Примеры задач линейного программирования. Интервью: академик Ренат Муслимов

— Когда и с чего началось создание в Татарстане малых нефтяных компаний? А главное — зачем это было нужно республике, где уже имелась мощная, авторитетная и раскрученная компания« Татнефть»?

– Это началось в 90-е годы. В самом начале 90-х. Вы, наверное, помните, к этому времени уже вовсю шла горбачевская перестройка. Это ж надо, объявить перестройку одновременно с ускорением! Без штанов беги вперед, вроде того. Но все начали перестраиваться…

Тогда ситуация была очень тяжелая. Нефтяная промышленность пошла вниз. Если до перестройки Россия добывала 570 млн тонн нефти в год, то за эти годы добыча упала до 300 млн тонн. То есть рухнули по-страшному. И до сих пор страна еще не достигла того уровня. А тем более максимального уровня добычи нефти в Советском Союзе — более 624 млн. Это был огромный объем. Но работали на износ. Сибирь особенно.

Проблемы нефтяной отрасли накапливались, как снежный ком.

В годы перестройки негативные явления в отрасли резко усилились. В основном это было следствием разрушения десятилетиями наработанных связей между различными организациями ТЭК. Взаимодействие и пропорции ответственности различных уровней управления отраслью(министерство, объединения, нефтегазодобывающие управления), смежных отраслей(реализация, транспорт, переработка нефти и газа) разладились. Это сильно ударило по нефтяникам. Первый, самый ощутимый, удар пришелся на реализацию, транспорт и переработку нефти. Нефтепереработчики с большими трудностями принимали нефть на переработку, требуя оплаты значительными объемами добытой нефти.

Это было сложно — отдать нефть на переработку. В «Татнефти» были большие проблемы. Коллектив тогда был огромный — более 50 тысяч человек. И все жили от зарплаты до зарплаты. Добыча все время падала. «Татнефть» в 1970 году добыла 100 млн тонн. Этот уровень удерживался в течение шести лет. А потом — 19 лет падения. Особенно оно ускорилось в связи с этой перестройкой.

Дальнейшие перспективы при продолжении падения добычи выглядели печально. С зарплатами стало тяжело. Встал вопрос: что делать? Я тогда зашел к генеральному директору — Галееву(Ринат Гимаделисламович Галеев был генеральным директором ОАО« Татнефть» с 1990 по 1999 год — ред ). И говорю ему: «Надо добычу держать, хватит падать, иначе погорим». А мы должны были и дальше снижать добычу, до 2000 года, по тем правилам, которые тогда были(ранее в Госплане СССР обосновали падение добычи нефти по объединению« Татнефть» до 14,5 млн тонн в год). Собрали специалистов, весь костяк, рассказали о нашей стратегии — остановить падение и стабилизировать добычу. Все ее поддержали. Решили усилить технический прогресс за счет оптимизации добычи жидкости, применения менее дорогих, но достаточно эффективных методов увеличения нефтеотдачи(МУН) и обработки призабойных зон скважин(ОПЗ). Немного позже родилась идея, что надо задействовать месторождения с трудноизвлекаемыми запасами, которые были открыты 25−40 лет назад, но мы не могли вводить их в эксплуатацию из-за отсутствия капитальных вложений(капвложения давал центр). Вот тогда появилась идея создавать малые нефтяные компании. Ее поддержалиШафагат Фахразович Тахаутдинов, он тогда был главным инженером« Татнефти», и Галеев. Доложили президенту республики, Минтимеру Шариповичу Шаймиеву. И он поддержал. Вот с этого все завертелось. В 1997 году появился указ президента о создании малых нефтяных компаний(МНК), им стали передавать месторождения, которые« Татнефть» не могла ввести в разработку, поскольку не было ни достаточных строительных мощностей, ни средств и вообще планов таких у компании не было.

А до этого на гендиректора« Татнефти» оказывалось большое давление со стороны министерства с требованием вводить в разработку новые месторождения. Особенно сильное давление оказывал министр нефтедобывающей промышленности Николай Алексеевич Мальцев на тогдашнего гендиректора« Татнефти”Ришада Тимиргалиевича Булгакова.

