимальные суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимости. В таких задачах за критерий оптимальности принимают сумму затрат на производство и транспортировку продукции.

3. Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить грузы, имеют ограничения по пропускной способности. Если, например, по маршруту A i B j можно провести не более qединиц груза, то B j -й столбец матрицы разбивается на два столбца –

и . В первом столбце спрос принимается равным , во втором – . Несмотря на то, что фактические затраты с ij в обоих столбцах одинаковы и равны исходным, в столбце вместо истинного тарифа с ij ставится искусственно завышенный тариф М (клетка блокируется). Затем задача решается обычным способом.

4. Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны войти в оптимальный план независимо от того, выгодно это или нет. В этом случае уменьшают запас груза у поставщиков и спрос потребителей и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. Полученное решение корректируют с учетом обязательных поставок.

5. Необходимо максимизировать целевую функцию задачи транспортного типа (например, задача об оптимальном распределении оборудования). В этом случае необходимо изменить знак в тарифах на противоположный. В ответе отрицательный знак игнорируется.

Вывод: я научилась находить оптимальное решение задач транспортного типа.

Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов изготовления (например, заводов) в пункты доставки (например, склады).

Транспортная модель может применяться при рассмотрении практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением именных графиков, назначением служащих не рабочие места, оборотом наличного капитала.

Транспортная задача может быть сведена к задаче линейного программирования и решена симплекс-методом. Вместе с тем специфика транспортной задачи позволяет решить ее более эффективным методом. Однако, и этот метод по существу воспроизводит шаги симплекс-метода.

Определение транспортной модели

При построении транспортной модели используются:

Заметим, что потребности одного пункта назначения могут удовлетворяться из нескольких исходных пунктов, так же один пункт производства может поставлять товар в несколько пунктов потребления.

Цель построения модели заключается в определении количества продукции, которую следует перевозить из всех исходных пунктов в пункты потребления при минимальных общих транспортных расходах.

Основное предположения транспортной модели состоит в том, что величина расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции.

Рассмотрим графическое представление транспортной модели

Рисунок 6

Транспортная модель такого вида называется сетевой и имеет mисходных пунктов иnпунктов назначения. Исходные пункты и пункты назначения называются вершинами сети или соответствующего графа. Маршрут по которому перевозится продукция называется дугой, количество продукции, производимая вi-ом исходно пункте обозначается. Количество потребляемой продукции вj-ом пункте -. Стоимость перевозки.

Соответствующую математическую модель можно записать в следующем виде:

Iотражает тот факт, что суммарный объем перевозок из некоторого исходного пункта не может превышать произведенного в этом пункте количества продукции.

IIпоказывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворять потребность в спросе на эту продукцию.

Анализ транспортной модели показывает, что суммарный объем производства не должен быть меньше объема потребления.

В том случае, если что суммарный объем производства равен суммарному объему потребления, транспортная модель называется сбалансированной.

Такая модель является канонической моделью линейного программирования.

Пример транспортной модели

Заводы автомобильной фирмы расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Нью-Орлеане. Центры распределения в Денвере и Майами. Объем производства заводов 1000, 1500 и 1200 автомобилей соответственно. Ожидаемый спрос равен 2300 и 1400 автомобилей соответственно.

Стоимость перевозки одного автомобиля приведена в таблице 10:

Таблица 10

- количество автомобилей, которые перевозят изi-ого пункта вj-ый (i=1,2,3;j=1,2).

Суммарный объем производства автомобилей равен 3700 и равняется суммарному ожидаемому спросу. Следовательно, данная транспортная модель является сбалансированной и ее можно записать в следующем виде:

при ограничениях

Компактный способ записи транспортной модели связан с использованием транспортной таблицы или матрицы, у которой соответствуют исходным пунктам, а столбцы пунктам спроса.