Помню, он требовал за год ввести около 50 новых месторождений. А по сложившейся конъюнктуре, мы могли ввести 1−2 месторождения. Если бы мы сосредоточились на вводе новых месторождений, могли бы провалить планы добычи нефти — потому что ускорилось снижение добычи по действующим скважинам из-за недостаточных объемов проводимых геолого-техничеких мероприятий(ГТМ) по поддержке добычи по ранее пробуренным скважинам.

— При создании МНК вы использовали чей-то опыт или все придумывали сами?

– Мы знали опыт США, Канады, где 40−50 и даже больше процентов всей нефти добывают малые компании. Они бывают двух видов: добывающие, которые владеют участками недр, проводят разведку и добычу нефти, и сервисные(бурят скважины, проводят работы по стимуляции и ремонту скважин). В США их число доходило до 20 тысяч. Вот и мы решили передать малым нефтяным компаниям месторождения с трудноизвлекаемыми запасами. В основном это происходило при содействии и под эгидой« Татнефти», но отдавали только своим. По действующему положению, права на разработку этих месторождений имело объединение« Татнефть», поскольку оно, в основном, открывало и разведывало эти месторождения и вело деятельность по добыче нефти в этих районах. Месторождения отдавались практически своим специалистам, работавшим в системе« Татнефти». НГДУ на своей территории формирует компанию, а «Татнефть» своей инфраструктурой помогает ей в добыче. Где-то обеспечивает первичную подготовку нефти(не бесплатно!), по своим трубопроводам транспортирует эту нефть — трубопровод ведь быстро не построишь. То есть НГДУ должны были как бы курировать весь процесс добычи. Но за минимальную плату, чтобы была хоть небольшая рентабельность у структур.

Тогда мы передали МНК 67 нефтяных месторождений с начальными запасами около 200 млн тонн. Причем, как я уже сказал, на конкурсной основе. Надо сказать, что тогда особо желающих приобрести месторождение или участок недр не было: добыча падает, нефтяная промышленность в аховом положении, зарплату не платят. Были даже экономисты, которые говорили: «Я не буду покупать акции „Татнефти“, это рискованно». Но я всем советовал: берите акции, они будут работать. Не было доверия. Сейчас бы с руками оторвали!

Мы беспокоились о том, чтобы республика дальше не снижала добычу. Решили остановить падение добычи на уровне 30 млн тонн, а потом держать этот уровень. Однако она снизилась до 23 млн с небольшим, потом поднялась до 30 млн. Ну, а сейчас 33 с половиной миллиона тонн в год. То есть мы действовали по плану: сначала прекратить падение добычи, потом стабилизировать ее, а далее — обеспечить постепенный рост.

Всей черновой работой по организации МНК в основном занимались я и Тахаутдинов. Мы продумывали, какие месторождения, куда… Я как геолог рассчитывал запасы, объемы бурения и добычи. Активное участие принимал, конечно, Галеев. Естественно, без непосредственной поддержки такого начинания со стороны президента РТ ничего бы не вышло. Минтимер Шарипович тогда быстро понял, что для республики будет польза. Главное, что МНК будут добывать нефть, и ее будет больше, чем если бы все осталось только в руках« Татнефти». При организации МНК мы исходили из необходимости сосредоточить в этих компаниях лучших специалистов нужного профиля, возложив ответственность за организационную работу на начальников соответствующих НГДУ.

Президент РТ в тех непростых условиях дал нам и определенные льготы(тоже была моя идея). Мы обосновали три их вида: на рост добычи за счет ввода новых месторождений, на пуск бездействующих, неработающих высокообводненных скважин и на использование методов увеличения нефтеотдачи и стимуляции скважин. То есть, если скважина давала одну тонну, а стала давать пять тонн, то вот на четыре тонны уже была льгота.

— Трудно было получить льготы?

– Как мы эти льготы получили? Написали наши предложения в правительство. Но окончательное решение было принято в Актаныше. Туда на пуск месторождения приехал Минтимер Шарипович Шаймиев. Я завел разговор о льготах. Он говорит: «Давай потом». Пошли на обед, и за столом он говорит: «Ну, давай, расскажи, какие льготы, чего и как». Прямо за обедом я ему и рассказал. Он тут же оценил и дал согласие. И на пять с половиной лет республика своей властью дала нефтяникам льготы. Они действовали с 1995 года по 2000-й.

Больше таких льгот уже не получали никакие МНК. Только в Оренбургской области через несколько лет председатель Правительства Виктор Степанович Черномырдин своей малой родине дал льготы(правда, несколько другие) на добычу нефти. Но такого, как в Татарстане, в стране, по существу, не было, и все нефтяники нам откровенно завидовали. За счет этих льгот в РТ дополнительно был добыт 31 процент к общей добыче, экономическая эффективность составила 15 млрд руб. Но самое главное — были сохранены 18,5 тысячи рабочих мест и созданы новые, дан импульс развитию нефтяной отрасли РТ на долгие годы. Льготы получили и МНК, и «Татнефть». Но для становления и развития малых нефтяных компаний это решение руководства республики оказалось решающим.

Вот так родились малые нефтяные компании. В России их число доходило почти до 150. Но уже в начале текущего столетия стало вдвое меньше — их поглощали крупные компании. Как-то на юбилее« ЛУКОЙЛа» президент этой компании Вагит Алекперов делал доклад и заявил, что в России всего должно быть 3−4 нефтяных компании. А Ходорковский вообще говорил про две компании. Дескать, нечего их плодить. Вот на этой волне многие МНК или разорили, или« съели». Большие компании их присоединили к себе, и они перестали быть независимыми. Кстати, на Западе они именно так и называются — независимые, ННК. А мы их называем малыми.

К 2000 году малые компании в России давали до 10 процентов от всей добычи. Потом их доля упала до 4 процентов, а сейчас и того меньше. А в Татарстане МНК дают более 21 процента всей добычи!

В США и Канаде тоже много нерешенных проблем, но там есть государственная поддержка малых компаний. Во время кризиса 1998 года, например, в Техасе все налоги с малых нефтяных компаний сняли. И в Англии работает система поддержки малого бизнеса, направленная именно на малые компании.

У нас все значительно сложнее. Мы неоднократно докладывали о проблеме в Госдуме, бывший председатель Правительства СССР Рыжков Николай Иванович поддерживал нас. Но так ничего мы и не добились.

Следует отметить, что ослаблению позиций МСНК в России во многом способствуют такие нерешенные проблемы, как:

— обеспечение недискриминационного доступа к производственной инфраструктуре, к экспортной инфраструктуре, к внутрипромысловым и магистральным трубопроводам, к мощностям по подготовке и переработке нефти(в отличие от ВИНК независимые малые компании не имеют гарантированных рынков сбыта внутри страны, они могут лишь поставлять свою продукцию на нефтеперерабатывающие заводы, которые в настоящее время в основном входят в состав ВИНК);

— сложность конкурирования с ВИНК на конкурсах(аукционах) ограничивает права МНК на пользование недрами;

— неразвитость законодательства — нет критериев, отражающих особенности недропользования и позволяющих относить МСНК к сфере малого и среднего бизнеса;

— сложность привлечения финансовых ресурсов, в том числе в форме долгосрочных кредитов;

— отсутствие целенаправленной государственной поддержки малого и среднего бизнеса в нефтегазовой отрасли, в том числе и инновационно-ориентированного;

— отсутствие правового пространства для эффективного взаимодействия ВИНК и малых нефтедобывающих компаний при передаче прав на разработку месторождений, а также при совместной добыче;

— отсутствие действенных механизмов налогового стимулирования — дифференцированного налогообложения нефтегазовых компаний.

Но в Татарстане МНК существенно комфортнее работать. Это во многом зависит от руководства республики. Президент Рустам Нургалиевич Минниханов практически постоянно курирует их развитие. Обязательно в квартал раз он собирает всех нефтяников на совещание. Здесь присутствуют руководители и специалисты всех МНК, ПАО« Татнефть», министерств и ведомств РТ(в том числе федерального подчинения). Здесь анализируются результаты прошедшего периода, ставятся задачи на последующие 1−2 квартала. Решаются проблемные вопросы, поставленные ЗАО« Нефтеконсорциум», курирующим все 34 МНК, и президент озвучивает(далее все это протоколируется) решение по поставленным вопросам. Особенно важны поручения главам администраций и ведомств по земельным вопросам для развития нефтяной промышленности. Поскольку федеральное законодательство в этих вопросах весьма запутано, без решения этих вопросов на таких совещаниях нефтяники не могли бы нормально бурить новые скважины, проводить ремонтные и другие работы. Поручения даются и другим органам управления недропользованием, строительством, Минэкономики, Минфину, Прокуратуре и другим. Этот механизм — мощный рычаг развития нефтяной отрасли РТ(особенно МНК).

Конечно без позитивного отношения и помощи ПАО« Татнефть», специалистов и лично гендиректора, обычно дело не обходится.

Также большую роль играют ежегодные постановления Правительства РТ по объемам добычи и бурения по НК на планируемый год. Эти уровни предварительно рассматриваются в АН РТ совместно со всеми НК и закрепляются в постановлении Правительства РТ.

— В чем специфика МНК по сравнению с большими компаниями?

– Специфика в монотоварном производстве — только разведка и добыча нефти. Дело в том, что не у всех у них есть даже первичная подготовка нефти. Большинство не имеет трубопроводов, они работают по договоренности с большими компаниями… отнюдь не бесплатно.

— Значит, у МНК себестоимость нефти выше, чем у больших компаний?

– Наоборот, поскольку у них нет такой бюрократии, внутренних издержек. У малых компаний совсем небольшой фонд, поэтому каждую скважину они буквально досуха высасывают. Большая компания с такой тщательностью работать не может. У МНК выше эффективность и лучше выживаемость. Малые компании привыкли к тому, что имеют дело с трудноизвлекаемыми запасами, за каждую тонну нефти они должны бороться, разрабатывают новые технологии. Не случайно именно МНК стали родоначальниками многих новых технологий.

Нефтяная отрасль имеет свою специфику. В мире нет двух идентичных месторождений, все разные. На каждом из них применяется своя технология. Если правильно ее подобрал — имеешь положительный результат. Если выбранная технология не подходит для данных геологических условий — будет минус в добыче. Или вообще ее не будет. Только затраты.

У нас работает всего 34 МНК, количество скважин — как у одного НГДУ в «Татнефти». Фонд небольшой, но работать с ним можно, хотя и непросто. Прирост добычи малые компании обеспечивают в основном за счет увеличения извлекаемых запасов, применения методов увеличения нефтеотдачи(МУН), стимуляции скважин.

Развитию МНК РТ способствует широкое внедрение новых инновационных технологий.

Характерным лучшим российским примером развития малой компании с точки зрения широкого применения новых технологий и инноваций является опыт ОАО« РИТЭК»(Российская инновационная топливно-энергетическая компания). Основной задачей ОАО« РИТЭК» в период становления было создание конкурентной среды в сервисном секторе и восстановление фонда бездействующих скважин на российских нефтяных месторождениях. Создание компаний было направлено на развитие отечественных технологий по добыче углеводородов.

Применение в свой работе различных нововведений, в том числе собственных разработок, позволяет компании демонстрировать устойчивые темпы роста.

И с этим компания успешно справляется, создавая новое оборудование и новые технологии мирового уровня. Ряд технологий ОАО« РИТЭК»(применение в нефтедобыче новых высокоэффективных составов ритин, полисил и др.) рассматривались на ТО ЦКР по РТ и были рекомендованы для широкого внедрения. Присутствие ОАО« РИТЭК» в нефтяной отрасли Татарстана создает здоровую конкуренцию по новым технологиям между нею и «Татнефтью». Последняя стремиться не отстать и также усиливает работу по созданию и применению новых технологий, особенно в области разработки нефтяных месторождений, применению новых методов повышения нефтеотдачи и стимуляции скважин. Все это способствует техническому прогрессу, благодаря которому сегодня можно утверждать, что нерентабельных(с помощью высоких технологий) для освоения нефтяных месторождений в РТ нет. Новые технологии ОАО« РИТЭК» уже применяются в других, малых нефтяных компаниях Республики Татарстан.

« РИТЭК» не является единственной среди малых и средних нефтедобывающих компаний в России, которая активно использует инновации в своей деятельности.

Инновационные технологии российских МСНК вполне конкурентоспособны с западными аналогами и используются в ближнем и дальнем зарубежье.

Сегодня практически каждая МНК имеет либо свои, либо чужие, но адаптированные к конкретным условиям геологического строения месторождений данной компании технологии и творчески их внедряет. Это осталось в их менталитете от советского времени. Поэтому опыт РТ по освоению мелких месторождений с трудноизвлекаемыми запасами свидетельствует о том, что при таком подходе в Татарстане не осталось нерентабельных для освоения месторождений. Все они могут работать с прибылью или, по крайней мере, безубыточно. Хороший пример для всех регионов России.

— Какие перспективы у МНК? Они будут наращивать добычу?

– Нет, наращивать они не будут. До 2030 года добыча должна держаться на уровне 7 млн тонн нефти в год. Но для этого нужны капитальные, классические методы — паронагнетание, внутрипластовое горение. Это очень дорогие технологии, но их применение дает хороший эффект, значительно повышает нефтеотдачу. Будут увеличиваться извлекаемые запасы. Если эту стратегию принять, я думаю, до середины века МНК смогут удержать добычу на заданном уровне.

А там получат развитие новые технологии разведки, разработки и добычи нефти. Сегодня возможности увеличения добычи нефти из плотных, в том числе сланцевых, пород показали США. МНК должны развиваться в этом направлении. Это новые возможности, новые ресурсы нетрадиционных нефтей, которые пока не только не числятся на официальном балансе, но которых нет даже в наших головах. Все это открывает возможности существенно новых методов прироста запасов и наращивания добычи нефти. Дальнейшие перспективы Татарстана в этом направлении захватывающие. И в настоящее время мы начинаем работу по реализации составленной по поручению президента РТ Рустама Нургалиевича Минниханова под руководством АН РТ «Программы развития приоритетных научных исследований в области геологии и разработки месторождений МНК РТ на 2015−2025 годы». В программе будут участвовать научные организации РТ, институтов Москвы, Уфы и других городов страны. Предлагаемые ими технологии предполагается отрабатывать на научном полигоне по испытанию инновационных технологий в разработке и добыче нефти на восточном борту Мелекесской впадины в Татарстане. Это главное направление работ МНК для длительной стабилизации добычи нефти и расширения воспроизводства ее запасов.

Линейное программирование

1. Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Введем переменные:

x1 - количество продукта A;

x2 - количество продукта B.

Формальная постановка данной задачи имеет вид:

Метод решения задачи.

Совокупность граничных условий представляет собой типичную задачу линейного программирования. Одним из наиболее распространенных методов решения является симплекс-метод. Основу метода составляет поиск оптимальных и базовых решений, при которых значение целевой функции последовательно приближается к максимальному (или минимальному, в зависимости от направления поисков). В отличие от графического метода, симплекс-метод не обладает наглядностью, но отличается хорошей пригодностью для автоматизированной обработки результатов. В данной работе будет использован алгоритм последовательного приближения, который встроен в функцию табличного процессора MS Exel.

Ввод исходных данных

Создание экранной формы и ввод исходных данных

- для ввода переменных x1 и x2, используются ячейки B4 -D4;
- для отображения значения целевой функции используется ячейка B8, при этом коэффициенты целевой функции введены в ячейки B6-D6;
- коэффициенты уравнений системы ограничений введены в ячейках B12-B14 и C12-C14.

Ввод зависимостей из формальной постановки задачи в экранную форму. математический программирование линейный

Ввод зависимостей производится с использованием встроенных функций MS Exel. В данном примере использована функция СУММПРОИЗВ которая вычисляет сумму попарных произведений двух или более массивов.

На рис. 2 представлена экранная форма ввода функции СУММПРОИЗВ.

Целевая функция представляет собой сумму произведений содержимого ячеек: B8:D8

Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B5, C5, D5), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B12, C12 - 1-е ограничение; B13, С 13 - 2-е ограничение и B14, С 14 - 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.

Формулы, описывающие ограничения модели (1)

Задание целевой функции.

Для работы в надстройке "Поиск решения", необходимо выбрать и загрузить данную надстройку из меню "Сервис".

На рис. 3 изображена экранная форма заполненной таблицы надстройки "Поиск решения". При этом выбрана ячейка B8, значение в которой соответствует целевой функции. Установлено направление поиска как минимизация целевой функции. Указаны ячейки B4, D5, изменения в которых предполагают изменение целевой функции. С помощью кнопки "добавить" вводится условие очередного ограничения.

Установка параметров решения задачи.

Для решения данной задачи использовались значения, установленные по умолчанию (Рис. 4), т.к. увеличение количества итераций не приводит к увеличению точности расчетов.

Ответ: Наиболее экономным является вариант закупки 10 литров продукции компании А на каждые 1000 литров бензина, что обойдется в 15 ф.ст.

Краткие теоретические сведения

Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации. Это и премирование штатного расписания, и расчет фонда заработной платы, и планирование рекламной компании, и еще множество задач, решаемых с помощью методов оптимизации. Наиболее легкими и показательными являются задачи линейной оптимизации.

Линейное программирование – это раздел высшей математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Однако для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум нельзя применить хорошо разработанные методы математического анализа.

Действительно, пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию при линейных ограничениях . Необходимым условием экстремума является . Но . Отсюда . Так как все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть только на границе области.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике.

Линейная оптимизационная задача

Контрольный пример

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Решение

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В данном случае мебельной фабрике необходимо спланировать объем производства столов и шкафов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: х1 - количество столов, х2 - количество шкафов

Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z=6*x1+8*x2. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х1 и х2 таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z

Ограничения, которые налагаются на х1 и х2:

· объем производства шкафов и столов не может быть отрицательным, следовательно: х1, х2 ³ 0.

· нормы затрат древесины на столы и шкафы не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:

0,2x1+ 0,1x2 £40,

0,1x1 +0,3x2 £60.

Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества затрачиваемых ресурсов

1,2x1+ 1,5х2 £ 371,4.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать функции.

при следующих ограничениях:

0,2x1+ 0,1x2 £40

0,1x1 +0,3x2 £60

1,2x1+ 1,5х2 £ 371,4

Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Решение задачи с помощью MS Excel

1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 8.1).

Рис.8.1. Диапазоны, отведенные под переменные,
целевую функцию и ограничения

2. В ячейку С4 ввести функцию цели: =6*АЗ+8*ВЗ, в ячейки А7:А9 ввести левые части ограничений:

0,2*А3+0,1*ВЗ

0,1*А3+0,3*ВЗ

1,2*АЗ+1,5*ВЗ,

а в ячейки В7:В9 - правые части ограничений. (рис.8.1.)

3. Выбрать команды Сервис/Поиск решения (Tools/Solver) и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver) как показано на рис 8.2. Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис (Тоо1з) отсутствует команда Поиск решения (Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис/ Надстройки/ Поиск решения (Tools/Add-ins/Solver). Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить .

Рис. 8.2. Диалоговое окно Поиск решения задачи о максимизации прибыли на фабрике

Внимание! В диалоговом окне Параметры поиска решения (Solver Options) необходимо установить флажок Линейная модель (Assume Linear Model) (Рис.8.3.).

Рис.8.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения

4. После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения

5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 8.5, из которого видно, что оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов. Этот объем производства принесет фабрике 1940 руб. прибыли.

Рис.8.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи максимизации выпуска столов и шкафов

Индивидуальное задание

1.Построить математическую модель задачи, согласно вашему варианту.

2.Решить задачу с помощью средства MS Excel Поиск решения .

3.Сделать соответствующие выводы.

Вариант 1

Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в табл.8.2. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Таблица 8.2

Найти план выпуска изделий вида А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Вариант 2

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл.8.3. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

Таблица 8.3

Вариант 3

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных видов сырья Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Изделия А, В и С могут производится в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Вариант 4

На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в табл.8.5. В ней же указаны имеющиеся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Таблица 8.5

Вариант 5

Фабрика "GRM pie" выпускает два вида каш для завтрака - "Crunchy" и "Chewy". Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными.

Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В табл. 8.6 указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

Таблица 8.6

Доход от производства 1 т "Crunchy" составляет 150 ф. ст., а от производства "Chewy" - 75 ф. ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется: сформулировать модель линейного программирования, максимизирующую общий доход фабрики за месяц и реализовать решение этой модели.

Вариант 6

Оливер А. Петере скоро выйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. М-р Петере и его супруга намерены предпринять длительный визит в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на данный период. Очевидно, цель м-ра Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

Мистера Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трех типов - А, В и С. Сумма единовременного пособия составит 25000 ф. ст., однако, мистер Петере считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счет жилищно-строительного кооператива, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, мистеру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А и перевести на свой счет. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако, вложения в В не должны превышать 35% общего объема вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующей проекту В. Кроме того, для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать 10 % годовых и обеспечивает 1% роста капитала, проект В предполагает рост капитала в 15%; проект С дает 4% годовых и 5%-ный рост капитала.

Требуется: учитывая цель м-ра Петерса, сформулировать модель линейного программирования, показывающую, как следует распределить сумму единовременного пособия между различными проектами инвестиций.

Вариант 7

Общество с ограниченной ответственностью по производству гусеничных механизмов выпускает пять сходных друг с другом товаров - А, В, С, D и Е. В табл. 8.7 представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого товара, а также недельные запасы каждого ресурса и цены продажи единицы каждого продукта.

Таблица 8.7

Известны также издержки, связанные с использованием каждого вида ресурсов:

сырье - 2,10 ф. ст. за 1 кг;

сборка - 3,00 ф. ст. за 1 ч;

обжиг- 1,30 ф. ст. за 1 ч;

упаковка - 8,00 ф. ст. за 1 ч.

Требуется сформулировать задачу линейного программирования таким образом, чтобы в качестве переменных как целевой функции, так и ограничений выступали ресурсы. Кратко сформулировать предпосылки применения модели. Для максимизации элементов, составляющих прибыль за неделю, следует использовать компьютерный пакет прикладных программ.

Вариант 8

Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В табл.8.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Таблица 8.8

Вариант 9

Администрация компании "Nemesis Company", осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатсфилде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого - расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим (табл. 8.9).

Таблица 8.9

В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие - 2000 ф. ст.;

Неквалифицированные рабочие - 1500 ф. ст.

2.Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.

3.Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется: Построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих. В процессе формализации следует использовать следующие переменные:

S1- число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде,

S2 - число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде;

U1 - число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде;

U2 - число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде.

Вариант 10

Компания "Bermuda Paint" - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже табл. 8.10 содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Таблица 8.10

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 Галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется: Построить и решить линейную модель для производственной проблемы, с которой столкнулась компания. Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменении показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

Вариант 11

Членов Ассоциации ученых Мидленда недавно уведомили, что их ассоциация получит государственные гранты на проведение исследований в соответствии с четырьмя основными исследовательскими проектами. Исполнительный директор ассоциации должен по каждому проекту назначить научного руководителя. В настоящее время эти обязанности можно возложить на одного из пяти исследователей - Адаме, Браун, Карр, Дэй и Иване. Время, требуемое для завершения каждого из исследовательских проектов, зависит от опыта и способностей исследователя, которому будет поручено руководство выполнением проекта. Исполнительному директору были представлены оценки времени выполнения проекта каждым из ученых (в днях).

Поскольку все четыре проекта обладают равным приоритетом в выполнении, исполнительный директор заинтересован в таком назначении научных руководителей, которое бы позволило свести к минимуму общее время (в днях), требуемое для завершения всех четырех проектов.

Таблица 8.11

Используя данные табл.8.11 определить оптимальный вариант назначения научных руководителей проектов и, следовательно, общее число дней, необходимое для завершения четырех проектов. Найти какие-либо другие варианты назначения, которые привели бы к тому же результату. Учитывая, что ученые Браун, Карр и Дэй отдают предпочтение проектам 2 и 3, а ученые Адаме и Иване - проектам 1 и 4, какой из имеющихся оптимальных вариантов назначения, принятый исполнительным директором, был бы наиболее разумным?

Вариант 12

Собственные средства банка вместе с депозитами в сумме составляют 100 млн. долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн. долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Ценные бумаги, особенно государственные можно в любой момент продать. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Найти оптимальный план работы банка с ценными бумагами и собственными средствами.

Вариант 13

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудованием – имеются в количестве соответственно 80 (чел/дней), 480 (кг) и 130 (станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл.8.12.

Таблица 8.12

Найти оптимальный план выпуска продукции.

Вариант 14

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов 1 и 2. Один килограмм корма 1 стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма 2 стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Вариант 15

На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в табл. 8.13.

Таблица 8.13

Транспортная задача

Контрольный пример

Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в Денвере, Бостоне, Новом Орлеане и Далласе с производственными возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно, соответственно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Лос-Анджелесе, Далласе, Сент-Луисе, Вашингтоне и Атланте с потребностями в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в табл.8.14.

Таблица 8.14

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Поскольку данная модель сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то в этой модели не надо учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель нужно было бы ввести:

· в случае перепроизводства - фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок объемам складирования излишков продукции на фабриках;

· в случае дефицита - фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок - объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель:

Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть x ij - объем перевозок с i-ой фабрики в j-й центр распределения. Функция цели - это суммарные транспортные расходы, т. е. где с ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-и фабрики j-й центр распределения.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

· Объемы перевозок не могут быть отрицательными.

· Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены.

В результате имеем следующую модель:

- минимизировать при ограничениях:

x ij ³ 0, iÎ , jÎ ,

где a ij - объем производства на i-й фабрике, bj - спрос в j-м центре распределения.

Похожая информация.

Установка параметров решения задачи

Задача запускается на решение в окне "Поиск решения". Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку "Параметры" и заполнить некоторые поля окна "Параметры поиска решения" (рис. 7).

Рис. 7 - Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач ЛП

Параметр"Максимальное время" служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).

Параметр"Предельное число итераций" служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.

Параметр"Относительная погрешность" служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.

Параметр"Допустимое отклонение" служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.

Параметр"Сходимость" применяется только при решении нелинейных задач.Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.

Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки "OK" .

Запуск задачи на решение

Запуск задачи на решение производится из окна "Поиск решения" путем нажатия кнопки "Выполнить".

После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно "Результаты поиска решения" с сообщением об успешном решении задачи, представленном на рис. 8.

8 -. Сообщение об успешном решении задачи

Появление иного сообщения свидетельствуетт не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки , не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.

Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра "Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.

В окне "Результаты поиска решения" представлены названия трех типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы" . Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность. Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку "OK". После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 9).

Рис.9 - Экранная форма задачи (1) после получения решения

Варианты заданий

2. "Princetown Paints Ltd" выпускает три основных типа румян - жидкие, перламутровые и матовые - с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (ф. ст.).

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна - 29000 л в неделю.

Требуется: определить оптимальные объемы производства в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли, и соответствующее значение прибыли.

3. Компания "Bermuda Paint" - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется: определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.

4. Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов. Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.

Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на декабрь.

5. Администрация деревоперерабатывающего предприятия "Vibra" приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице:

Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это нужно сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?

Стоимость продукта А - 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.
Рекомендации к решению: после составления экономико-математической модели задачи, ее можно будет решить симплекс-методом .

	Румяна
	Жидкие	Перламутровые	Матовые
Цена продажи на 100 л	120	126	110
Издержки производства на 100 л:
Стоимость сырья	11	25	20
Стоимость трудозатрат	30	36	24
Стоимость приготовления смеси	32	20	36
Другие издержки	12	15	10

Стоимость 1 чел.-ч составляет 3 ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси -4 ф. ст. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч. в неделю.
В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна - 29000 л в неделю.
Требуется: определить оптимальные объемы производства в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли, и соответствующее значение прибыли.
Методические рекомендации к решению: необходимо составить экономико-математическую модель задачи, после чего решить симплекс-методом в Excel.

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака - 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.
В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.
Требуется: определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.
Методические рекомендации к решению: необходимо составить экономико-математическую модель задачи, после чего решить симплекс-методом в Excel .

Завод	Транспортные издержки, ф. ст. за единицу Торговый склад					Предложение т
Завод	1	2	3	4	5	Предложение т
A	20	27	33	25	34	200
B	22	36	34	28	26	250
C	26	29	27	26	28	300
Потребность, т	100	150	200	100	200

Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на декабрь.
Методические рекомендации к решению: проверить решение можно с помощью сервиса транспортная задача .

Работник	Время выполнения, ч
Работник	Работы 1	Работы 2	Работы 3	Работы 4	Работы 5
М1	25	16	15	14	13
М2	25	17	18	23	15
М3	30	15	20	19	14
М4	27	20	22	25	12
М5	29	19	17	32	10

Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это нужно сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?
Методические рекомендации к решению: данный тип задач относится к задачам о назначении .

6. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице.

Оборудование	Детали				Полезный фонд времени, станко-ч.
	1		2
	Технологические способы
	1	2	1	2
Фрезерное	2	2	3	0	20
Токарное	3	1	1	2	37
Сварочное	0	1	1	4	30
Прибыль, усл. ед.	11	6	9	6

Составить оптимальный план «загрузки оборудования», обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Решение .
Обозначим через x ij объем выпуска i-й детали j-м технологическим способом.
Блок ограничений на ресурсы представлен ограничениями на количество рабочего времени каждого станка:
фрезерный: (2x 11 + 2x 12) + (3x 21) ≤ 20,
токарный: (3x 11 + x 13) + (x 21 + 2x 22) ≤ 37,
сварочный: (x 12) + (x 22 + 4x 23) ≤ 30.
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:
11x 11 + 6x 12 + 9x 21 + 6x 22 → max